Exercices de Statistiques et Probabilités, Première (page 2)

Un lotissement compte 300 foyers, répartis en 180 foyers vivant en maison et 120 foyers vivant en appartement. Parmi les foyers en appartement, 30 disposent d'un jardin et 90 n'en disposent pas. Le nombre de foyers en maison disposant d'un jardin est noté $x$ (avec $0\le x\le 180$). Le tableau ci-dessous résume la situation.$$\begin{array}{cccc}& \text{Avec jardin}& \text{Sans jardin}& \text{Total}\\ \text{Maison}& x& 180-x& 180\\ \text{Appartement}& 30& 90& 120\\ \text{Total}& x+30& 270-x& 300\end{array}$$Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle les caractères « habiter une maison » et « disposer d'un jardin » sont statistiquement indépendants. Vérifier ensuite le résultat obtenu.

Chaque année, une entreprise recrute $n$ salariés (avec $n$ un entier strictement positif). On observe que, chaque année :

- 55 % des salariés recrutés signent un CDI, les 45 % restants signent un CDD ;
- le service commercial représente toujours 20 % des recrutements de l'année ;
- parmi les recrutements du service commercial, la proportion de CDI est également de 55 %.

Démontrer que, pour toute valeur de $n$, les caractères « type de contrat (CDI/CDD) » et « appartenir au service commercial » sont statistiquement indépendants.

Une association sportive compte 500 membres. 60 % d'entre eux pratiquent une activité individuelle, les autres une activité collective. Parmi les pratiquants d'activité individuelle, 40 % sont des adultes (le reste étant des mineurs). Parmi les pratiquants d'activité collective, 75 % sont des mineurs.

1. Compléter le tableau des effectifs ci-dessous.$$\begin{array}{cccc}& \text{Individuelle}& \text{Collective}& \text{Total}\\ \text{Adultes}& \dots & \dots & \dots \\ \text{Mineurs}& \dots & \dots & \dots \\ \text{Total}& \dots & \dots & 500\end{array}$$2. Quelle est la fréquence marginale des adultes dans l'association ?
3. Quelle est la fréquence conditionnelle des mineurs parmi les pratiquants d'activité collective ?
4. Le statut (adulte/mineur) et le type d'activité pratiquée (individuelle/collective) sont-ils statistiquement indépendants dans cette association ?

Une municipalité a interrogé 1 200 habitants sur leur intérêt pour la création de cours de langues en soirée. La répartition par tranche d'âge est la suivante : 35 % ont entre 18 et 30 ans, 40 % ont entre 31 et 50 ans, et 25 % ont 51 ans ou plus.

Le taux de réponses favorables, calculé dans chaque tranche d'âge (en colonne), est le suivant : 70 % chez les 18-30 ans, 55 % chez les 31-50 ans, et 40 % chez les 51 ans et plus.

1. Reconstituer les effectifs de chaque tranche d'âge, puis l'effectif de réponses favorables dans chaque tranche d'âge.
2. En déduire la fréquence conditionnelle des 31-50 ans parmi l'ensemble des personnes ayant répondu favorablement.

Dans un lycée de 300 élèves, le tableau ci-dessous donne les effectifs d'élèves inscrits ou non à l'atelier photographie, selon leur sexe.$$\begin{array}{cccc}& \text{Filles}& \text{Garc¸ons}& \text{Total}\\ \text{Atelier photographie}& 54& 18& 72\\ \text{Pas d’atelier photographie}& 126& 102& 228\\ \text{Total}& 180& 120& 300\end{array}$$Un élève affirme : « 54 filles sur 300 élèves au total, donc 18 % des filles sont inscrites à l'atelier photographie. » Identifier précisément l'erreur commise par cet élève, puis donner le calcul correct.

Une médiathèque a étudié le statut d'emprunteur actif de ses inscrits selon leur âge, à cinq ans d'intervalle. Les deux tableaux ci-dessous donnent les effectifs complets pour 2020 (600 inscrits) et pour 2025 (750 inscrits).$$\begin{array}{cccc}2020& \text{Emprunteurs actifs}& \text{Non actifs}& \text{Total}\\ \text{Moins de 18 ans}& 96& 144& 240\\ \text{18 ans et plus}& 252& 108& 360\\ \text{Total}& 348& 252& 600\end{array}$$$$\begin{array}{cccc}2025& \text{Emprunteurs actifs}& \text{Non actifs}& \text{Total}\\ \text{Moins de 18 ans}& 180& 120& 300\\ \text{18 ans et plus}& 270& 180& 450\\ \text{Total}& 450& 300& 750\end{array}$$1. Calculer la fréquence conditionnelle des emprunteurs actifs parmi les moins de 18 ans, pour chacune des deux années.
2. Calculer la fréquence conditionnelle des emprunteurs actifs parmi les 18 ans et plus, pour chacune des deux années.
3. Commenter l'évolution observée entre 2020 et 2025.

On considère une population répartie selon deux caractères $C_1$ et $C_2$, décrite par le tableau d'effectifs générique ci-dessous, où $a$, $b$, $c$, $d$ désignent des entiers strictement positifs.$$\begin{array}{cccc}& \text{Caracteˋre C2}& \text{Non C2}& \text{Total}\\ \text{Caracteˋre C1}& a& b& a+b\\ \text{Non C1}& c& d& c+d\\ \text{Total}& a+c& b+d& a+b+c+d\end{array}$$Démontrer que les caractères $C_1$ et $C_2$ sont statistiquement indépendants si, et seulement si, $ad=bc$.

Une commune de 900 foyers a mené une enquête sur le tri systématique des déchets ménagers, selon le type de logement. L'enquête fournit les informations suivantes :

- Il y a 150 foyers de plus vivant en appartement qu'en maison.
- Parmi les foyers en maison, il y a exactement deux fois plus de foyers qui trient systématiquement leurs déchets que de foyers qui ne le font pas.
- 155 foyers vivant en appartement ne trient pas systématiquement leurs déchets.
1. À l'aide de ces informations, déterminer tous les effectifs du tableau croisé ci-dessous.$$\begin{array}{cccc}& \text{Tri systeˊmatique}& \text{Pas de tri systeˊmatique}& \text{Total}\\ \text{Maison}& \dots & \dots & \dots \\ \text{Appartement}& \dots & 155& \dots \\ \text{Total}& \dots & \dots & 900\end{array}$$2. Calculer la fréquence marginale des foyers qui trient systématiquement leurs déchets.
3. Le type de logement et la pratique du tri systématique sont-ils statistiquement indépendants dans cette commune ? Justifier précisément, sans se contenter d'un arrondi grossier.

Une entreprise de 240 salariés a fait l'objet de deux études statistiques indépendantes. La première croise le sexe des salariés avec leur poste (Technique, Commercial ou Support) :$$\begin{array}{ccccc}& \text{Technique}& \text{Commercial}& \text{Support}& \text{Total}\\ \text{Femmes}& 35& 50& 35& 120\\ \text{Hommes}& 65& 30& 25& 120\\ \text{Total}& 100& 80& 60& 240\end{array}$$La seconde croise le poste occupé avec le suivi ou non d'une formation continue au cours de l'année :$$\begin{array}{cccc}& \text{Formation suivie}& \text{Pas de formation}& \text{Total}\\ \text{Technique}& 70& 30& 100\\ \text{Commercial}& 56& 24& 80\\ \text{Support}& 18& 42& 60\\ \text{Total}& 144& 96& 240\end{array}$$1. Quelle fréquence des salariés du poste Support ont suivi une formation continue ?
2. Quelle est la fréquence des femmes parmi les salariés du poste Technique ?
3. Peut-on déterminer, à partir de ces deux seuls tableaux, la fréquence des femmes du poste Technique ayant suivi une formation continue ? Justifier.

Un éditeur d'application mobile publie les résultats d'un sondage de satisfaction, exprimés en pourcentage et arrondis à l'unité, pour trois tranches d'âge.$$\begin{array}{ccccc}& \text{Satisfait}& \text{Pas satisfait}& \text{Sans avis}& \text{Somme}\\ \text{Moins de 25 ans}& 62\%& 21\%& 18\%& 101\%\\ \text{25-50 ans}& 55\%& 30\%& 15\%& 100\%\\ \text{50 ans et plus}& 47\%& 34\%& 20\%& 101\%\end{array}$$1. Vérifier, pour chaque tranche d'âge, si la somme des trois pourcentages vaut exactement 100 %.
2. Un écart avec 100 % signale-t-il nécessairement une erreur dans les données publiées ? Justifier en estimant l'écart maximal possible dû à l'arrondi, pour la somme de trois pourcentages chacun arrondis à l'unité.

Une salle d'escalade a étudié un échantillon test de 250 clients. Parmi eux, 90 ont souscrit un abonnement annuel, et parmi ces 90 abonnés annuels, 63 pratiquent l'escalade au moins deux fois par semaine.

La salle prévoit d'ouvrir une seconde structure, dans laquelle elle attend 400 abonnés annuels, dont la clientèle est supposée avoir une structure de pratique comparable à celle de l'échantillon test.

1. Vérifier que la fréquence conditionnelle des pratiquants réguliers (au moins deux fois par semaine) parmi les abonnés annuels de l'échantillon test est bien de 70 %.
2. En supposant que cette fréquence conditionnelle se maintient dans la nouvelle structure, estimer le nombre d'abonnés annuels de la nouvelle salle qui pratiqueraient l'escalade au moins deux fois par semaine.
3. Ce nombre est-il une valeur certaine ou une estimation ? Justifier en une phrase.

Une enquête de santé publique a interrogé 800 habitants d'une agglomération sur la survenue de troubles du sommeil déclarés, selon que leur quartier de résidence est proche ou éloigné d'une zone industrielle. Le tableau ci-dessous donne les effectifs complets.$$\begin{array}{cccc}& \text{Troubles du sommeil deˊclareˊs}& \text{Pas de troubles deˊclareˊs}& \text{Total}\\ \text{Quartier proche d’une zone industrielle}& 176& 144& 320\\ \text{Quartier eˊloigneˊ d’une zone industrielle}& 144& 336& 480\\ \text{Total}& 320& 480& 800\end{array}$$1. Vérifier que les effectifs du tableau sont cohérents avec l'effectif total de 800 habitants.
2. Tester l'indépendance statistique entre le quartier de résidence et la présence de troubles du sommeil déclarés.
3. Rédiger une phrase de conclusion sourcée sur les chiffres calculés, sans céder à une interprétation causale non justifiée par ces seules données.

On considère une population de $N$ personnes (avec $N>0$), décrite par deux caractères $A$ et $B$. Une proportion $p$ de la population possède le caractère $A$ (avec $0<p<1$). Parmi les personnes possédant le caractère $A$, une proportion $r$ possède également le caractère $B$. Parmi les personnes ne possédant pas le caractère $A$, une proportion $q$ possède le caractère $B$ (avec $0\le q,r\le 1$).

Démontrer que les caractères $A$ et $B$ sont statistiquement indépendants si, et seulement si, $r=q$.

Une bibliothèque universitaire compte 250 étudiants inscrits, répartis selon leur niveau d'étude (Licence ou Master) et le type de document emprunté au cours du mois (papier ou numérique). Le tableau ci-dessous donne les effectifs complets.$$\begin{array}{cccc}& \text{Papier}& \text{Numeˊrique}& \text{Total}\\ \text{Licence}& 60& 90& 150\\ \text{Master}& 40& 60& 100\\ \text{Total}& 100& 150& 250\end{array}$$1. Quelle est la fréquence marginale des emprunts numériques, exprimée en pourcentage ?
2. Quelle est la fréquence marginale des étudiants de Master parmi l'ensemble des inscrits ?

Un club de lecture compte 180 adhérents, répartis en deux niveaux (collège ou lycée) selon le genre littéraire qu'ils ont choisi ce trimestre (roman policier ou autre genre). Le tableau ci-dessous donne les effectifs complets.$$\begin{array}{cccc}& \text{Roman policier}& \text{Autre genre}& \text{Total}\\ \text{Colleˋge}& 24& 56& 80\\ \text{Lyceˊe}& 60& 40& 100\\ \text{Total}& 84& 96& 180\end{array}$$On s'intéresse uniquement aux 100 adhérents du niveau lycée.

Quelle est la fréquence conditionnelle des adhérents ayant choisi le roman policier, sachant qu'ils sont au lycée ?

Le rapport d'activité d'une association de 500 membres donne le tableau de fréquences suivant (en pourcentage de l'effectif total), croisant la catégorie d'âge et l'assiduité aux réunions mensuelles.$$\begin{array}{cccc}& \text{Preˊsent reˊgulieˋrement}& \text{Absent souvent}& \text{Total}\\ \text{Moins de 30 ans}& 12\%& 28\%& 40\%\\ \text{30 ans et plus}& 33\%& 27\%& 60\%\\ \text{Total}& 45\%& 55\%& 100\%\end{array}$$Le rapport ajoute la phrase suivante : « parmi les moins de 30 ans, 30 % assistent régulièrement aux réunions ».

1. Le pourcentage 40 %, situé en marge du tableau, est-il une fréquence marginale ou une fréquence conditionnelle ? Justifier par sa position dans le tableau.
2. Le pourcentage 30 % cité dans la phrase est-il une fréquence marginale ou une fréquence conditionnelle ? Retrouver cette valeur à partir du tableau.

Un club nautique propose un stage de voile à 150 stagiaires, répartis selon leur niveau (débutant ou confirmé) et la formule choisie (à la journée ou à la semaine). Certaines cases du tableau ci-dessous ont été effacées.$$\begin{array}{cccc}& \text{Formule journeˊe}& \text{Formule semaine}& \text{Total}\\ \text{Deˊbutant}& 38& \dots & 70\\ \text{Confirmeˊ}& \dots & 52& 80\\ \text{Total}& \dots & \dots & 150\end{array}$$1. Déterminer les deux cases manquantes de l'intérieur du tableau.
2. En déduire les deux totaux de colonnes manquants, et vérifier leur cohérence avec le total général.

Un refuge animalier recense 310 animaux, répartis selon leur espèce (chat ou chien) et leur statut (adopté ou non adopté au cours de l'année). Le tableau ci-dessous donne les effectifs complets.$$\begin{array}{cccc}& \text{Adopteˊ}& \text{Non adopteˊ}& \text{Total}\\ \text{Chat}& 54& 96& 150\\ \text{Chien}& 71& 89& 160\\ \text{Total}& 125& 185& 310\end{array}$$1. Donner la fréquence marginale des animaux adoptés, arrondie au dixième de pourcent.
2. Donner la fréquence marginale des chiens, arrondie au dixième de pourcent.

Un éditeur d'application de streaming musical communique les deux informations suivantes concernant ses abonnés :

a) « 45 % des abonnés utilisent l'application tous les jours. »
b) « Parmi les abonnés de moins de 20 ans, 68 % utilisent l'application tous les jours. »

Pour chacune des deux phrases, dire s'il s'agit d'une fréquence marginale ou d'une fréquence conditionnelle, en précisant la population de référence (l'ensemble des abonnés ou un sous-groupe).

Une auto-école compte 200 élèves inscrits, répartis selon le type de permis préparé (voiture B ou moto A2) et le résultat obtenu à l'examen du code dès la première tentative. On sait que :
- 70 % des élèves préparent le permis voiture (les autres préparent le permis moto) ;
- parmi les élèves en filière voiture, 25 % ont réussi le code dès la première tentative ;
- parmi les élèves en filière moto, 40 % ont réussi le code dès la première tentative.
1. Construire le tableau d'effectifs complet.
2. Quelle est la fréquence marginale des élèves ayant réussi le code dès la première tentative ?
3. Quelle fréquence des élèves ayant réussi le code dès la première tentative préparent le permis moto, arrondie au dixième de pourcent ?

Un jardin botanique a relevé la fréquentation de 480 visiteurs sur un mois, selon qu'ils bénéficient ou non d'un tarif réduit (étudiant, senior) et selon qu'ils ont visité l'exposition temporaire.$$\begin{array}{cccc}& \text{Exposition visiteˊe}& \text{Pas visiteˊe}& \text{Total}\\ \text{Tarif reˊduit}& 126& 154& 280\\ \text{Tarif plein}& 128& 72& 200\\ \text{Total}& 254& 226& 480\end{array}$$1. Calculer la fréquence marginale de visite de l'exposition, arrondie au dixième de pourcent.
2. Calculer la fréquence conditionnelle de visite de l'exposition sachant que le visiteur a payé le tarif réduit.
3. Rédiger une phrase comparant ces deux résultats.

Une école primaire propose trois ateliers périscolaires (échecs, arts plastiques, code informatique) à 160 élèves de CE1 et de CE2.$$\begin{array}{ccccc}& \text{Eˊchecs}& \text{Arts plastiques}& \text{Code informatique}& \text{Total}\\ \text{CE1}& 24& 40& 16& 80\\ \text{CE2}& 36& 20& 24& 80\\ \text{Total}& 60& 60& 40& 160\end{array}$$1. Parmi les élèves de CE1, quelle est la fréquence de ceux inscrits aux échecs ?
2. Parmi les élèves inscrits aux arts plastiques, quelle fréquence sont en CE1, arrondie au dixième de pourcent ?
3. Parmi les élèves de CE2, quelle est la fréquence de ceux inscrits au code informatique ?
4. Parmi les élèves inscrits au code informatique, quelle est la fréquence de ceux en CE2 ?

Un centre d'examen publie les résultats de 620 candidats au permis de conduire, répartis en trois catégories de véhicule (voiture, moto, poids lourd), selon la réussite ou l'échec à l'examen.$$\begin{array}{cccc}& \text{Reˊussite}& \text{Eˊchec}& \text{Total}\\ \text{Voiture}& 294& 126& 420\\ \text{Moto}& 72& 48& 120\\ \text{Poids lourd}& 50& 30& 80\\ \text{Total}& 416& 204& 620\end{array}$$1. Quelle est la fréquence marginale de réussite à l'examen, arrondie au dixième de pourcent ?
2. Quelle est la fréquence conditionnelle de réussite, sachant que le candidat passait le permis moto ?
3. Parmi les candidats reçus, quelle fréquence préparaient le permis poids lourd, arrondie au dixième de pourcent ?

Une usine de 400 salariés est répartie selon l'atelier d'affectation (A ou B) et le poste occupé (production ou qualité).$$\begin{array}{cccc}& \text{Production}& \text{Qualiteˊ}& \text{Total}\\ \text{Atelier A}& 120& 40& 160\\ \text{Atelier B}& 180& 60& 240\\ \text{Total}& 300& 100& 400\end{array}$$1. Construire le tableau de fréquences complet, en exprimant chaque case en pourcentage de l'effectif total de l'usine (400 salariés), et vérifier que la somme des quatre cases intérieures vaut 100 %.
2. À l'aide de ce tableau de fréquences, donner la fréquence des salariés de l'atelier B et au poste qualité (fréquence de la case).
3. Calculer la fréquence des salariés au poste qualité, sachant qu'ils sont dans l'atelier B (fréquence conditionnelle). Comparer avec la réponse à la question 2 et expliquer la différence.

Un club de randonnée compte 220 adhérents, chacun inscrit à un seul des deux types de sortie (sorties dominicales ou sorties nocturnes). On sait que :
- parmi les 90 adhérents inscrits aux sorties dominicales, 40 % sont des séniors ;
- parmi les 130 adhérents inscrits aux sorties nocturnes, 26 sont des séniors.
1. Combien d'adhérents séniors sont inscrits aux sorties dominicales ?
2. Quelle est la fréquence conditionnelle des séniors, sachant qu'ils sont inscrits aux sorties nocturnes, arrondie au dixième de pourcent ?
3. En déduire l'effectif total des séniors du club, puis leur fréquence marginale, arrondie au dixième de pourcent.

Une plateforme de streaming vidéo compte 600 abonnés, répartis selon leur type d'abonnement (premium ou gratuit avec publicité) et le fait d'avoir terminé au moins une série en entier au cours du mois.$$\begin{array}{cccc}& \text{A termineˊ une seˊrie}& \text{Pas termineˊ}& \text{Total}\\ \text{Premium}& 180& 70& 250\\ \text{Gratuit}& 91& 259& 350\\ \text{Total}& 271& 329& 600\end{array}$$1. Calculer la fréquence conditionnelle des abonnés ayant terminé une série, sachant abonnement premium, puis sachant abonnement gratuit.
2. Comparer ces deux fréquences et commenter l'écart observé, sans tirer de conclusion hâtive sur les causes de cet écart.

Un musée a accueilli 360 visiteurs sur une journée, répartis selon leur type d'accès (pass annuel ou billet simple) et selon qu'ils ont suivi ou non la visite guidée.$$\begin{array}{cccc}& \text{Visite guideˊe}& \text{Pas de visite guideˊe}& \text{Total}\\ \text{Pass annuel}& 60& 90& 150\\ \text{Billet simple}& 84& 126& 210\\ \text{Total}& 144& 216& 360\end{array}$$1. Calculer la fréquence conditionnelle de la visite guidée, sachant pass annuel, puis sachant billet simple.
2. Comparer ces deux fréquences à la fréquence marginale de la visite guidée. Que peut-on en conclure sur l'indépendance statistique des caractères « type d'accès » et « visite guidée » ?

Un établissement compte 240 élèves répartis en deux niveaux, primaire et collège. Parmi eux, 96 sont inscrits à l'atelier théâtre et 144 à l'atelier musique. Le niveau primaire compte 140 élèves, le niveau collège en compte 100. L'effectif de la case « primaire et théâtre » est noté $x$.$$\begin{array}{cccc}& \text{Theˊaˆtre}& \text{Musique}& \text{Total}\\ \text{Primaire}& x& 140-x& 140\\ \text{Colleˋge}& 96-x& \dots & 100\\ \text{Total}& 96& 144& 240\end{array}$$1. Exprimer, en fonction de $x$, l'effectif de la case « collège et musique », puis vérifier que le total général du tableau vaut bien 240 quelle que soit la valeur de $x$.
2. Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle les caractères « niveau scolaire » et « atelier suivi » sont statistiquement indépendants.
3. Vérifier que la valeur trouvée conduit à des effectifs entiers et positifs dans toutes les cases, et que l'indépendance se vérifie aussi depuis le niveau collège.

Chaque jour, une boulangerie vend $n$ produits (avec $n$ un entier strictement positif). On observe que, chaque jour :
- 30 % des produits vendus sont des viennoiseries, les 70 % restants sont du pain ;
- les ventes du matin (avant 10h) représentent toujours 40 % des ventes totales de la journée ;
- parmi les ventes du matin, la proportion de viennoiseries est également de 30 %.

Démontrer que, pour toute valeur de $n$, les caractères « type de produit (viennoiserie/pain) » et « moment de la vente (matin/reste de la journée) » sont statistiquement indépendants.

Une copropriété compte 400 lots. On sait que :
- 65 % des lots sont occupés par leur propriétaire (les autres appartiennent à des bailleurs, propriétaires non occupants) ;
- lors du vote sur les travaux de rénovation de la façade, parmi les occupants, 80 % ont voté pour les travaux ;
- parmi les bailleurs, 30 % ont voté pour les travaux.
1. Construire le tableau d'effectifs complet.
2. Quelle est la fréquence marginale des votes favorables aux travaux ?
3. Quelle fréquence des votes favorables proviennent de propriétaires occupants, arrondie au dixième de pourcent ?
4. Les caractères « statut du propriétaire » et « vote » sont-ils statistiquement indépendants ? Justifier.

Un institut a interrogé 900 personnes sur la notoriété d'une marque de vêtements. La répartition par tranche d'âge est la suivante : 30 % ont 15-24 ans, 45 % ont 25-45 ans, et 25 % ont 46 ans ou plus.

Le taux de personnes connaissant la marque, calculé dans chaque tranche d'âge (en colonne), est le suivant : 80 % chez les 15-24 ans, 60 % chez les 25-45 ans, et 40 % chez les 46 ans et plus.

1. Reconstituer les effectifs de chaque tranche d'âge, puis l'effectif de personnes connaissant la marque dans chaque tranche.
2. En déduire la fréquence conditionnelle des 25-45 ans parmi l'ensemble des personnes connaissant la marque, arrondie au dixième de pourcent.

Dans un collège de 280 élèves, le tableau ci-dessous donne les effectifs d'élèves inscrits ou non à l'atelier de code informatique, selon leur sexe.$$\begin{array}{cccc}& \text{Filles}& \text{Garc¸ons}& \text{Total}\\ \text{Code informatique}& 45& 75& 120\\ \text{Pas de code informatique}& 85& 75& 160\\ \text{Total}& 130& 150& 280\end{array}$$Un élève affirme : « 45 filles font du code informatique, sur 120 élèves qui en font au total, donc $\frac{45}{120}=37,5\%$ des filles font du code informatique. » Identifier précisément l'erreur commise par cet élève, puis donner le calcul correct.

Un camping suit le taux d'occupation complète de ses emplacements, selon leur type (tente ou mobil-home), sur deux étés successifs.

Été 2024, sur 240 emplacements loués :$$\begin{array}{cccc}2024& \text{Complet}& \text{Non complet}& \text{Total}\\ \text{Tente}& 54& 66& 120\\ \text{Mobil-home}& 84& 36& 120\\ \text{Total}& 138& 102& 240\end{array}$$Été 2025, sur 260 emplacements loués :$$\begin{array}{cccc}2025& \text{Complet}& \text{Non complet}& \text{Total}\\ \text{Tente}& 72& 58& 130\\ \text{Mobil-home}& 117& 13& 130\\ \text{Total}& 189& 71& 260\end{array}$$1. Calculer la fréquence conditionnelle d'occupation complète parmi les emplacements de type tente, pour chacune des deux années.
2. Calculer la fréquence conditionnelle d'occupation complète parmi les emplacements de type mobil-home, pour chacune des deux années.
3. Commenter l'évolution observée entre 2024 et 2025.

On considère une population de $a+b+c+d$ individus, répartis selon deux caractères $C_1$ (modalités « oui »/« non ») et $C_2$ (modalités « oui »/« non »), d'effectifs génériques $a$, $b$, $c$, $d$ tous strictement positifs.$$\begin{array}{cccc}& C_2\text{ oui}& C_2\text{ non}& \text{Total}\\ C_1\text{ oui}& a& b& a+b\\ C_1\text{ non}& c& d& c+d\\ \text{Total}& a+c& b+d& a+b+c+d\end{array}$$On note $N=a+b+c+d$ l'effectif total. Démontrer que les caractères $C_1$ et $C_2$ sont statistiquement indépendants si, et seulement si, la fréquence de la case « $C_1$ oui et $C_2$ oui » est égale au produit des deux fréquences marginales correspondantes, c'est-à-dire $\frac{a}{N}=\frac{a+b}{N}\times \frac{a+c}{N}$, puis que cette égalité équivaut à $ad=bc$.

Un club de judo compte 260 licenciés, répartis entre ceinture blanche/orange et ceinture noire, et entre licenciés participant à des compétitions et licenciés qui n'y participent pas. On sait que :
- il y a 60 licenciés de plus en ceinture blanche/orange qu'en ceinture noire ;
- parmi les ceintures noires, il y a trois fois plus de compétiteurs que de non-compétiteurs ;
- 45 licenciés en ceinture blanche/orange ne participent à aucune compétition.
1. En notant $x$ l'effectif des ceintures noires, déterminer $x$, puis en déduire tous les effectifs du tableau croisé ci-dessous.$$\begin{array}{cccc}& \text{Compeˊtiteur}& \text{Non compeˊtiteur}& \text{Total}\\ \text{Blanche/orange}& \dots & 45& \dots \\ \text{Noire}& \dots & \dots & \dots \\ \text{Total}& \dots & \dots & 260\end{array}$$2. Quelle est la fréquence marginale des compétiteurs, arrondie au dixième de pourcent ?
3. Les caractères « couleur de ceinture » et « participation aux compétitions » sont-ils statistiquement indépendants ? Justifier précisément, en comparant des fractions exactes plutôt que des valeurs arrondies.

Un lycée de 400 élèves de terminale a fait l'objet de deux études statistiques distinctes, partageant le caractère « filière » (générale ou technologique). La première croise la filière avec le mode de transport pour se rendre au lycée :$$\begin{array}{cccc}& \text{Veˊlo ou marche}& \text{Transport en commun}& \text{Total}\\ \text{Geˊneˊrale}& 98& 182& 280\\ \text{Technologique}& 54& 66& 120\\ \text{Total}& 152& 248& 400\end{array}$$La seconde croise la filière avec le fait d'occuper ou non un job étudiant durant l'année scolaire :$$\begin{array}{cccc}& \text{Job eˊtudiant}& \text{Pas de job}& \text{Total}\\ \text{Geˊneˊrale}& 70& 210& 280\\ \text{Technologique}& 54& 66& 120\\ \text{Total}& 124& 276& 400\end{array}$$1. Quelle fréquence des élèves utilisant le transport en commun sont en filière technologique, arrondie au dixième de pourcent ?
2. Quelle est la fréquence des élèves ayant un job étudiant parmi la filière générale ?
3. Peut-on déduire de ces deux tableaux la fréquence des élèves ayant un job étudiant parmi ceux se déplaçant à vélo ou à pied ? Justifier précisément.
4. Quel est le poids de la filière technologique dans l'effectif total du lycée ? Quelle fréquence des jobs étudiants au total proviennent de la filière technologique, arrondie au dixième de pourcent ?

Un gestionnaire immobilier publie, pour quatre résidences, la répartition en pourcentages arrondis à l'unité des avis des locataires sur la gestion du syndic, classés en trois modalités (satisfait, neutre, insatisfait), sans donner les effectifs sous-jacents.$$\begin{array}{ccccc}\text{Reˊsidence}& \text{Satisfait}& \text{Neutre}& \text{Insatisfait}& \text{Somme afficheˊe}\\ \text{Les Lilas}& 58\%& 27\%& 16\%& 101\%\\ \text{Les Ceˋdres}& 65\%& 19\%& 15\%& 99\%\\ \text{Les Acacias}& 44\%& 31\%& 26\%& 101\%\\ \text{Les Platanes}& 50\%& 20\%& 19\%& 89\%\end{array}$$1. Justifier que, pour un pourcentage arrondi à l'unité, la vraie valeur ne peut s'écarter de la valeur affichée que de 0,5 point au maximum, puis en déduire l'écart maximal possible, dû au seul arrondi, entre la somme affichée de trois pourcentages censés totaliser 100 % et la valeur 100 %.
2. Pour les résidences « Les Lilas », « Les Cèdres » et « Les Acacias », l'écart à 100 % observé est-il compatible avec un simple effet d'arrondi ?
3. Pour la résidence « Les Platanes », l'écart à 100 % observé est-il compatible avec un simple effet d'arrondi ? Que peut-on en conclure ?

Une plateforme de covoiturage a étudié un échantillon test de 300 trajets. Parmi eux, 180 trajets concernaient un covoiturage courte distance (moins de 50 km), et parmi ces trajets courte distance, 144 se sont déroulés avec au moins 3 passagers.

La plateforme prévoit de se développer dans une nouvelle zone géographique, où elle attend 900 trajets courte distance mensuels, avec une structure de covoiturage supposée comparable à celle de l'échantillon test.

1. Vérifier que la fréquence conditionnelle des trajets avec au moins 3 passagers, parmi les trajets courte distance de l'échantillon test, est bien de 80 %.
2. En supposant que cette fréquence conditionnelle se maintient dans la nouvelle zone, estimer le nombre de trajets courte distance, parmi les 900 attendus, qui se dérouleraient avec au moins 3 passagers.
3. Ce nombre est-il une valeur certaine ou une estimation ? Justifier en une phrase.

Une enquête de santé scolaire a interrogé 600 collégiens sur leur temps d'écran quotidien (plus ou moins de 3 heures par jour) et leur pratique d'un sport en club de façon régulière. Le tableau ci-dessous donne les effectifs complets.$$\begin{array}{cccc}& \text{Sport reˊgulier}& \text{Pas de sport reˊgulier}& \text{Total}\\ \text{Eˊcran}>\text{3h/jour}& 108& 252& 360\\ \text{Eˊcran}\le \text{3h/jour}& 144& 96& 240\\ \text{Total}& 252& 348& 600\end{array}$$1. Calculer la fréquence marginale des collégiens pratiquant un sport en club de façon régulière.
2. Calculer la fréquence conditionnelle de pratique sportive régulière, sachant plus de 3 heures d'écran par jour, puis sachant 3 heures ou moins.
3. Les caractères « temps d'écran quotidien » et « pratique sportive régulière » sont-ils statistiquement indépendants ? Justifier.
4. Rédiger une phrase de conclusion sourcée sur les chiffres de l'enquête, sans affirmer de lien de causalité que les données ne permettent pas d'établir.