Exercices de Suites Arithmétiques et Suites Géométriques, Première (page 2)

La cote d'une pièce de collection en salle des ventes, en euros, est modélisée par une suite géométrique $(u_n)$ de raison $q>0$, où $n$ désigne le nombre d'années après sa première mise en vente. On sait que $u_3=270$ et $u_6=2160$.

1. Déterminer la raison $q$.
2. En déduire $u_0$.
3. Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

L'amplitude d'un signal numérique, après amplification répétée, est modélisée par une suite géométrique $(v_n)$ de raison $q>0$. On sait que $v_{15}=3072$ et $v_{18}=24576$.

1. Déterminer la raison $q$.
2. En déduire $v_0$.
3. Donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.

On considère les suites géométriques $(d_n)$ et $(c_n)$ définies pour tout entier $n\ge 0$ par :$$d_n=-1200\times 1,03^n{c}_n=40\times 0,6^n$$où $(d_n)$ modélise une dette, en euros, qui s'alourdit avec des intérêts, et $(c_n)$ la concentration, en mg/L, d'un médicament dans le sang.

1. Calculer les trois premiers termes de $(d_n)$, puis déterminer son sens de variation en justifiant à partir du signe de $d_0$ et de la position de $q$ par rapport à $1$.
2. Calculer les trois premiers termes de $(c_n)$, puis déterminer son sens de variation avec la même méthode.

La masse d'un glacier, en millions de tonnes, est modélisée pour tout entier $n\ge 0$ par la suite $(m_n)$ définie par :$$m_n=850\times 0,92^n$$1. Exprimer $m_{n+1}-m_n$ en fonction de $n$, sous une forme factorisée faisant apparaître le facteur $(q-1)$, où $q=0,92$ est la raison de la suite géométrique $(m_n)$.
2. En étudiant le signe de chacun des facteurs obtenus, déterminer le sens de variation de $(m_n)$.

Dans un lotissement, les parcelles mises en vente sont numérotées par multiples de $5$ : la première parcelle mise en vente porte le numéro $20$, chaque parcelle suivante porte un numéro supérieur de $5$ au précédent, jusqu'à la dernière qui porte le numéro $315$.

Calculer la somme de tous les numéros de parcelles mises en vente.

Un patient reçoit un traitement en décroissance : la dose administrée le jour $k$, en mg, pour tout entier $k\ge 0$, est $d_k=50\times 0,6^k$.

Calculer la dose totale administrée sur les $10$ premiers jours du traitement, c'est-à-dire :$$S=d_0+d_1+\cdots +d_9$$On donnera le résultat arrondi au millième.

Une culture cellulaire double son effectif toutes les heures. On note $c_k=3\times 2^k$ le nombre de cellules après $k$ heures. On étudie la somme des effectifs entre la $2^{\text{e}}$ heure et la $11^{\text{e}}$ heure incluses :$$S=c_2+c_3+\cdots +c_{11}$$Calculer $S$.

Lors d'un jeu, un joueur enregistre des gains et des pertes successifs, chaque montant étant obtenu en multipliant le précédent par $-3$ :$$4;-12;36;-108;324;-972;2916$$Calculer la somme totale $T$ de ces $7$ montants en utilisant la formule de la somme géométrique.

Dans un procédé de filtration, une quantité $u_n$ évolue selon la relation $u_0=4$ et, pour tout entier $n$, $u_{n+1}=0,5u_n+6$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$, puis justifier que la suite $(u_n)$ n'est ni arithmétique ni géométrique.
2. Écrire un programme Python qui calcule et affiche $S=u_0+u_1+\cdots +u_{10}$.

Deux plateformes de streaming musical publient le nombre de leurs abonnés, en milliers, trimestre après trimestre, à partir de leur lancement ($n=0$).

La plateforme A gagne un nombre constant de $50$ milliers d'abonnés chaque trimestre. Son nombre d'abonnés est modélisé par la suite $(a_n)$ avec $a_0=200$ et, pour tout entier $n$, $a_{n+1}=a_n+50$.

La plateforme B, plus récente, voit son nombre d'abonnés croître de $20\%$ chaque trimestre. Son nombre d'abonnés est modélisé par la suite $(b_n)$ avec $b_0=80$ et, pour tout entier $n$, $b_{n+1}=1,2b_n$.

1. Justifier la nature de chacune des suites $(a_n)$ et $(b_n)$, et exprimer $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$.
2. Calculer $a_{10}$ et $b_{10}$. Laquelle des deux plateformes a le plus d'abonnés au bout de $10$ trimestres ?
3. En dressant un tableau de valeurs, déterminer à partir de quel trimestre $n$ la plateforme B dépasse la plateforme A.

Une usine émet $4200$ tonnes de CO2 l'année de référence ($n=0$). Un plan de transition écologique prévoit une réduction de $180$ tonnes chaque année suivante. On modélise les émissions annuelles, en tonnes, par la suite $(e_n)$ définie par $e_0=4200$ et, pour tout entier $n\ge 0$, $e_{n+1}=e_n-180$.

1. Justifier que $(e_n)$ est arithmétique et exprimer $e_n$ en fonction de $n$.
2. Résoudre l'inéquation $e_n\le 1500$.
3. En déduire à partir de quelle année les émissions annuelles seront descendues à $1500$ tonnes ou moins.
4. Calculer la somme des émissions cumulées entre l'année $0$ et l'année où le seuil de la question précédente est atteint pour la première fois.

Une entreprise propose deux options de valorisation annuelle d'un capital de référence de $10000$ €.

Option A : chaque année, on ajoute au capital un montant fixe égal à $8\%$ du capital initial ($10000$ €), soit $800$ € ajoutés chaque année. Le capital cumulé est modélisé par $(A_n)$ avec $A_0=10000$ et, pour tout entier $n$, $A_{n+1}=A_n+800$.

Option B : chaque année, le capital augmente de $6\%$ de sa valeur de l'année précédente. Le capital est modélisé par $(B_n)$ avec $B_0=10000$ et, pour tout entier $n$, $B_{n+1}=1,06B_n$.

1. Justifier la nature de $(A_n)$ et de $(B_n)$, et exprimer $A_n$ et $B_n$ en fonction de $n$.
2. Calculer $A_{10}$ et $B_{10}$, arrondis à l'euro près. Quelle option est la plus avantageuse au bout de $10$ ans ?
3. Déterminer, par un tableau de valeurs, à partir de quelle année l'option B devient plus avantageuse que l'option A.

Un festival de musique vend des billets sur plusieurs jours consécutifs. Le nombre de billets vendus le jour $n$ (pour $n\ge 0$, le jour $0$ étant le premier jour de vente) est modélisé par la suite $(v_n)$ définie par $v_0=150$ et, pour tout entier $n$, $v_{n+1}=v_n+40$. Par ailleurs, le prix unitaire du billet, en euros, augmente de $5\%$ chaque jour à partir du prix de lancement de $30$ € : $(p_n)$ avec $p_0=30$ et, pour tout entier $n$, $p_{n+1}=1,05p_n$.

1. Justifier la nature de chacune des suites $(v_n)$ et $(p_n)$, et exprimer $v_n$ et $p_n$ en fonction de $n$.
2. Calculer le nombre de billets vendus le $10^{\text{e}}$ jour de vente (jour $n=9$), ainsi que le prix unitaire ce jour-là, arrondi au centime.
3. En utilisant une formule de somme arithmétique, calculer le nombre total de billets vendus sur les $10$ premiers jours de vente (de $n=0$ à $n=9$).
4. En déduire la recette encaissée le $10^{\text{e}}$ jour de vente uniquement (produit du nombre de billets vendus ce jour-là par leur prix unitaire ce jour-là), arrondie au centime.

Une université installe de nouvelles places de parking sur son campus à chaque trimestre. Le nombre total de places disponibles après $n$ trimestres, pour tout entier $n\ge 0$, est modélisé par :$$u_n=150+18n$$On étudie par ailleurs, sur le même campus, le nombre de connexions simultanées enregistrées sur le serveur de jeux du foyer étudiant, modélisé pour tout entier $n\ge 0$ par $w_n=n^2-n+6$.

1. Démontrer que la suite $(u_n)$ est arithmétique. Préciser sa raison et son premier terme.
2. Démontrer que la suite $(w_n)$ n'est pas arithmétique.

Une imprimante 3D industrielle produit des pièces détachées par lots successifs. Grâce à l'ajout progressif de nouvelles machines, le nombre de pièces produites par lot, pour tout entier $n\ge 0$, est modélisé par :$$u_n=6\times 2^n$$On considère aussi, pour un autre atelier, la suite $(w_n)$ définie pour tout entier $n\ge 0$ par $w_n=2^n+4$.

1. Démontrer que $(u_n)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
2. Démontrer que $(w_n)$ n'est pas géométrique.

Un plongeur relève sa profondeur, en mètres, toutes les minutes lors d'une descente à vitesse constante :$$4;9;14;19;24$$Dans une autre expérience, on relève la pression, en millibars, à l'intérieur d'une enceinte après chaque coup de pompe à vide successif :$$1000;700;490;343;240,1$$1. La suite des profondeurs est-elle arithmétique ? Justifier.
2. La suite des pressions est-elle géométrique ? Justifier.

Pour chacune des suites suivantes, définies par une relation de récurrence, indiquer sans aucun calcul supplémentaire si elle est arithmétique ou géométrique, et préciser son premier terme ainsi que sa raison.

a) $(e_n)$ définie par $e_0=15$ et, pour tout entier $n$, $e_{n+1}=e_n+9$.

b) $(f_n)$ définie par $f_0=200$ et, pour tout entier $n$, $f_{n+1}=0,25f_n$.

c) $(g_n)$ définie par $g_0=-6$ et, pour tout entier $n$, $g_{n+1}=g_n-11$.

Pour chacune des suites suivantes, indiquer si elle est arithmétique, géométrique, les deux à la fois, ou ni l'une ni l'autre, et préciser sa raison le cas échéant.

a) $u_n=9-2n$, pour tout entier $n\ge 0$.

b) $v_n=5$, pour tout entier $n\ge 0$ (suite constante).

c) $(w_n)$ définie par $w_0=3$ et, pour tout entier $n$, $w_{n+1}=4w_n$.

d) $t_n=n^2+1$, pour tout entier $n\ge 0$.

e) $(s_n)$ définie par $s_0=12$ et, pour tout entier $n$, $s_{n+1}=s_n-12$.

f) $p_n=2\times (-3{)}^n$, pour tout entier $n\ge 0$.

Une entreprise loue un espace de stockage sur un serveur cloud. Elle dispose de $500$ Go de capacité à l'ouverture du contrat, et ajoute chaque mois $75$ Go de capacité supplémentaire. On modélise la capacité totale, en Go, après $n$ mois, pour tout entier $n\ge 0$, par la suite $(u_n)$ définie par $u_0=500$ et, pour tout $n$, $u_{n+1}=u_n+75$.

1. Justifier que $(u_n)$ est arithmétique et préciser sa raison.
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
3. Calculer la capacité de stockage disponible après $2$ ans (soit $24$ mois).

Un livret d'épargne pour enfant est ouvert avec un dépôt initial de $300$ €. Chaque année, le capital est multiplié par $1,03$ grâce à des intérêts composés au taux annuel fixe de $3\%$. On modélise le capital, en euros, disponible après $n$ années, pour tout entier $n\ge 0$, par la suite $(v_n)$ définie par $v_0=300$ et, pour tout $n$, $v_{n+1}=1,03v_n$.

1. Justifier que $(v_n)$ est géométrique et préciser sa raison.
2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
3. Calculer le capital disponible après $10$ ans, arrondi au centime d'euro.

Un musicien indépendant est payé selon une progression arithmétique au fil d'une tournée. Son cachet pour le premier concert de la tournée (concert $n=1$) est $u_1=620$ €, et il augmente ensuite de $35$ € à chaque concert suivant : $u_{n+1}=u_n+35$ pour tout entier $n\ge 1$.

1. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier $n\ge 1$.
2. Calculer le cachet versé pour le $14^{\text{e}}$ concert.

Un signal radio transmis à travers une série de relais perd de l'intensité à chaque passage. Son intensité, en microwatts, est modélisée par une suite géométrique $(u_n)$, où $u_n$ désigne l'intensité après le $n$-ième relais. On sait qu'après le $5^{\text{e}}$ relais, l'intensité est $u_5=972$ µW, et que la raison (facteur d'atténuation par relais) est $q=0,9$.

Calculer l'intensité après le $15^{\text{e}}$ relais, sans chercher à déterminer l'intensité initiale $u_0$. On arrondira le résultat au centième de microwatt.

Un bracelet connecté enregistre le nombre total de pas cumulés depuis sa mise en service. Ce nombre est modélisé par une suite arithmétique $(u_n)$, où $n$ désigne le nombre de jours écoulés depuis le début d'un programme d'entraînement, commencé alors que le bracelet avait déjà enregistré des pas. On sait que $u_6=52000$ et $u_{15}=115000$.

1. Déterminer la raison $r$ de cette suite.
2. En déduire $u_0$.
3. Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

On considère la suite $(s_n)$, qui modélise le score cumulé d'un joueur lors d'un tournoi e-sport, définie pour tout entier $n\ge 0$ par $s_n=120+45n$ (où $n$ désigne le numéro de la manche), et la suite $(e_n)$, qui modélise le niveau d'encre restant, en $\%$, dans une imprimante après $n$ pages imprimées, définie par $e_0=100$ et, pour tout entier $n$, $e_{n+1}=e_n-0,8$.

1. Justifier que $(s_n)$ est arithmétique et déterminer son sens de variation.
2. Justifier que $(e_n)$ est arithmétique et déterminer son sens de variation.

On considère les suites géométriques $(p_n)$ et $(d_n)$ définies pour tout entier $n\ge 0$ par :$$p_n=-5\times 1,2^n{d}_n=8\times 0,75^n$$où $(p_n)$ modélise la pénalité cumulée, en points, d'un joueur sanctionné à chaque round d'une compétition (une pénalité qui s'aggrave), et $(d_n)$ modélise la concentration de désinfectant, en mg/L, dans l'eau d'une piscine, qui diminue après chaque cycle de filtration.

1. Calculer les trois premiers termes de $(p_n)$, puis déterminer son sens de variation en justifiant à partir du signe de $p_0$ et de la position de $q$ par rapport à $1$.
2. Calculer les trois premiers termes de $(d_n)$, puis déterminer son sens de variation avec la même méthode.

Dans un jardin partagé, des bénévoles sèment des graines en rangées disposées en triangle : $1$ graine sur la première rangée, $2$ graines sur la deuxième, $3$ graines sur la troisième, et ainsi de suite, jusqu'à une dernière rangée qui compte $176$ graines.

Calculer le nombre total de graines semées.

Lors d'un trail, les dossards sont numérotés consécutivement et distribués aux coureurs inscrits.

Calculer la somme des numéros de dossards attribués, de $34$ à $219$ inclus :$$S=34+35+36+\cdots +219$$

Dans un entrepôt logistique, les racks de stockage sont installés en rangées : la première rangée compte $9$ emplacements, et chaque rangée suivante en compte $5$ de plus que la précédente, jusqu'à la dernière rangée qui en compte $214$.

Calculer le nombre total d'emplacements de stockage installés.

Une thermos isolante perd, chaque heure, une fraction constante de la chaleur qu'elle contenait encore l'heure précédente. La quantité de chaleur perdue durant la $k$-ième heure, en kJ, pour $k$ allant de $0$ à $9$, est modélisée par :$$h_k=40\times {\left(\frac{4}{5}\right)}^k$$Calculer la quantité totale de chaleur perdue sur les $10$ premières heures, arrondie au dixième de kJ.

La biomasse d'une colonie de corail en phase de régénération, en kg, est modélisée par une suite géométrique $(u_n)$ de raison $q>0$, où $n$ désigne le nombre d'années après le début du suivi scientifique. On sait que $u_3=54$ et $u_6=1458$.

1. Déterminer la raison $q$.
2. En déduire $u_0$.
3. Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

Le nombre de personnes touchées par une chaîne de parrainage sur un réseau social est modélisé par une suite géométrique $(v_n)$ de raison $q>0$, où $n$ désigne le nombre de jours écoulés depuis le lancement. On sait que $v_{18}=262144$ et $v_{21}=2097152$.

1. Déterminer la raison $q$.
2. En déduire $v_0$.
3. Donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.

Un capital est placé à intérêts composés, au taux annuel fixe de $4\%$. Sa valeur, en euros, après $n$ années, est modélisée pour tout entier $n\ge 0$ par :$$C_n=1500\times 1,04^n$$1. Exprimer $C_{n+1}-C_n$ en fonction de $n$, sous une forme factorisée faisant apparaître le facteur $(q-1)$, où $q=1,04$ est la raison de la suite géométrique $(C_n)$.
2. En étudiant le signe de chacun des facteurs obtenus, déterminer le sens de variation de $(C_n)$.

Lors d'une course cycliste par étapes, la distance de chaque étape, en km, augmente régulièrement : la première étape mesure $21$ km, et chaque étape suivante est plus longue de $7$ km que la précédente, jusqu'à la dernière étape qui mesure $161$ km.

Calculer la distance totale parcourue sur l'ensemble des étapes.

Une usine de panneaux solaires double sa capacité de production chaque mois à partir du $4^{\text{e}}$ mois de mise en service. La production mensuelle, en unités, du mois $k$ (pour $k$ allant de $4$ à $16$) est modélisée par $p_k=3\times 2^k$.

Calculer la production totale cumulée entre le mois $4$ et le mois $16$ inclus, c'est-à-dire :$$S=3\times 2^4+3\times 2^5+\cdots +3\times 2^{16}$$

Après un choc boursier, le cours d'une action enregistre des variations quotidiennes alternées : chaque variation, en centimes d'euro, est obtenue en multipliant la précédente par $-1,5$. La première variation est de $8$ centimes.

Calculer la somme des $8$ premières variations quotidiennes cumulées :$$V=8-12+18-27+40,5-60,75+91,125-136,6875$$

Une jeune entreprise alloue un budget marketing mensuel, qu'elle réduit de $25\%$ par rapport au mois précédent afin de maîtriser ses dépenses. Le premier mois (mois $n=0$), le budget est de $6000$ €.

1. Exprimer, pour tout entier $n$, le budget du mois $n$ sous la forme d'une suite géométrique $(b_n)$ dont on précisera le premier terme et la raison.
2. Calculer le budget du $5^{\text{e}}$ mois (c'est-à-dire $b_4$), arrondi au centime d'euro.
3. Calculer le montant total dépensé sur les $9$ premiers mois (de $n=0$ à $n=8$), arrondi au centime d'euro.

Un robot aspirateur voit son niveau de batterie évoluer selon la relation suivante : après chaque cycle de nettoyage, il perd une partie de sa charge, mais se recharge aussi partiellement en repassant par sa base. On modélise son niveau de batterie, en $\%$, par $u_0=10$ et, pour tout entier $n$, $u_{n+1}=0,4u_n+5$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$, puis justifier que la suite $(u_n)$ n'est ni arithmétique ni géométrique.
2. Écrire un programme Python qui calcule et affiche $S=u_0+u_1+\cdots +u_{10}$, la somme des niveaux de batterie relevés sur les $11$ premiers cycles.

Deux mutuelles santé proposent des cotisations mensuelles pour une famille, exprimées en euros, à partir de l'année de souscription ($n=0$).

La mutuelle A part d'une cotisation de $80$ €/mois et l'augmente chaque année d'un montant fixe de $6$ €/mois : $a_n=80+6n$.

La mutuelle B part d'une cotisation de $60$ €/mois et l'augmente chaque année de $9\%$ : $b_n=60\times 1,09^n$.

1. Justifier la nature de chacune des deux suites.
2. En dressant un tableau de valeurs (sans résolution analytique), déterminer à partir de quelle année la cotisation de la mutuelle B dépasse celle de la mutuelle A.

Une maison de disques propose à un musicien deux options pour valoriser chaque année un compte de droits d'auteur, dont le montant de référence est de $12000$ €.

Option A : chaque année, on ajoute au compte un montant fixe, égal à $6\%$ du montant initial ($12000$ €), soit $720$ € ajoutés chaque année.

Option B : chaque année, on ajoute au compte un montant égal à $4\%$ du montant du compte à la fin de l'année précédente.

1. Justifier que l'option A conduit à une suite arithmétique et l'option B à une suite géométrique ; donner l'expression de chacune en fonction de $n$ (l'année $n=0$ correspondant au montant de référence).
2. En dressant un tableau de valeurs, déterminer à partir de quelle année le montant de l'option B dépasse celui de l'option A.