Exercices de Statistiques et Probabilités, Première (page 3)

La chorale d'un collège compte 80 choristes, répartis selon leur voix (soprano ou alto) et leur niveau (débutant ou confirmé). Le tableau ci-dessous donne les effectifs complets.$$\begin{array}{cccc}& \text{Deˊbutant}& \text{Confirmeˊ}& \text{Total}\\ \text{Soprano}& 18& 22& 40\\ \text{Alto}& 16& 24& 40\\ \text{Total}& 34& 46& 80\end{array}$$1. Quelle est la fréquence marginale des choristes confirmés, exprimée en pourcentage ?
2. Quelle est la fréquence marginale des altos parmi l'ensemble de la chorale ?

Un centre de vacances accueille 150 enfants, répartis selon leur tranche d'âge et l'activité qu'ils ont choisie (voile ou escalade). Le tableau suivant donne les effectifs complets.$$\begin{array}{cccc}& \text{Voile}& \text{Escalade}& \text{Total}\\ \text{8-10 ans}& 35& 40& 75\\ \text{11-13 ans}& 30& 45& 75\\ \text{Total}& 65& 85& 150\end{array}$$Parmi les enfants âgés de 11 à 13 ans, quelle est la fréquence de ceux qui pratiquent l'escalade ?

Un magazine publie les résultats d'une enquête menée auprès de lycéens, directement exprimés en pourcentage de l'ensemble des personnes interrogées.$$\begin{array}{ccccc}& \text{Instagram}& \text{TikTok}& \text{Snapchat}& \text{Total}\\ \text{12-14 ans}& 10\%& 25\%& 15\%& 50\%\\ \text{15-17 ans}& 20\%& 20\%& 10\%& 50\%\\ \text{Total}& 30\%& 45\%& 25\%& 100\%\end{array}$$1. Le magazine écrit : « TikTok est le réseau préféré de 45 % des lycéens interrogés ». S'agit-il d'une fréquence marginale ou d'une fréquence conditionnelle ? Justifier à l'aide de la position de ce nombre dans le tableau.
2. Le magazine ajoute : « parmi les 15-17 ans, 40 % préfèrent TikTok ». S'agit-il d'une fréquence marginale ou conditionnelle ? Retrouver ce chiffre à partir du tableau.

Le service informatique d'un lycée a recensé, sur une année, les pannes déclarées selon le type d'appareil (ordinateur portable ou tablette) et la nature de la panne (matérielle ou logicielle). Une case du tableau a été effacée.$$\begin{array}{cccc}& \text{Panne mateˊrielle}& \text{Panne logicielle}& \text{Total}\\ \text{Ordinateur portable}& ?& 30& 100\\ \text{Tablette}& 20& 30& 50\\ \text{Total}& 90& 60& 150\end{array}$$1. Déterminer le nombre de pannes matérielles concernant les ordinateurs portables.
2. En déduire la fréquence marginale des pannes matérielles parmi l'ensemble des pannes recensées.

Un service des espaces verts recense les arbres d'un parc municipal selon leur essence. Sur 440 arbres au total, on dénombre 142 chênes, 98 érables, 76 bouleaux et 124 arbres d'autres essences.

1. Calculer la fréquence marginale des chênes dans le parc, arrondie au dixième de pourcentage.
2. Calculer la fréquence marginale des bouleaux dans le parc, sous forme décimale arrondie au centième.

Une salle d'escalade compte 180 grimpeurs inscrits. Parmi eux, 72 pratiquent en compétition. La salle compte aussi 110 grimpeurs de niveau confirmé, parmi lesquels 55 pratiquent en compétition.

1. Parmi les deux fréquences que l'on peut calculer à partir de ces informations, laquelle est une fréquence marginale, laquelle est une fréquence conditionnelle ? Justifier sans calcul, à partir de la formulation de l'énoncé.
2. Calculer ces deux fréquences.

Un centre de loisirs propose un atelier cuisine à 200 enfants. Parmi eux, 45 % choisissent l'atelier pâtisserie, les autres choisissent l'atelier cuisine salée.

Parmi les enfants inscrits à l'atelier pâtisserie, 40 % sont de niveau avancé, les autres étant débutants. Parmi les enfants inscrits à l'atelier cuisine salée, 20 % sont de niveau avancé, les autres étant débutants.

1. Construire le tableau d'effectifs complet croisant l'atelier choisi et le niveau.
2. Calculer la fréquence marginale des enfants de niveau avancé parmi l'ensemble des 200 enfants.

Une association a interrogé 320 personnes après une campagne de sensibilisation au don d'organes, en distinguant les personnes qui se disent bien informées sur le sujet de celles qui ne le sont pas, et leur position favorable ou non au don.$$\begin{array}{cccc}& \text{Favorable}& \text{Non favorable}& \text{Total}\\ \text{Bien informeˊ}& 126& 54& 180\\ \text{Peu informeˊ}& 42& 98& 140\\ \text{Total}& 168& 152& 320\end{array}$$1. Calculer la fréquence des personnes favorables au don parmi les personnes bien informées.
2. Calculer la fréquence marginale des personnes favorables au don sur l'ensemble des 320 personnes interrogées.
3. Comparer ces deux fréquences dans une phrase de conclusion.

Une entreprise de 250 salariés propose gratuitement la vaccination contre la grippe. On distingue les salariés du service administratif de ceux du service production.$$\begin{array}{cccc}& \text{Vaccineˊ}& \text{Non vaccineˊ}& \text{Total}\\ \text{Administratif}& 54& 36& 90\\ \text{Production}& 64& 96& 160\\ \text{Total}& 118& 132& 250\end{array}$$1. Quelle est la fréquence de vaccination parmi les salariés du service administratif ?
2. Quelle est la fréquence de vaccination parmi les salariés du service production ?
3. Quelle est la fréquence marginale de vaccination sur l'ensemble de l'entreprise ?

Une école d'ingénieurs compte trois filières de première année : Informatique, Mécanique et Énergie, chacune comptant 120 étudiants. Le tableau ci-dessous donne, pour chaque filière, le nombre d'étudiants ayant redoublé leur année.$$\begin{array}{cccc}& \text{Redouble}& \text{Ne redouble pas}& \text{Total}\\ \text{Informatique}& 12& 108& 120\\ \text{Meˊcanique}& 18& 102& 120\\ \text{Eˊnergie}& 15& 105& 120\\ \text{Total}& 45& 315& 360\end{array}$$1. Calculer la fréquence de redoublement dans chacune des trois filières.
2. Calculer la fréquence marginale de redoublement sur l'ensemble des trois filières.

Une commune répartit son budget loisirs (400 milliers d'euros) entre trois postes (sport, culture, jeunesse) et deux quartiers (Nord et Sud). Le tableau ci-dessous donne les montants, en milliers d'euros.$$\begin{array}{ccccc}& \text{Sport}& \text{Culture}& \text{Jeunesse}& \text{Total}\\ \text{Nord}& 80& 50& 30& 160\\ \text{Sud}& 60& 70& 110& 240\\ \text{Total}& 140& 120& 140& 400\end{array}$$1. Construire le tableau de fréquences correspondant, en exprimant chaque case en pourcentage du budget total.
2. Quelle est la fréquence conditionnelle du poste « jeunesse » parmi le budget du quartier Sud ?

Un lycée compte 90 élèves de terminale. Parmi eux, 30 % sont inscrits à l'atelier robotique proposé en option.

Combien d'élèves de terminale sont inscrits à l'atelier robotique ?

Une entreprise emploie 140 hommes et 160 femmes. Parmi les hommes, 42 pratiquent le covoiturage pour se rendre au travail. Parmi les femmes, 56 pratiquent le covoiturage.

1. Calculer la fréquence de pratique du covoiturage parmi les hommes.
2. Calculer la fréquence de pratique du covoiturage parmi les femmes.
3. Cette entreprise peut-elle affirmer que les femmes covoiturent davantage que les hommes ? Justifier.

Une entreprise de 300 salariés distingue les salariés en CDI de ceux en CDD, et ceux ayant suivi une formation continue au cours de l'année de ceux n'en ayant pas suivi.$$\begin{array}{cccc}& \text{Formation suivie}& \text{Pas de formation}& \text{Total}\\ \text{CDI}& 63& 147& 210\\ \text{CDD}& 27& 63& 90\\ \text{Total}& 90& 210& 300\end{array}$$Le type de contrat (CDI ou CDD) et le fait d'avoir suivi une formation continue sont-ils statistiquement indépendants dans cette entreprise ? Justifier précisément.

Un club d'échecs compte 100 membres, répartis en 60 débutants et 40 confirmés. Parmi les confirmés, 20 sont licenciés en compétition. On note $x$ le nombre de débutants licenciés en compétition.

Déterminer la valeur de $x$ pour que le niveau (débutant ou confirmé) et le fait d'être licencié en compétition soient statistiquement indépendants.$$\begin{array}{cccc}& \text{Licencieˊ}& \text{Non licencieˊ}& \text{Total}\\ \text{Deˊbutant}& x& 60-x& 60\\ \text{Confirmeˊ}& 20& 20& 40\\ \text{Total}& x+20& 80-x& 100\end{array}$$

Dans une population de $9n$ personnes abonnées à la presse ($n$ entier naturel non nul), on distingue les moins de 25 ans et les 25 ans et plus. Les effectifs sont donnés en fonction de $n$ dans le tableau ci-dessous.$$\begin{array}{cccc}& \text{Papier}& \text{Numeˊrique}& \text{Total}\\ \text{Moins de 25 ans}& n& 2n& 3n\\ \text{25 ans et plus}& 2n& 4n& 6n\\ \text{Total}& 3n& 6n& 9n\end{array}$$Montrer que l'âge (moins de 25 ans / 25 ans et plus) et le mode d'abonnement (papier / numérique) sont statistiquement indépendants, quelle que soit la valeur de $n$.

Une entreprise compte 500 salariés. 60 % d'entre eux travaillent à temps plein, les autres à temps partiel. Parmi les salariés à temps plein, 25 % ont le statut cadre. Parmi les salariés à temps partiel, 10 % ont le statut cadre.

1. Construire le tableau d'effectifs complet croisant temps de travail et statut.
2. Calculer la fréquence marginale des cadres dans l'entreprise.
3. Le statut cadre est-il aussi fréquent chez les salariés à temps partiel que chez les salariés à temps plein ? Justifier par les deux fréquences conditionnelles calculées.

Une agglomération de 1000 habitants a été interrogée sur un projet d'extension des transports en commun, par tranche d'âge. Seuls les effectifs de chaque tranche d'âge et le pourcentage de personnes favorables dans chaque tranche sont publiés :

- moins de 30 ans : 240 personnes, dont 70 % favorables ;
- 30 à 50 ans : 360 personnes, dont 45 % favorables ;
- 50 ans et plus : 400 personnes, dont 25 % favorables.
1. Reconstituer le nombre de personnes favorables dans chaque tranche d'âge, puis le nombre total de personnes favorables au projet.
2. Parmi les personnes favorables au projet, quelle proportion a moins de 30 ans ? Arrondir au dixième de pourcentage.

Un lycée de 200 élèves comprend deux filières : générale (120 élèves) et technologique (80 élèves). Le tableau ci-dessous donne les effectifs inscrits à l'atelier théâtre facultatif.$$\begin{array}{cccc}& \text{Inscrit au theˊaˆtre}& \text{Non inscrit}& \text{Total}\\ \text{Geˊneˊrale}& 24& 96& 120\\ \text{Technologique}& 8& 72& 80\\ \text{Total}& 32& 168& 200\end{array}$$Un élève affirme : « 24 élèves de générale sont inscrits au théâtre sur 200 élèves au lycée, donc la fréquence des inscrits au théâtre parmi les élèves de générale est de $\frac{24}{200}=12\%$. »

Cette affirmation est-elle correcte ? Si non, identifier précisément l'erreur commise et donner le bon calcul.

On compare l'équipement en internet haut débit de deux quartiers d'une même ville.

Dans le quartier A, une enquête menée auprès de 300 foyers montre que 210 disposent d'une connexion haut débit.

Dans le quartier B, une enquête menée auprès de 250 foyers montre que 150 disposent d'une connexion haut débit.

1. Calculer la fréquence de foyers équipés en haut débit dans chacun des deux quartiers.
2. Peut-on comparer directement les deux effectifs (210 et 150) pour conclure que le quartier A est mieux équipé que le quartier B ? Justifier, puis conclure à l'aide des fréquences.

On considère un tableau croisé d'effectifs 2x2 quelconque, portant sur deux caractères $X$ (deux modalités $X_1$, $X_2$) et $Y$ (deux modalités $Y_1$, $Y_2$), avec des effectifs $a$, $b$, $c$, $d$ tous strictement positifs.$$\begin{array}{cccc}& Y_1& Y_2& \text{Total}\\ X_1& a& b& a+b\\ X_2& c& d& c+d\\ \text{Total}& a+c& b+d& a+b+c+d\end{array}$$Démontrer que $X$ et $Y$ sont statistiquement indépendants si, et seulement si, $ad=bc$.

Une entreprise a recruté 300 stagiaires cette année, 200 issus de l'université et 100 issus d'écoles d'ingénieurs. Parmi ces 300 stagiaires, 90 ont finalement été retenus en CDI à l'issue du stage. Le nombre de stagiaires issus d'écoles d'ingénieurs retenus en CDI dépasse de 10 le nombre de stagiaires issus de l'université retenus en CDI.

1. En notant $a$ le nombre de stagiaires universitaires retenus en CDI, exprimer le nombre de stagiaires d'écoles d'ingénieurs retenus en CDI en fonction de $a$, puis déterminer $a$.
2. Compléter le tableau croisé effectifs correspondant.
3. Calculer la fréquence de rétention en CDI dans chacune des deux populations, et conclure sur un éventuel lien entre l'origine de formation et la rétention.

Une classe préparatoire dispose de deux données sur ses 400 étudiants de première année, issus des sections S et ES du lycée.

Premier tableau, croisant la section d'origine et le niveau d'études suivi (Terminale directement, ou année de préparation supplémentaire notée « Prépa ») :$$\begin{array}{cccc}& \text{Terminale}& \text{Preˊpa}& \text{Total}\\ \text{Section S}& 120& 80& 200\\ \text{Section ES}& 80& 120& 200\\ \text{Total}& 200& 200& 400\end{array}$$Second tableau, croisant le niveau d'études suivi et la réussite à un concours d'entrée en école :$$\begin{array}{cccc}& \text{Reˊussite}& \text{Eˊchec}& \text{Total}\\ \text{Terminale}& 50& 150& 200\\ \text{Preˊpa}& 150& 50& 200\\ \text{Total}& 200& 200& 400\end{array}$$1. Calculer la fréquence de réussite au concours parmi les étudiants venus directement de terminale, puis parmi ceux ayant fait une année de prépa.
2. Calculer, à partir du premier tableau, la fréquence d'étudiants de section S parmi ceux ayant fait une année de prépa.
3. Un étudiant affirme : « les élèves de section S réussissent mieux le concours que ceux de section ES, car il y a plus d'élèves de S en prépa, et la prépa aide à réussir. » Ce raisonnement est-il rigoureux au vu des deux tableaux disponibles ?

Un institut de sondage publie la répartition du réseau social préféré de 1200 lycéens, les pourcentages ayant été arrondis à l'unité :$$\begin{array}{ccccc}\text{Reˊseau}& \text{Instagram}& \text{TikTok}& \text{Snapchat}& \text{YouTube}\\ \text{Freˊquence}& 37\%& 34\%& 21\%& 9\%\end{array}$$Un lecteur du sondage remarque que $37+34+21+9=101$, et en conclut que l'institut a commis une erreur, puisque les fréquences d'une répartition complète doivent sommer à 100 %.

Cette conclusion est-elle justifiée ? Expliquer précisément d'où peut provenir cet écart, sans disposer des effectifs exacts.

Une communauté de communes a mené une enquête auprès d'un échantillon de 250 foyers, choisi comme représentatif de l'ensemble de son territoire. Parmi ces 250 foyers, 175 déclarent trier systématiquement leurs déchets recyclables.

La communauté de communes compte au total 18 000 foyers.

1. Calculer la fréquence de tri systématique observée sur l'échantillon.
2. En supposant que l'échantillon reflète fidèlement l'ensemble du territoire, estimer le nombre de foyers du territoire triant systématiquement leurs déchets.
3. Cette estimation est-elle une valeur certaine ? Justifier.

Un collège propose chaque jour, à sa cantine, le choix entre un menu bio et un menu classique. On a relevé les choix des élèves selon leur niveau : les 6e-5e (300 élèves) et les 4e-3e (240 élèves).$$\begin{array}{cccc}& \text{Menu bio}& \text{Menu classique}& \text{Total}\\ \text{6e-5e}& 90& 210& 300\\ \text{4e-3e}& 72& 168& 240\\ \text{Total}& 162& 378& 540\end{array}$$Le choix du menu bio dépend-il du niveau scolaire des élèves (6e-5e ou 4e-3e) ? Rédiger une conclusion complète, appuyée sur les fréquences calculées.

Un radar automatique a enregistré 400 passages de véhicules sur une semaine, répartis entre passages de jour et passages de nuit. Parmi eux, certains sont en excès de vitesse.$$\begin{array}{cccc}& \text{Exceˋs de vitesse}& \text{Vitesse conforme}& \text{Total}\\ \text{Jour}& 42& 238& 280\\ \text{Nuit}& 48& 72& 120\\ \text{Total}& 90& 310& 400\end{array}$$1. Le moment de la journée (jour ou nuit) et le fait d'être en excès de vitesse sont-ils statistiquement indépendants ? Justifier par les fréquences.
2. La conclusion précédente permet-elle d'affirmer que rouler la nuit provoque les excès de vitesse ? Justifier.

Un cinéma a relevé, pour $600$ clients, la séance choisie et le type de billet.$$\begin{array}{ccc}& \text{Abonneˊ}& \text{Non abonneˊ}\\ \text{Matineˊe}& 90& 60\\ \text{Soireˊe}& 210& 240\end{array}$$1. Compléter le tableau avec les totaux des lignes et des colonnes.
2. Calculer les fréquences marginales $f(\text{Soireˊe})$ et $f(\text{Abonneˊ})$.
3. Calculer les fréquences conditionnelles $f_{\text{Soireˊe}}(\text{Abonneˊ})$ et $f_{\text{Abonneˊ}}(\text{Soireˊe})$. Que signifie chacune d'elles ?
4. On choisit un client au hasard parmi les $600$. Donner la probabilité qu'il soit abonné, puis la probabilité qu'il soit abonné sachant qu'il a choisi la séance du soir.

Un club de sport compte $300$ adhérents répartis ainsi.$$\begin{array}{cccc}& \text{Deˊbutant}& \text{Confirmeˊ}& \text{Total}\\ \text{Natation}& 72& 48& 120\\ \text{Tennis}& 66& 114& 180\\ \text{Total}& 138& 162& 300\end{array}$$On choisit un adhérent au hasard dans le club. On note $N$ : « l'adhérent pratique la natation » et $D$ : « l'adhérent est débutant ».

1. Pourquoi peut-on lire les fréquences du tableau comme des probabilités ?
2. Calculer la fréquence marginale $f(N)$ puis la fréquence conditionnelle $f_N(D)$, et en déduire $P(N)$ et $P_N(D)$.
3. Calculer $f_D(N)$ et en déduire $P_D(N)$. Traduire ce résultat par une phrase.

Dans un lycée, on étudie la participation à l'atelier théâtre selon le sexe. Le tableau donne la répartition des élèves, en pourcentage de l'effectif total.$$\begin{array}{cccc}& \text{Theˊaˆtre}& \text{Pas de theˊaˆtre}& \text{Total}\\ \text{Filles}& 22\%& 33\%& 55\%\\ \text{Garc¸ons}& 8\%& 37\%& 45\%\\ \text{Total}& 30\%& 70\%& 100\%\end{array}$$On choisit un élève au hasard dans ce lycée. On note $F$ : « l'élève est une fille » et $T$ : « l'élève fait du théâtre ».

1. Donner $P(F)$, $P(T)$ et $P(F\cap T)$.
2. Calculer la fréquence conditionnelle $f_F(T)$ et en déduire $P_F(T)$. Traduire par une phrase.
3. Calculer $P_T(F)$. A-t-on $P_T(F)=P_F(T)$ ?
4. Vérifier que $P(F\cap T)=P(F)\times P_F(T)$.

Dans une gare, on interroge $500$ voyageurs sur le train pris et le motif de leur voyage.$$\begin{array}{ccccc}& \text{Travail}& \text{Loisirs}& \text{Eˊtudes}& \text{Total}\\ \text{TGV}& 120& 150& 30& 300\\ \text{TER}& 100& 40& 60& 200\\ \text{Total}& 220& 190& 90& 500\end{array}$$On choisit un voyageur au hasard parmi les $500$. Calculer chacune des probabilités suivantes, en précisant l'effectif de la condition et celui de l'intersection :

1. $P_{\text{TGV}}(\text{Travail})$ et $P_{\text{TER}}(\text{Travail})$.
2. $P_{\text{Travail}}(\text{TGV})$ et $P_{\text{Eˊtudes}}(\text{TER})$.
3. Vérifier que $P_{\text{TER}}(\text{Travail})+P_{\text{TER}}(\text{Loisirs})+P_{\text{TER}}(\text{Eˊtudes})=1$.
4. Vérifier que $P_{\text{Travail}}(\text{TGV})+P_{\text{Travail}}(\text{TER})=1$.

Une médiathèque interroge $400$ personnes sur leur âge et sur leur statut d'abonné. Les résultats sont les suivants.$$\begin{array}{cccc}& \text{Abonneˊ}& \text{Non abonneˊ}& \text{Total}\\ \text{Moins de }25\text{ ans}& 90& 60& 150\\ 25\text{ ans ou plus}& 70& 180& 250\\ \text{Total}& 160& 240& 400\end{array}$$1. Calculer les fréquences marginales des deux catégories d'âge.
2. Calculer, dans chaque catégorie d'âge, la fréquence conditionnelle des abonnés et celle des non-abonnés.
3. Construire l'arbre pondéré dont le premier niveau est l'âge et le second niveau le statut d'abonné.
4. Vérifier que le produit des poids du chemin « moins de 25 ans, abonné » redonne la fréquence de la case correspondante du tableau, puis faire de même pour le chemin « 25 ans ou plus, non abonné ».

Une entreprise de $500$ salariés a mené une enquête sur le télétravail. Les résultats sont les suivants.$$\begin{array}{cccc}& \text{Teˊleˊtravail}& \text{Pas de teˊleˊtravail}& \text{Total}\\ \text{Production}& 20& 180& 200\\ \text{Commercial}& 78& 42& 120\\ \text{Administratif}& 99& 81& 180\\ \text{Total}& 197& 303& 500\end{array}$$1. Construire l'arbre pondéré dont le premier niveau est le service (trois branches) et le second niveau le télétravail, en calculant les fréquences marginales puis conditionnelles.
2. Un salarié du service commercial est-il plus souvent en télétravail qu'un salarié du service administratif ? Justifier avec les poids de l'arbre.
3. Retrouver, à l'aide d'un produit de poids, l'effectif des salariés du service commercial sans télétravail.

Une enquête sur les trajets domicile-travail croise le mode de transport et le lieu de résidence. Le tableau donne la fréquence de chaque case par rapport à l'ensemble des personnes interrogées.$$\begin{array}{cccc}& \text{Ville}& \text{Campagne}& \text{Total}\\ \text{Voiture}& 0,12& 0,20& 0,32\\ \text{Transports en commun}& 0,30& 0,10& 0,40\\ \text{Marche ou veˊlo}& 0,14& 0,14& 0,28\\ \text{Total}& 0,56& 0,44& 1\end{array}$$1. Construire l'arbre pondéré dont le premier niveau est le mode de transport (trois branches) et le second niveau le lieu de résidence. On calculera les fréquences conditionnelles en divisant la fréquence d'une case par la fréquence marginale de sa ligne.
2. Vérifier que, pour chaque mode de transport, la somme des poids des deux branches du second niveau vaut $1$.
3. Retrouver, par un produit de poids, la fréquence de la case « Transports en commun et Campagne ».

Un restaurant a relevé, pour $500$ clients, le service choisi et la prise ou non d'un dessert.$$\begin{array}{cccc}& \text{Dessert}& \text{Pas de dessert}& \text{Total}\\ \text{Midi}& 120& 180& 300\\ \text{Soir}& 140& 60& 200\\ \text{Total}& 260& 240& 500\end{array}$$On choisit un client au hasard.

1. Construire l'arbre pondéré dont le premier niveau est le service et le second niveau la prise de dessert.
2. Calculer la probabilité que le client ait déjeuné à midi et pris un dessert.
3. Calculer la probabilité que le client ait pris un dessert, en additionnant les chemins qui y mènent.
4. Calculer la probabilité que le client n'ait pas pris de dessert, puis vérifier avec le tableau.

Dans un lycée de $2000$ élèves, on a relevé le niveau de classe et la pratique d'une activité de bénévolat.$$\begin{array}{cccc}& \text{Beˊneˊvole}& \text{Non beˊneˊvole}& \text{Total}\\ \text{Seconde}& 80& 720& 800\\ \text{Premieˋre}& 210& 490& 700\\ \text{Terminale}& 250& 250& 500\\ \text{Total}& 540& 1460& 2000\end{array}$$On choisit un élève au hasard dans ce lycée.

1. Construire l'arbre pondéré dont le premier niveau est le niveau de classe (trois branches) et le second niveau la pratique du bénévolat.
2. Calculer la probabilité que l'élève soit en classe de Première et bénévole.
3. Calculer la probabilité que l'élève soit bénévole. Retrouver ce résultat avec le tableau.
4. Calculer la probabilité que l'élève soit en Première ou en Terminale et bénévole.
5. Calculer la probabilité que l'élève ne soit pas bénévole en additionnant les chemins correspondants, puis par l'événement contraire.

Dans un lycée de $400$ élèves, on a relevé le régime (interne ou externe) et le sexe des élèves.$$\begin{array}{cccc}& \text{Fille}& \text{Garc¸on}& \text{Total}\\ \text{Interne}& 60& 40& 100\\ \text{Externe}& 140& 160& 300\\ \text{Total}& 200& 200& 400\end{array}$$Un journaliste interroge successivement et avec remise trois élèves choisis au hasard dans ce lycée. Les trois choix sont indépendants.

1. Calculer la probabilité $p$ qu'un élève choisi au hasard soit interne.
2. Calculer la probabilité que les trois élèves interrogés soient tous internes.
3. Calculer la probabilité qu'aucun des trois élèves ne soit interne.
4. Calculer la probabilité que seul le premier élève interrogé soit interne.

Un commerçant a interrogé $200$ clients sur leur satisfaction, selon le canal d'achat.$$\begin{array}{cccc}& \text{Satisfait}& \text{Non satisfait}& \text{Total}\\ \text{Magasin}& 70& 30& 100\\ \text{En ligne}& 60& 40& 100\\ \text{Total}& 130& 70& 200\end{array}$$On interroge successivement et avec remise trois clients choisis au hasard dans cette population de $200$ clients, les choix étant indépendants.

1. Calculer la probabilité qu'un client choisi au hasard soit satisfait.
2. Calculer la probabilité que les trois clients soient satisfaits, puis qu'aucun ne le soit.
3. Calculer la probabilité qu'exactement deux clients sur les trois soient satisfaits. On listera les ordres possibles.
4. En déduire la probabilité qu'au moins un des trois clients ne soit pas satisfait.

Une usine fabrique $1000$ pièces par jour sur deux machines. Le tableau croise la machine et l'état de la pièce.$$\begin{array}{cccc}& \text{Conforme}& \text{Deˊfectueuse}& \text{Total}\\ \text{Machine }A& 560& 40& 600\\ \text{Machine }B& 340& 60& 400\\ \text{Total}& 900& 100& 1000\end{array}$$Un contrôleur prélève successivement et avec remise des pièces au hasard dans la production du jour ; les prélèvements sont indépendants.

1. Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée soit défectueuse.
2. Il prélève $4$ pièces. Calculer la probabilité qu'aucune ne soit défectueuse, puis qu'au moins une le soit.
3. Calculer la probabilité qu'exactement une des $4$ pièces soit défectueuse. On expliquera pourquoi il y a quatre ordres possibles.
4. Combien de pièces doit-il prélever au minimum pour que la probabilité de détecter au moins une pièce défectueuse dépasse $0,5$ ? On procédera par essais successifs avec la calculatrice.