Exercices de Second Degré, Première (page 3)

Pour tout réel $m$, on considère l'équation d'inconnue $x$ : $x^2-(m-2)x+(m+1)=0$. Discuter, selon les valeurs de $m$, du nombre de solutions réelles de cette équation.

Pour tout réel $m$, on considère l'expression $f_m(x)=(m-1)x^2-2(m-4)x+(m-1)$, définie pour $x$ réel.

a) Pour quelle valeur de $m$ l'expression $f_m(x)$ n'est-elle pas un trinôme du second degré ? Que devient alors $f_m$ ?

b) Pour les autres valeurs de $m$, exprimer, en fonction de $m$, le discriminant du trinôme $f_m$, et étudier son signe.

c) En déduire les valeurs de $m$ pour lesquelles $f_m(x)$ est strictement positif pour tout réel $x$.

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2-2x-4$ et le programme Python suivant, qui met en oeuvre la méthode de dichotomie pour approcher une solution de $f(x)=0$ :

def f(x):
    return x**2 - 2*x - 4

def dichotomie(a, b, precision):
    while b - a > precision:
        m = (a + b) / 2
        if f(a) * f(m) <= 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return (a + b) / 2

a) Calculer $f(3)$ et $f(4)$. En déduire que l'équation $f(x)=0$ admet une solution dans l'intervalle $[3;4]$.

b) On appelle `dichotomie(3, 4, 0.01)`. L'intervalle initial a pour longueur $1$, et sa longueur est divisée par $2$ à chaque tour de la boucle `while`. Déterminer le nombre minimal d'itérations nécessaires pour que la longueur de l'intervalle devienne inférieure à $0,01$.

c) Déterminer, sous la forme $a+\sqrt{b}$, la valeur exacte de la solution positive de l'équation $f(x)=0$, et vérifier la cohérence avec l'intervalle $[3;4]$ trouvé en a).

On donne une fonction polynôme $f$ du second degré dont la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ est une parabole tournée vers le bas, de sommet $S(1;16)$. La courbe coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $-3$ et $5$.

a) Donner le tableau de variations de $f$.

b) En déduire le tableau de signes de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$.

c) On donne $f(0)=15$. En déduire, sans calcul, une autre valeur de $x$ pour laquelle $f$ prend la même image.

d) Combien l'équation $f(x)=16$ admet-elle de solutions ? Justifier sans calcul.

e) Combien l'équation $f(x)=20$ admet-elle de solutions ? Justifier sans calcul.

f) Donner la forme factorisée de $f(x)$, sachant que le coefficient dominant vaut $-1$.

On considère le trinôme $f(x)=2x^2-14x+24$. Sachant que $f$ admet $3$ et $4$ comme racines, écrire $f(x)$ sous forme factorisée, puis vérifier le résultat en développant.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2x^2+4x+16$. Pour chacune des questions suivantes, une seule proposition est correcte. Indiquer la bonne réponse et justifier en une phrase.

1) L'ordonnée du sommet de la parabole représentant $f$ est : a) $1$ b) $16$ c) $18$

2) Le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ est : a) $0$ b) $1$ c) $2$

3) La concavité de la parabole représentant $f$ est tournée vers : a) le haut b) le bas

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $16x^2-40x+25=0$.

Écrire le trinôme $f(x)=4x^2-24x+11$ sous forme canonique.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $3x^2+2x-8\ge 0$.

On considère une fonction polynôme $f$ du second degré dont la représentation graphique admet pour sommet le point $S(-2;5)$ et passe par le point $A(1;-13)$.
Déterminer l'expression de $f(x)$ sous forme canonique, puis sous forme développée.

Deux nombres réels ont pour somme $17$ et pour produit $60$. Déterminer ces deux nombres.

On donne trois paraboles ${\mathcal{C}}_1$, ${\mathcal{C}}_2$ et ${\mathcal{C}}_3$ :

- ${\mathcal{C}}_1$ a pour sommet $(2;-3)$ et ses branches sont tournées vers le haut.
- ${\mathcal{C}}_2$ a pour sommet $(2;5)$ et ses branches sont tournées vers le bas.
- ${\mathcal{C}}_3$ a pour sommet $(-4;-3)$ et ses branches sont tournées vers le haut.

Associer, en justifiant par le calcul, chacune des fonctions suivantes à la courbe qui la représente :$$f(x)=x^2-4x+1,g(x)=-3x^2+12x-7,h(x)=2x^2+16x+29$$

Le nombre de diagonales d'un polygone convexe à $n$ côtés est donné par la formule $D=\frac{n(n-3)}{2}$. Un polygone convexe possède $35$ diagonales.

a) Montrer que $n$ est solution de l'équation $n^2-3n-70=0$.

b) Résoudre cette équation.
c) En déduire le nombre de côtés de ce polygone, en justifiant le rejet de la solution qui ne convient pas.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\left(x^2-2x-15\right)\left(-2x^2+3x+5\right)\le 0$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\frac{-x^2+2x+15}{x+2}\ge 0$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^2-3x+1$, de courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$, et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x+7$.
Étudier la position relative de ${\mathcal{C}}_f$ et de $\mathcal{D}$, et préciser les coordonnées de leurs éventuels points d'intersection.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $x^4-3x^2-4=0$.

Un maraîcher possède $40$ m de treillage métallique pour clôturer un enclos rectangulaire, l'un des côtés étant constitué par un mur déjà existant (ce côté ne nécessite donc aucune clôture). On note $x$, en mètres, la longueur de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur.

a) Exprimer, en fonction de $x$, la longueur du côté parallèle au mur, puis l'aire $A(x)$ de l'enclos. Préciser le domaine de définition de $A$.

b) Écrire $A(x)$ sous forme canonique.

c) En déduire la valeur de $x$ pour laquelle l'aire de l'enclos est maximale, ainsi que la valeur de cette aire maximale.

Un cycliste parcourt un trajet aller de $60$ km à une vitesse moyenne de $x$ km/h, puis effectue le trajet retour, sur la même distance, à une vitesse moyenne supérieure de $5$ km/h à celle de l'aller. Le trajet aller a duré une heure de plus que le trajet retour.

a) Justifier que le domaine de validité de $x$ est $x>0$, et montrer que le problème revient à résoudre l'équation $\frac{60}{x}-\frac{60}{x+5}=1$.

b) Montrer que cette équation équivaut à $x^2+5x-300=0$.

c) Résoudre cette équation, puis en déduire les vitesses moyennes du cycliste à l'aller et au retour, en justifiant le rejet de la solution qui ne convient pas.

On considère, pour tout réel $m$, la fonction $f_m$ définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f_m(x)=(m+1)x^2-2x+m$$Déterminer, selon les valeurs de $m$, si $f_m(x)>0$ pour tout réel $x$.

On considère la fonction Python suivante, censée renvoyer la nature des racines d'un trinôme $a{x}^2+bx+c$ ainsi que leur valeur le cas échéant :

def etudier_signe(a, b, c):
    delta = b**2 - 4*a*c
    if delta > 0:
        x1 = (-b - delta**0.5) / (2*a)
        x2 = (-b + delta**0.5) / (2*a)
        return ("deux racines", min(x1, x2), max(x1, x2))
    elif delta == 0:
        x0 = -b / (2*a)
        return ("racine double", x0)
    else:
        return ("aucune racine reelle",)

a) Sans exécuter le programme, déterminer ce que renvoie l'appel `etudier_signe(1, -4, -21)`.
b) En déduire, sans nouveau calcul de racines, le tableau de signes de $f(x)=x^2-4x-21$ sur $\mathbb{R}$.

c) Cette fonction ne fait jamais intervenir le signe de $a$ dans ses valeurs de retour. Expliquer pourquoi il est pourtant indispensable de connaître le signe de $a$ pour répondre à la question b), et proposer une ligne de code à ajouter au début de la fonction pour qu'elle renvoie également ce signe.

Dans un repère, on a tracé quatre paraboles ${\mathcal{C}}_A$, ${\mathcal{C}}_B$, ${\mathcal{C}}_C$ et ${\mathcal{C}}_D$, toutes tournées vers le haut. On lit sur le graphique :

• ${\mathcal{C}}_A$ coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $3$ et $5$, et son sommet est le point $(4;-1)$ ;
• ${\mathcal{C}}_B$ ne coupe pas l'axe des abscisses, et son sommet est le point $(3;5)$ ;
• ${\mathcal{C}}_C$ ne coupe pas l'axe des abscisses, coupe l'axe des ordonnées au point $(0;3)$, et son sommet a une abscisse comprise entre $-1$ et $0$ ;
• ${\mathcal{C}}_D$ ne coupe pas l'axe des abscisses, et son sommet est le point $(5;3)$.

Associer à chaque fonction la courbe représentative correspondante en justifiant :

$f_1(x)=(x-3{)}^2+5$
$f_2(x)=(x-5{)}^2+3$
$f_3(x)=5x^2+3x+3$
$f_4(x)=(x-3)(x-5)$

Dans un repère, on a tracé les courbes représentatives de quatre fonctions $f$, $g$, $h$ et $k$. Ce sont des paraboles, sur lesquelles on lit :

• la courbe de $f$, tournée vers le haut, coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $-1$ et $3$, et son sommet est le point $(1;-4)$ ;
• la courbe de $g$, tournée vers le bas, a pour sommet le point $(2;3)$ et passe par le point $(0;-1)$ ;
• la courbe de $h$, tournée vers le haut, a pour sommet le point $(3;1)$ et passe par le point $(2;2)$ ;
• la courbe de $k$, tournée vers le bas, coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $1$ et $5$, et son sommet est le point $(3;4)$.

En s'aidant de ces représentations graphiques, compléter les expressions des fonctions suivantes :

$f(x)=(x+\dots )(x-\dots )$
$g(x)=-(x-\dots {)}^2+\dots$
$h(x)=(x-\dots {)}^2+\dots$
$k(x)=-(x-\dots )(x-\dots )$

A l'extérieur de la ville, vingt pas après la sortie Nord, se trouve un arbre.
Si tu quittes la ville par la porte Sud, marche quatorze pas vers le Sud puis $1775$ vers l'Ouest et tu commenceras tout juste à apercevoir l'arbre.
On cherche les dimensions de la ville.

*D'après le « Jiuzhang suanshu » ou les « Neuf chapitres sur l'art du calcul », ouvrage chinois de 200 avant JC composé de 246 problèmes ayant pour but de fournir des méthodes pour résoudre les problèmes quotidiens de l'ingénierie, de l'arpentage, du commerce et de la fiscalité.*

1) Faire une figure à main levée représentant les données de l'énoncé.
2) En appliquant le théorème de Thalès, prouver que le problème peut se ramener à résoudre l'équation $x^2+34x-71000=0$ où $x$ est la longueur des côtés de la ville.

3) Résoudre l'équation et donner la solution au problème.
4) Prolongement :
Quelle distance te sépare de l'arbre ?
Donner la valeur exacte puis une valeur approchée au pas près.

Le mathématicien et astronome perse Al Khwarizmi (780 ; 850) a établi dans son traité, le Kitâb, des méthodes de résolution d'équations. Il s'agit de recettes, appelées aujourd'hui algorithmes, menant à la solution.
Dans cette activité, nous allons étudier comment Al Khwarizmi a résolu les équations du type $x^2+ax=b$, où $a$ et $b$ sont des nombres positifs.

1) Al Khwarizmi écrivait « Un carré plus 10 racines est égal à 39 dirhams (*) » pour désigner, dans le langage mathématique d'aujourd'hui, l'équation : $x^2+10x=39$.
(*) Le dirham était la monnaie de l'époque.

Le procédé de résolution de cette équation consiste à effectuer le programme de calculs suivant :

1. Prendre la moitié de $10$.
2. Élever cette moitié au carré.
3. Ajouter ce carré à $39$.
4. Prendre la racine carrée de cette somme.
5. Soustraire à ce résultat la moitié de $10$.

a) Appliquer ce programme de calculs et noter le nombre obtenu à l'issue de l'étape 5.
b) Vérifier que ce nombre est effectivement solution de l'équation $x^2+10x=39$.

2) Adapter le programme de calculs de la question 1 pour trouver une solution de l'équation $x^2+3x=40$.

3) Adapter le programme de la question 1 pour trouver le carré tel que :
« Un carré plus 7 racines est égal à 18 dirhams. »

Dans la suite, on considère l'équation $x^2+ax=b$ sous sa forme générale où $a$ et $b$ sont des nombres quelconques positifs.

1) Démontrer que le programme de calculs mène à : $\sqrt{\frac{a^2}{4}+b}-\frac{a}{2}$

2) Retrouver ce résultat en appliquant la méthode du discriminant.