Exercices de Suites Arithmétiques et Suites Géométriques en maths Première

1. $Partie 1$

Dans le tableau suivant, on a reporté le nombre de nouveaux cas journaliers atteints du virus de la Covid-19, chaque samedi et du

5

septembre au

24

octobre 2020.
Source : Santé Publique France - ARS

Jour Nouveaux cas 5 sept 8550 12 sept 10561 19 sept 13498 26 sept 14412 3 oct 16972 10 oct 26896 17 oct 32427 24 oct 45422

1) Représenter les données du tableau dans un graphique. On prendra sur l'axe des ordonnées

1 cm

pour

5000

cas. Commenter le nuage de points ainsi obtenu.

2) Justifier que, du

5

septembre au

12

septembre, le nombre de nouveaux cas est multiplié par environ

1, 235

.

*Ce coefficient, noté

R

, est appelé le taux de reproduction du virus. Celui-ci désigne le nombre de nouveaux cas qu'une seule personne infectieuse va générer en moyenne dans une population.*
*Si

R = 2

par exemple, deux personnes atteintes en infecteront en moyenne quatre autres, qui elles en infecteront huit nouvelles...*

3) Calculer, de même, les taux de reproduction du virus pour les autres semaines.
4) Démontrer que le taux de reproduction moyen hebdomadaire est environ égal à

1, 269446

2. $Partie 2$

Dans cette partie, on prendra

R = 1, 27

comme taux de reproduction hebdomadaire du virus.
On note

u_{n}

le nombre de nouveaux cas à la

n

-ième semaine après le

5

septembre.
On a donc :

u_{0} = 8550

. Et on admettra que le modèle mathématique reste valable au-delà du

24

octobre 2020.

1) a) Quelle est la nature de la suite

(u_{n})

? Déterminer sa raison.
b) Écrire, pour tout entier naturel

n

, l'expression de

u_{n}

en fonction de

n

.

2) Calculer

u_{7}

et interpréter le résultat.

3) Calculer le nombre de nouveaux cas :
- le

31

octobre,
- le

21

novembre.

4) Selon ce modèle, à quelle date, le nombre de nouveaux cas journaliers dépasserait-il théoriquement le million ? Détailler la démarche mise en œuvre pour trouver (par calcul, à l'aide d'un tableur, ...).
5) Calculer le nombre total de cas cumulés entre le samedi

5

septembre et le vendredi

6

novembre inclus.
*Indication : Pour simplifier les calculs, on considère que le nombre de malades reste constant sur les 6 jours consécutifs à un samedi donné.*

Voir le corrigé

1. a) Dans ce modèle, le nombre de nouveaux cas est multiplié par

R = 1, 27

d'une semaine à la suivante : pour tout entier naturel

n

u_{n + 1} = 1, 27 \times u_{n}

.
La suite

(u_{n})

est donc géométrique, de raison

q = 1, 27

et de premier terme

u_{0} = 8550

.

b) Le terme général d'une suite géométrique est

u_{n} = u_{0} \times q^{n}

, donc, pour tout entier naturel

n

u_{n} = 8550 \times 1, 2 7^{n} .

u_{7} = 8550 \times 1, 2 7^{7} \approx 45561

.
La septième semaine après le 5 septembre correspond au samedi 24 octobre (

7 \times 7 = 49

jours plus tard). Selon le modèle, il y aurait ce jour-là environ

45561

nouveaux cas. Le nombre réellement observé est

45422

: l'écart est d'environ

0, 3 %

, le modèle décrit bien l'évolution du 5 septembre au 24 octobre.

3. On compte les semaines écoulées depuis le samedi 5 septembre.
- Le 31 octobre est

56

jours après le 5 septembre (

25

jours jusqu'au 30 septembre, puis les

31

jours d'octobre), soit

8

semaines :

u_{8} = 8550 \times 1, 2 7^{8} \approx 57862

nouveaux cas.
- Le 21 novembre est

3

semaines après le 31 octobre, soit

11

semaines après le 5 septembre :

u_{11} = 8550 \times 1, 2 7^{11} \approx 118524

nouveaux cas.

4. On cherche le plus petit entier naturel

n

tel que

u_{n} > 1000000

, c'est-à-dire

8550 \times 1, 2 7^{n} > 1000000

.
Démarche : on calcule les termes de proche en proche, en multipliant par

1, 27

chaque semaine, avec le tableau de valeurs de la calculatrice, un tableur ou une boucle « tant que

u \leq 1000000

, remplacer

u

par

1, 27 \times u

n

par

n + 1

». On obtient :

u_{19} = 8550 \times 1, 2 7^{19} \approx 802115 et u_{20} = 8550 \times 1, 2 7^{20} \approx 1018 686.

La suite est croissante (raison

1, 27 > 1

u_{0} > 0

), donc

u_{n} \leq u_{19} < 1000000

pour tout

n \leq 19

: le million est dépassé pour la première fois à la semaine

n = 20

20

semaines font

140

jours. Depuis le samedi 5 septembre 2020, il y a

25

jours jusqu'au 30 septembre, puis

31 + 30 + 31 = 92

jours d'octobre à décembre, soit

117

jours jusqu'au 31 décembre ; les

23

jours restants mènent au samedi 23 janvier 2021.
Selon ce modèle, le nombre de nouveaux cas journaliers dépasserait le million le samedi 23 janvier 2021.

5. Du samedi 5 septembre au vendredi 6 novembre inclus, il y a

63

jours, soit

9

semaines complètes allant chacune d'un samedi au vendredi suivant : la semaine de rang

0

commence le 5 septembre, celle de rang

8

commence le samedi 31 octobre et se termine le vendredi 6 novembre.
D'après l'indication, pendant la semaine de rang

k

, il y a

u_{k}

nouveaux cas chaque jour, soit

7 u_{k}

cas sur la semaine. Le nombre total de cas est donc

7 u_{0} + 7 u_{1} + \dots + 7 u_{8} = 7 (u_{0} + u_{1} + \dots + u_{8}) .

La somme

u_{0} + u_{1} + \dots + u_{8}

compte

9

termes consécutifs d'une suite géométrique de raison

1, 27 \neq = 1

et de premier terme

u_{0} = 8550

u_{0} + u_{1} + \dots + u_{8} = 8550 \times \frac{1 - 1 , 2 7 ^{9}}{1 - 1 , 27} \approx 240500, 6.

Le nombre total de cas cumulés entre le 5 septembre et le 6 novembre est donc environ

7 \times 240500, 6 \approx 1683504

3. $Partie 3$

*Le 30 octobre 2020, le gouvernement a imposé pour 4 semaines un confinement dans toute la France afin de freiner la propagation de la maladie.*

Dans cette partie, le taux de reproduction hebdomadaire du virus

R

n'est pas connu.
On considère les fonctions

f_{R}

définie sur

[0; + \infty [

, par

f_{R} (x) = 8550 \times R^{x}

.

1) À l'aide de la calculatrice ou d'un logiciel, reproduire dans un même repère l'allure des fonctions

f_{R}

lorsque :
-

R = 1, 3

R = 2, 5

R = 0, 5

R = 0, 8

R = 1

2) *« Le calcul des

R

est important pour évaluer la situation épidémiologique dans un département ou une région. Depuis le début de l'épidémie de Covid-19 en France, le ministère de la Santé ne cesse de répéter que l'objectif est que le taux de reproduction du virus descende en-dessous de 1.*
*Le "1" est ainsi le point de vigilance. Un

R

supérieur à 1 signifie que le virus recommence à circuler et donc que l'épidémie progresse. »*
(Aurélie Blaize - 30 octobre 2020 - sante.journaldesfemmes.fr)

Justifier les propos de l'article en s'appuyant sur les propriétés des suites géométriques et les observations des courbes construites dans la question précédente.

3) En quoi un taux de reproduction significativement en dessous de

1

assure une disparition de l'épidémie ?

4) *Le confinement imposé fin octobre a permis de faire passer le

R

sous le point de vigilance.*
Dans ce contexte, dessiner l'allure que pourrait prendre le nuage de points entre le

5

septembre et le

31

décembre.

Voir le corrigé

1. Pour tout

R > 0

f_{R} (0) = 8550 \times R^{0} = 8550

: les cinq courbes passent par le point de coordonnées

(0; 8550)

. Quelques valeurs, arrondies à l'unité, permettent d'en tracer l'allure :

$R$	$f_{R} (0)$	$f_{R} (2)$	$f_{R} (4)$	sens de variation
$2, 5$	$8550$	$53438$	$333984$	croissante
$1, 3$	$8550$	$14450$	$24420$	croissante
$1$	$8550$	$8550$	$8550$	constante
$0, 8$	$8550$	$5472$	$3502$	décroissante
$0, 5$	$8550$	$2138$	$534$	décroissante

- Pour

R = 1, 3

R = 2, 5

, les courbes montent de plus en plus vite ; pour

x > 0

, celle de

R = 2, 5

est au-dessus de celle de

R = 1, 3

et monte beaucoup plus vite.
- Pour

R = 1

f_{1} (x) = 8550

pour tout

x

: la courbe est la droite horizontale d'équation

y = 8550

.
- Pour

R = 0, 8

R = 0, 5

, les courbes descendent et se rapprochent de l'axe des abscisses sans jamais l'atteindre, puisque

f_{R} (x) > 0

; pour

x > 0

, celle de

R = 0, 5

est en dessous de celle de

R = 0, 8

et descend plus vite.

2. Avec un taux

R

constant, le nombre de nouveaux cas

n

semaines après le 5 septembre est

u_{n} = f_{R} (n) = 8550 \times R^{n}

: les points du nuage sont sur la courbe de

f_{R}

, aux abscisses entières. La suite

(u_{n})

est géométrique, de premier terme

u_{0} = 8550 > 0

et de raison

R > 0

. Pour tout entier naturel

n

u_{n + 1} - u_{n} = 8550 \times R^{n + 1} - 8550 \times R^{n} = 8550 \times R^{n} \times (R - 1),

8550 \times R^{n} > 0

, donc

u_{n + 1} - u_{n}

a le signe de

R - 1

:
- si

R > 1

, la suite

(u_{n})

est croissante : le nombre de nouveaux cas augmente chaque semaine, l'épidémie progresse (courbes de

R = 1, 3

et de

R = 2, 5

) ;
- si

R = 1

, la suite est constante : l'épidémie reste au même niveau (droite de

R = 1

) ;
- si

0 < R < 1

, la suite est décroissante : le nombre de nouveaux cas diminue chaque semaine, l'épidémie recule (courbes de

R = 0, 8

et de

R = 0, 5

).
La valeur

1

sépare donc les situations où l'épidémie progresse de celles où elle recule : c'est le « point de vigilance » de l'article. Un

R

supérieur à

1

signifie bien que l'épidémie progresse, d'autant plus vite que

R

est grand, et l'objectif est de faire descendre

R

sous

1

pour que le nombre de nouveaux cas diminue.

3. Si

R < 1

, le nombre de nouveaux cas est multiplié chaque semaine par un nombre inférieur à

1

: il diminue et devient aussi proche de

0

que l'on veut, comme les courbes de

R = 0, 8

et de

R = 0, 5

qui se rapprochent de l'axe des abscisses. L'épidémie finit donc par s'éteindre.
Mais la vitesse de cette baisse dépend de l'écart entre

R

1

. En partant de

8550

nouveaux cas par jour, le tableau de valeurs de la calculatrice donne le nombre de semaines nécessaires pour descendre sous un nouveau cas par jour, c'est-à-dire le plus petit entier

n

tel que

8550 \times R^{n} < 1

:
- pour

R = 0, 5

14

semaines, car

8550 \times 0, 5^{13} \approx 1, 04

8550 \times 0, 5^{14} \approx 0, 52

;
- pour

R = 0, 8

41

semaines ;
- pour

R = 0, 95

177

semaines, soit plus de trois ans.
Un taux nettement inférieur à

1

fait donc disparaître l'épidémie en quelques semaines ou quelques mois, alors qu'un taux à peine inférieur à

1

la laisse circuler pendant des années.

4. Le nuage aurait l'allure d'une bosse :
- du 5 septembre au 24 octobre, ce sont les points du tableau de la partie 1 : ils montent, de plus en plus vite en octobre, car

R > 1

;
- le confinement commence le 30 octobre et son effet sur les nouveaux cas n'est pas immédiat : les points continuent de monter jusqu'à un maximum, vers fin octobre ou début novembre ;
- ensuite

R < 1

: le nombre de nouveaux cas est multiplié chaque semaine par un nombre inférieur à

1

, donc les points descendent, d'abord nettement puis de moins en moins vite, en se rapprochant de l'axe des abscisses sans l'atteindre.
Par exemple, si le maximum est atteint le samedi 31 octobre avec environ

57862

cas (valeur

u_{8}

du modèle de la partie 2) et si

R = 0, 8

ensuite, on obtient, en arrondissant à l'unité, environ

46290

cas le 7 novembre,

37032

le 14 novembre,

29626

le 21 novembre,

23700

le 28 novembre,

18960

le 5 décembre,

15168

le 12 décembre,

12135

le 19 décembre et

9708

le 26 décembre, dernier samedi de l'année.

4. $Démontrer qu'une suite est arithmétique (et qu'une autre ne l'est pas)$

Une association plante des arbres chaque mois dans le cadre d'un programme de reforestation. Le nombre total d'arbres plantés après

n

mois, pour tout entier

n \geq 0

, est modélisé par :

u_{n} = 120 + 40 n

On considère par ailleurs, dans une autre étude, la suite

(v_{n})

définie pour tout entier

n \geq 0

par

v_{n} = n^{2} + 3

, qui représente le nombre de visiteurs reçus par un site pédagogique.

1. Démontrer que la suite

(u_{n})

est arithmétique. Préciser sa raison et son premier terme.
2. Démontrer que la suite

(v_{n})

n'est pas arithmétique.

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5. $Démontrer qu'une suite est géométrique (et qu'une autre ne l'est pas)$

Une culture de bactéries en laboratoire est modélisée par la suite

(u_{n})

définie pour tout entier

n \geq 0

par :

u_{n} = 5 \times 3^{n}

où

u_{n}

désigne le nombre de bactéries, en milliers, après

n

heures.

On considère aussi la suite

(w_{n})

définie pour tout entier

n \geq 0

par

w_{n} = 3^{n} + 2

.

1. Démontrer que

(u_{n})

est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
2. Démontrer que

(w_{n})

n'est pas géométrique.

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6. $Reconnaître la nature d'une suite à partir de ses premiers termes$

Un randonneur relève chaque jour la distance totale parcourue depuis son départ (en km). Il obtient la suite de valeurs :

8; 14, 5; 21; 27, 5; 34

Dans une autre étude, on mesure l'intensité lumineuse (en lux) reçue par un capteur après chaque filtre optique traversé :

200; 140; 98; 68, 6; 48, 02

1. La suite des distances est-elle arithmétique ? Justifier.
2. La suite des intensités lumineuses est-elle géométrique ? Justifier.

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7. $Identifier directement la nature d'une suite définie par récurrence$

Pour chacune des suites suivantes, définies par une relation de récurrence, indiquer sans aucun calcul supplémentaire si elle est arithmétique ou géométrique, et préciser son premier terme ainsi que sa raison.

a)

(u_{n})

définie par

u_{0} = 2

et, pour tout entier

n

u_{n + 1} = u_{n} + 7

.

b)

(v_{n})

définie par

v_{0} = 100

et, pour tout entier

n

v_{n + 1} = - 0, 5 v_{n}

.

c)

(w_{n})

définie par

w_{0} = 50

et, pour tout entier

n

w_{n + 1} = w_{n} - 3

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8. $Déterminer le terme général d'une suite arithmétique (bibliothèque)$

Une bibliothèque municipale comptait

850

livres lors de son ouverture. Chaque mois, elle fait l'acquisition de

25

nouveaux livres. On modélise le nombre de livres présents dans la bibliothèque après

n

mois, pour tout entier

n \geq 0

, par la suite

(u_{n})

définie par

u_{0} = 850

et, pour tout

n

u_{n + 1} = u_{n} + 25

.

1. Justifier que

(u_{n})

est arithmétique et préciser sa raison.
2. Exprimer

u_{n}

en fonction de

n

.
3. Calculer le nombre de livres présents dans la bibliothèque après

3

ans (soit

36

mois).

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9. $Déterminer le terme général d'une suite géométrique (dépréciation d'un matériel)$

Un ordinateur professionnel, acheté

1200

€, perd

15%

de sa valeur chaque année. On modélise sa valeur, en euros, après

n

années, pour tout entier

n \geq 0

, par la suite

(v_{n})

définie par

v_{0} = 1200

et, pour tout

n

v_{n + 1} = 0, 85 v_{n}

.

1. Justifier que

(v_{n})

est géométrique et préciser sa raison.
2. Exprimer

v_{n}

en fonction de

n

.
3. Calculer la valeur de l'ordinateur après

5

ans, arrondie au centime d'euro.

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10. $Calculer un terme de rang élevé d'une suite géométrique (population de poissons)$

Un étang contient initialement

300

poissons. On estime que la population croît de

4%

chaque année. On modélise l'effectif de poissons après

n

années, pour tout entier

n \geq 0

, par la suite

(u_{n})

définie par

u_{0} = 300

et, pour tout

n

u_{n + 1} = 1, 04 u_{n}

.

1. Justifier que

(u_{n})

est géométrique de raison

q = 1, 04

, et exprimer

u_{n}

en fonction de

n

.
2. Calculer

u_{20}

, arrondi à l'unité, et interpréter le résultat.

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11. $Étudier le sens de variation de deux suites arithmétiques$

On considère la suite

(u_{n})

définie pour tout entier

n \geq 0

par

u_{n} = - 8 + 3 n

, et la suite

(v_{n})

définie par

v_{0} = 40

et, pour tout entier

n

v_{n + 1} = v_{n} - 2, 5

.

1. Justifier que

(u_{n})

est arithmétique et déterminer son sens de variation.
2. Justifier que

(v_{n})

est arithmétique et déterminer son sens de variation.

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12. $Calculer une somme d'entiers consécutifs (empilement de tubes)$

Un ouvrier empile des tubes métalliques en pyramide contre un mur :

1

tube au sommet,

2

tubes au rang juste en dessous,

3

tubes au rang suivant, et ainsi de suite, jusqu'à un dernier rang, à la base, qui compte

214

tubes.

Calculer le nombre total de tubes empilés.

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13. $Déterminer le terme général d'une suite arithmétique connue par u1 plutôt que u0$

Une entreprise verse à un salarié un salaire mensuel en progression arithmétique. Le salaire du premier mois d'activité (mois

n = 1

) est

u_{1} = 1800

€, et chaque mois suivant, le salaire augmente de

45

€ par rapport au mois précédent :

u_{n + 1} = u_{n} + 45

pour tout entier

n \geq 1

.

1. Exprimer

u_{n}

en fonction de

n

, pour tout entier

n \geq 1

.
2. Calculer le salaire versé le

1 8^{e}

mois.

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14. $Passer d'un terme connu à un autre sans revenir au premier terme (croissance d'un bambou)$

La hauteur d'un plant de bambou croît chaque semaine d'une quantité constante : elle est donc modélisée par une suite arithmétique

(u_{n})

, où

u_{n}

désigne la hauteur du bambou, en cm, à la semaine

n

. On sait qu'à la semaine

9

, le bambou mesure

u_{9} = 138

cm, et que sa raison (croissance hebdomadaire) est

r = 12

cm.

Calculer la hauteur du bambou à la semaine

30

, sans chercher à déterminer sa hauteur initiale

u_{0}

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15. $Retrouver raison et premier terme d'une suite arithmétique à partir de deux termes non consécutifs$

Soit

(u_{n})

une suite arithmétique telle que

u_{4} = 17

u_{11} = 52

.

1. Déterminer la raison

r

de cette suite.
2. En déduire

u_{0}

.
3. Donner l'expression de

u_{n}

en fonction de

n

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16. $Étudier le sens de variation de deux suites géométriques selon le signe du premier terme et la position de la raison$

On considère les suites géométriques

(u_{n})

(v_{n})

définies pour tout entier

n \geq 0

par :

u_{n} = - 4 \times 2^{n} v_{n} = 6 \times 0, 3^{n}

1. Calculer les trois premiers termes de

(u_{n})

, puis déterminer son sens de variation en justifiant à partir du signe de

u_{0}

et de la position de

q

par rapport à

1

.
2. Calculer les trois premiers termes de

(v_{n})

, puis déterminer son sens de variation avec la même méthode.

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17. $Calculer une somme arithmétique ne démarrant pas à 1$

Calculer la somme :

S = 19 + 20 + 21 + \dots + 132

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18. $Calculer une somme arithmétique par la formule « nombre de termes fois moyenne » (empilement de planches)$

Un artisan empile des planches de bois : la première rangée compte

7

planches, et chaque rangée suivante en compte

4

de plus que la précédente, jusqu'à la dernière rangée qui en compte

187

.

Calculer le nombre total de planches empilées.

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19. $Calculer une somme géométrique de raison fractionnaire$

Calculer la somme :

S = 1 + \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^{2} + (\frac{1}{3})^{3} + \dots + (\frac{1}{3})^{6}

On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible, puis une valeur approchée arrondie au millième.

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20. $Modéliser un placement à intérêts composés et déterminer un seuil par comparaison numérique$

Un capital de

5000

€ est placé à intérêts composés, au taux annuel fixe de

6%

. On modélise le capital, en euros, disponible après

n

années, pour tout entier

n \geq 0

, par la suite

(C_{n})

définie par

C_{0} = 5000

et, pour tout

n

C_{n + 1} = 1, 06 C_{n}

.

1. Exprimer

C_{n}

en fonction de

n

.
2. Calculer

C_{10}

, arrondi à l'euro près.
3. En comparant plusieurs valeurs de la suite, déterminer à partir de quelle année le capital a doublé par rapport au capital initial.

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21. $Modéliser une évolution linéaire et résoudre une inéquation pour trouver un seuil (quota de pêche)$

Une association de pêche fixe chaque année un quota de prises autorisées. La première année d'application (année

n = 0

), le quota est de

600

poissons ; il diminue ensuite de

15

poissons chaque année pour préserver la ressource. On modélise le quota de l'année

n

, pour tout entier

n \geq 0

, par la suite arithmétique

(u_{n})

de premier terme

u_{0} = 600

et de raison

r = - 15

.

1. Exprimer

u_{n}

en fonction de

n

.
2. Résoudre l'inéquation

u_{n} \leq 300

.
3. En déduire à partir de quelle année (en interprétant

n

comme un nombre d'années après l'année

0

) le quota devient inférieur ou égal à

300

poissons.

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22. $Retrouver raison et premier terme d'une suite géométrique à partir de deux termes non consécutifs$

La taille d'une culture de bactéries, en milliers d'individus, est modélisée par une suite géométrique

(u_{n})

de raison

q > 0

. On sait que

u_{4} = 8

u_{7} = 512

.

1. Déterminer la raison

q

.
2. En déduire

u_{0}

.
3. Donner l'expression de

u_{n}

en fonction de

n

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23. $Démontrer le sens de variation d'une suite géométrique par une différence factorisée$

Soit

(u_{n})

la suite géométrique définie pour tout entier

n \geq 0

par

u_{n} = 3 \times 1, 5^{n}

.

1. Exprimer

u_{n + 1} - u_{n}

en fonction de

n

, sous une forme factorisée faisant apparaître le facteur

(q - 1)

.
2. En étudiant le signe de chacun des facteurs obtenus, déterminer le sens de variation de

(u_{n})

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24. $Calculer une somme arithmétique de raison différente de 1, en factorisant par la raison$

Lors d'un jeu concours, les lots sont numérotés par leur valeur en euros : le premier lot vaut

12

€, et chaque lot suivant vaut

4

€ de plus que le précédent, jusqu'au dernier lot qui vaut

228

€.

Calculer la somme totale des valeurs de tous les lots.

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25. $Calculer une somme géométrique ne démarrant pas par le terme constant (décalage d'indice)$

Sur un forum en ligne, une information est partagée pour la première fois un jour donné. Le nombre de nouveaux partages double chaque jour par rapport à la veille : le jour

k

(pour

k

allant de

1

13

), le nombre de nouveaux partages est

2^{k}

.

Calculer le nombre total de partages cumulés sur les

13

premiers jours, c'est-à-dire :

S = 2^{1} + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{13}

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26. $Calculer une somme géométrique de raison négative (alternance de signes)$

Calculer la somme :

T = 5 - 10 + 20 - 40 + 80 - 160 + 320 - 640 + 1280

sachant que chaque terme est obtenu à partir du précédent en le multipliant par

- 2

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27. $Modéliser et sommer des apports mensuels décroissants (problème de synthèse)$

Un investisseur apporte chaque mois une somme à son projet, en réduisant son apport de

30%

par rapport au mois précédent. Le premier mois (mois

n = 0

), il investit

800

€.

1. Exprimer, pour tout entier

n

compris entre

0

11

, l'apport du mois

n

sous la forme d'une suite géométrique

(a_{n})

dont on précisera le premier terme et la raison.
2. Calculer l'apport du

6^{e}

mois (c'est-à-dire

a_{5}

), arrondi au centime d'euro.
3. Calculer le montant total investi sur les

12

premiers mois (de

n = 0

n = 11

), arrondi au centime d'euro.

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28. $Démontrer qu'une suite est arithmétique et qu'une autre ne l'est pas$

Une médiathèque enregistre le nombre total de livres empruntés depuis son ouverture. Après

n

semaines de fonctionnement, pour tout entier

n \geq 0

, ce total est modélisé par :

u_{n} = 300 + 22 n

On considère par ailleurs, dans une autre étude, la suite

(v_{n})

définie pour tout entier

n \geq 0

par

v_{n} = n^{2} - 4 n + 10

, qui modélise le nombre d'anomalies détectées par un capteur industriel au cours du jour

n

.

1. Démontrer que la suite

(u_{n})

est arithmétique. Préciser sa raison et son premier terme.
2. Démontrer que la suite

(v_{n})

n'est pas arithmétique.

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29. $Démontrer qu'une suite est géométrique et qu'une autre ne l'est pas$

Une vidéo mise en ligne cumule des vues au fil des jours. Le nombre de vues, en milliers, après

n

jours est modélisé pour tout entier

n \geq 0

par :

u_{n} = 8 \times 1, 5^{n}

On considère aussi la suite

(w_{n})

définie pour tout entier

n \geq 0

par

w_{n} = 1, 5^{n} + 4

.

1. Démontrer que

(u_{n})

est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
2. Démontrer que

(w_{n})

n'est pas géométrique.

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30. $Reconnaître la nature de deux suites à partir de leurs premiers termes$

Un thermomètre relève la température, en degrés Celsius, toutes les heures pendant une nuit froide :

12; 9, 5; 7; 4, 5; 2

Une balle de tennis lâchée d'une certaine hauteur rebondit plusieurs fois ; on mesure la hauteur atteinte, en cm, à chaque rebond :

180; 126; 88, 2; 61, 74

1. La suite des températures relevées est-elle arithmétique ? Justifier.
2. La suite des hauteurs de rebond est-elle géométrique ? Justifier.

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31. $Identifier directement la nature d'une suite définie par récurrence$

(a_{n})

définie par

a_{0} = 120

et, pour tout entier

n

a_{n + 1} = a_{n} + 15

(nombre de colis stockés dans un entrepôt, jour après jour).

b)

(b_{n})

définie par

b_{0} = 2000

et, pour tout entier

n

b_{n + 1} = 1, 02 b_{n}

(capital, en euros, sur un livret rémunéré).

c)

(c_{n})

définie par

c_{0} = 500

et, pour tout entier

n

c_{n + 1} = c_{n} - 8

(niveau d'eau, en cm, d'un réservoir qui se vide).

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32. $Automatismes : identifier nature et raison de plusieurs suites$

Pour chacune des suites suivantes, indiquer si elle est arithmétique, géométrique, les deux à la fois, ou ni l'une ni l'autre, et préciser sa raison le cas échéant.

a)

u_{n} = 7 - 3 n

, pour tout entier

n \geq 0

.

b)

v_{n} = 5 \times (- 2)^{n}

, pour tout entier

n \geq 0

.

c)

w_{n} = n^{2} - 1

, pour tout entier

n \geq 0

.

d)

(t_{n})

définie par

t_{0} = 10

et, pour tout entier

n

t_{n + 1} = t_{n}

.

e)

(p_{n})

définie par

p_{0} = 6

et, pour tout entier

n

p_{n + 1} = - p_{n}

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33. $Déterminer le terme général d'une suite arithmétique (club de sport)$

Un club de sport comptait

340

adhérents à son ouverture. Chaque mois, il enregistre

12

nouvelles inscriptions nettes supplémentaires. On modélise le nombre d'adhérents après

n

mois, pour tout entier

n \geq 0

, par la suite

(u_{n})

définie par

u_{0} = 340

et, pour tout

n

u_{n + 1} = u_{n} + 12

.

1. Justifier que

(u_{n})

est arithmétique et préciser sa raison.
2. Exprimer

u_{n}

en fonction de

n

.
3. Calculer le nombre d'adhérents après

2

ans (soit

24

mois).

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34. $Déterminer le terme général d'une suite géométrique (production éolienne)$

Un parc éolien a produit

4500

MWh d'électricité la première année de fonctionnement (

n = 0

). La production annuelle augmente ensuite de

8%

chaque année. On modélise la production, en MWh, après

n

années, pour tout entier

n \geq 0

, par la suite

(u_{n})

définie par

u_{0} = 4500

et, pour tout

n

u_{n + 1} = 1, 08 u_{n}

.

1. Justifier que

(u_{n})

est géométrique et préciser sa raison.
2. Exprimer

u_{n}

en fonction de

n

.
3. Calculer la production au bout de

10

ans, arrondie au MWh près.

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35. $Déterminer le terme général d'une suite arithmétique connue par u1 plutôt que u0 (loyer commercial)$

Le loyer mensuel d'un local commercial suit une progression arithmétique. Le loyer du premier mois de bail (

n = 1

) est

u_{1} = 950

€, et il augmente de

12

€ chaque mois suivant :

u_{n + 1} = u_{n} + 12

pour tout entier

n \geq 1

.

1. Exprimer

u_{n}

en fonction de

n

, pour tout entier

n \geq 1

.
2. Calculer le loyer versé le

1 5^{e}

mois.

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36. $Passer d'un terme connu à un autre sans revenir au premier terme (ballon-sonde)$

Un ballon-sonde météorologique monte à une vitesse verticale constante. Son altitude, en mètres, est modélisée par une suite arithmétique

(a_{n})

, où

a_{n}

désigne l'altitude à la minute

n

. On sait qu'à la minute

8

, le ballon est à l'altitude

a_{8} = 1640

m, et que sa raison (vitesse d'ascension par minute) est

r = 205

m.

Calculer l'altitude du ballon à la minute

20

, sans chercher à déterminer son altitude initiale

a_{0}

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37. $Retrouver raison et premier terme d'une suite arithmétique à partir de deux termes non consécutifs$

Un stand associatif enregistre sa recette quotidienne cumulée, modélisée par une suite arithmétique

(u_{n})

. On sait que

u_{3} = 145

u_{8} = 320

.

1. Déterminer la raison

r

de cette suite.
2. En déduire

u_{0}

.
3. Donner l'expression de

u_{n}

en fonction de

n

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38. $Étudier le sens de variation de deux suites arithmétiques$

Un drone décolle et son altitude, en mètres, après

n

secondes est modélisée pour tout entier

n \geq 0

par

(a_{n})

avec

a_{n} = 2 + 3, 5 n

. Le niveau d'un réservoir de carburant, en litres, est modélisé par

(b_{n})

avec

b_{0} = 60

et, pour tout entier

n

b_{n + 1} = b_{n} - 1, 2

.

1. Justifier que

(a_{n})

est arithmétique et déterminer son sens de variation.
2. Justifier que

(b_{n})

est arithmétique et déterminer son sens de variation.

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39. $Calculer une somme arithmétique ne démarrant pas à 1$

Dans un amphithéâtre, les sièges d'une même colonne sont numérotés consécutivement.

Calculer la somme des numéros de sièges de

27

146

inclus :

S = 27 + 28 + 29 + \dots + 146

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40. $Calculer une somme arithmétique par la formule du nombre de termes fois la moyenne (collecte de dons)$

Lors d'une collecte de dons, le premier jour permet de récolter

11

contributions, et chaque jour suivant apporte

6

contributions de plus que la veille, jusqu'au dernier jour de la collecte qui en comptabilise

161

.

Calculer le nombre total de contributions collectées sur l'ensemble de la collecte.

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1.Partie 1

2.Partie 2

3.Partie 3

4.Démontrer qu'une suite est arithmétique (et qu'une autre ne l'est pas)

5.Démontrer qu'une suite est géométrique (et qu'une autre ne l'est pas)

6.Reconnaître la nature d'une suite à partir de ses premiers termes

7.Identifier directement la nature d'une suite définie par récurrence

8.Déterminer le terme général d'une suite arithmétique (bibliothèque)

9.Déterminer le terme général d'une suite géométrique (dépréciation d'un matériel)

10.Calculer un terme de rang élevé d'une suite géométrique (population de poissons)

11.Étudier le sens de variation de deux suites arithmétiques

12.Calculer une somme d'entiers consécutifs (empilement de tubes)

13.Déterminer le terme général d'une suite arithmétique connue par u1 plutôt que u0

14.Passer d'un terme connu à un autre sans revenir au premier terme (croissance d'un bambou)

15.Retrouver raison et premier terme d'une suite arithmétique à partir de deux termes non consécutifs

16.Étudier le sens de variation de deux suites géométriques selon le signe du premier terme et la position de la raison

17.Calculer une somme arithmétique ne démarrant pas à 1

18.Calculer une somme arithmétique par la formule « nombre de termes fois moyenne » (empilement de planches)

19.Calculer une somme géométrique de raison fractionnaire

20.Modéliser un placement à intérêts composés et déterminer un seuil par comparaison numérique

21.Modéliser une évolution linéaire et résoudre une inéquation pour trouver un seuil (quota de pêche)

22.Retrouver raison et premier terme d'une suite géométrique à partir de deux termes non consécutifs

23.Démontrer le sens de variation d'une suite géométrique par une différence factorisée

24.Calculer une somme arithmétique de raison différente de 1, en factorisant par la raison

25.Calculer une somme géométrique ne démarrant pas par le terme constant (décalage d'indice)

26.Calculer une somme géométrique de raison négative (alternance de signes)

27.Modéliser et sommer des apports mensuels décroissants (problème de synthèse)

28.Démontrer qu'une suite est arithmétique et qu'une autre ne l'est pas

29.Démontrer qu'une suite est géométrique et qu'une autre ne l'est pas

30.Reconnaître la nature de deux suites à partir de leurs premiers termes

31.Identifier directement la nature d'une suite définie par récurrence

32.Automatismes : identifier nature et raison de plusieurs suites

33.Déterminer le terme général d'une suite arithmétique (club de sport)

34.Déterminer le terme général d'une suite géométrique (production éolienne)

35.Déterminer le terme général d'une suite arithmétique connue par u1 plutôt que u0 (loyer commercial)

36.Passer d'un terme connu à un autre sans revenir au premier terme (ballon-sonde)

37.Retrouver raison et premier terme d'une suite arithmétique à partir de deux termes non consécutifs

38.Étudier le sens de variation de deux suites arithmétiques

39.Calculer une somme arithmétique ne démarrant pas à 1

40.Calculer une somme arithmétique par la formule du nombre de termes fois la moyenne (collecte de dons)

1. $Partie 1$

2. $Partie 2$

3. $Partie 3$

4. $Démontrer qu'une suite est arithmétique (et qu'une autre ne l'est pas)$

5. $Démontrer qu'une suite est géométrique (et qu'une autre ne l'est pas)$

6. $Reconnaître la nature d'une suite à partir de ses premiers termes$

7. $Identifier directement la nature d'une suite définie par récurrence$

8. $Déterminer le terme général d'une suite arithmétique (bibliothèque)$

9. $Déterminer le terme général d'une suite géométrique (dépréciation d'un matériel)$

10. $Calculer un terme de rang élevé d'une suite géométrique (population de poissons)$

11. $Étudier le sens de variation de deux suites arithmétiques$

12. $Calculer une somme d'entiers consécutifs (empilement de tubes)$

13. $Déterminer le terme général d'une suite arithmétique connue par u1 plutôt que u0$

14. $Passer d'un terme connu à un autre sans revenir au premier terme (croissance d'un bambou)$

15. $Retrouver raison et premier terme d'une suite arithmétique à partir de deux termes non consécutifs$

16. $Étudier le sens de variation de deux suites géométriques selon le signe du premier terme et la position de la raison$

17. $Calculer une somme arithmétique ne démarrant pas à 1$

18. $Calculer une somme arithmétique par la formule « nombre de termes fois moyenne » (empilement de planches)$

19. $Calculer une somme géométrique de raison fractionnaire$

20. $Modéliser un placement à intérêts composés et déterminer un seuil par comparaison numérique$

21. $Modéliser une évolution linéaire et résoudre une inéquation pour trouver un seuil (quota de pêche)$

22. $Retrouver raison et premier terme d'une suite géométrique à partir de deux termes non consécutifs$

23. $Démontrer le sens de variation d'une suite géométrique par une différence factorisée$

24. $Calculer une somme arithmétique de raison différente de 1, en factorisant par la raison$

25. $Calculer une somme géométrique ne démarrant pas par le terme constant (décalage d'indice)$

26. $Calculer une somme géométrique de raison négative (alternance de signes)$

27. $Modéliser et sommer des apports mensuels décroissants (problème de synthèse)$

28. $Démontrer qu'une suite est arithmétique et qu'une autre ne l'est pas$

29. $Démontrer qu'une suite est géométrique et qu'une autre ne l'est pas$

30. $Reconnaître la nature de deux suites à partir de leurs premiers termes$

31. $Identifier directement la nature d'une suite définie par récurrence$

32. $Automatismes : identifier nature et raison de plusieurs suites$

33. $Déterminer le terme général d'une suite arithmétique (club de sport)$

34. $Déterminer le terme général d'une suite géométrique (production éolienne)$

35. $Déterminer le terme général d'une suite arithmétique connue par u1 plutôt que u0 (loyer commercial)$

36. $Passer d'un terme connu à un autre sans revenir au premier terme (ballon-sonde)$

37. $Retrouver raison et premier terme d'une suite arithmétique à partir de deux termes non consécutifs$

38. $Étudier le sens de variation de deux suites arithmétiques$

39. $Calculer une somme arithmétique ne démarrant pas à 1$

40. $Calculer une somme arithmétique par la formule du nombre de termes fois la moyenne (collecte de dons)$