Exercices de Variables Aléatoires, Première

On note $Y$ la variable aléatoire donnant le gain pour une mise de $1$ € dans le cas où un joueur parie sur les numéros $25$ à $36$.

On note $Z$ la variable aléatoire donnant le gain pour une mise de $1$ € dans le cas où un joueur parie sur les numéros rouges.
Dans ce cas, la règle concernant le numéro "$0$" est un peu différente. Si le "$0$" sort, la mise est emprisonnée jusqu'au coup suivant. Si celui-ci conduit à un numéro rouge, on ne gagne ni on ne perd. Si c'est un numéro noir ou à nouveau le "$0$", l'euro est perdu.

Quel pari est le moins défavorable au joueur ? Expliquer.

Une urne contient 8 jetons indiscernables au toucher, numérotés de 1 à 8. On tire un jeton au hasard et on note $n$ son numéro. On définit une variable aléatoire $X$ de la façon suivante :
- si $n$ est un multiple de 3, $X=4$ ;
- si $n$ est un multiple de 2 mais pas de 3, $X=1$ ;
- sinon, $X=-2$.

1) Donner l'univers $\Omega$ de cette expérience aléatoire.
2) Pour chaque valeur prise par $X$, préciser les jetons correspondants.
3) En déduire l'ensemble des valeurs prises par $X$.

Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $-3$, $0$, $2$ et $5$. Sa loi de probabilité est donnée par le tableau suivant, où $p$ est un réel :$$\begin{array}{ccccc}{x}_i& -3& 0& 2& 5\\ P(X=x_i)& 0,2& p& 0,3& 0,15\end{array}$$1) Déterminer la valeur de $p$.
2) Vérifier que le tableau obtenu définit bien une loi de probabilité.

Lors d'un concours de fléchettes, une joueuse marque un nombre de points $X$ selon la loi de probabilité suivante :$$\begin{array}{cccc}{x}_i& 10& 20& 50\\ P(X=x_i)& 0,5& 0,3& 0,2\end{array}$$Calculer l'espérance $E(X)$.

Une urne contient 5 boules indiscernables au toucher, numérotées $2$, $4$, $6$, $8$ et $10$. On tire une boule au hasard et on note $X$ son numéro.

1) Justifier que la loi de $X$ est équiprobable, et donner cette loi.
2) Calculer $E(X)$.

La loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ est donnée par le tableau :$$\begin{array}{cccccc}{x}_i& -5& -1& 2& 4& 7\\ P(X=x_i)& \frac{1}{12}& \frac{3}{12}& \frac{4}{12}& \frac{2}{12}& \frac{2}{12}\end{array}$$1) Vérifier que ce tableau définit bien une loi de probabilité.
2) Donner $P(X=2)$.
3) Calculer $P(X⩽2)$.

Un stand de tir forain propose un jeu dont le gain algébrique $X$, en euros, obtenu par un joueur à chaque partie a été modélisé. Le calcul de sa loi de probabilité a permis d'obtenir $E(X)=-0,4$.

1) Ce jeu est-il en moyenne favorable ou défavorable au joueur ? Justifier.
2) Interpréter la valeur $E(X)=-0,4$ en une phrase, dans le contexte de l'énoncé.

Une roue de loterie comporte 10 secteurs identiques : 4 secteurs rouges, 3 secteurs bleus, 2 secteurs verts et 1 secteur jaune. Un joueur fait tourner la roue une fois. Selon la couleur obtenue :
- rouge : le joueur gagne 2€ ;
- bleu : le joueur gagne 5€ ;
- vert : le joueur perd 3€ ;
- jaune : le joueur gagne 20€.

On note $X$ le gain algébrique du joueur.

1) Donner les valeurs prises par $X$.
2) Déterminer la loi de probabilité de $X$.
3) Vérifier que la somme des probabilités vaut $1$.

Dans un jeu vidéo, un joueur remporte des points bonus $X$ en fin de niveau selon la loi de probabilité suivante :$$\begin{array}{ccccc}{x}_i& 1& 3& 5& 8\\ P(X=x_i)& 0,25& 0,35& 0,30& 0,10\end{array}$$1) Calculer $E(X)$.
2) Calculer $E(X^2)$.
3) En déduire $V(X)$ à l'aide de la formule de König-Huygens, puis $\sigma (X)$ (arrondi au centième).

On relève l'écart de température $X$, en degrés Celsius, par rapport à une valeur de référence, mesuré chaque jour à midi en un lieu donné. Sa loi de probabilité est :$$\begin{array}{ccccc}{x}_i& -4& -1& 2& 5\\ P(X=x_i)& 0,2& 0,3& 0,3& 0,2\end{array}$$1) Calculer $E(X)$.
2) Calculer $V(X)$ en utilisant la formule de définition $V(X)=\sum _i{p}_i(x_i-E(X){)}^2$ (sans utiliser la formule de König-Huygens).
3) En déduire $\sigma (X)$ (arrondi au centième).

Un professeur fait passer un test noté sur un barème brut $X$, dont on sait que $E(X)=14$ et $\sigma (X)=2,5$. Il convertit ensuite chaque note sur une nouvelle échelle harmonisée $Y=1,5X-5$.

1) Calculer $V(X)$.
2) Sans reconstruire la loi de $Y$, calculer $E(Y)$, $V(Y)$ et $\sigma (Y)$.

Un jeu forain coûte 4€ la mise. On tire ensuite une carte parmi 20 cartes numérotées de 1 à 20. Si le numéro tiré est un multiple de 5, le joueur reçoit 15€ ; sinon, il ne reçoit rien.

On note $X$ le gain algébrique net du joueur (gain reçu moins la mise).

1) Déterminer la loi de probabilité de $X$.
2) Calculer $E(X)$.
3) Ce jeu est-il équitable ? Est-il favorable au joueur ?

Une variable aléatoire $X$ modélise un gain algébrique lors d'un jeu, de loi de probabilité :$$\begin{array}{ccccc}{x}_i& -3& -1& 2& 3\\ P(X=x_i)& 0,15& 0,35& 0,25& 0,25\end{array}$$On considère la variable aléatoire $Y=X^2$, qui pourrait par exemple représenter une pénalité proportionnelle au carré de l'écart.

Déterminer la loi de probabilité de $Y$.

Une cible de fléchettes est divisée en trois zones concentriques. À chaque lancer :
- la fléchette atteint le centre avec une probabilité de $\frac{1}{10}$, ce qui rapporte 8 points ;
- elle atteint la zone intermédiaire avec une probabilité de $\frac{3}{10}$, ce qui rapporte 3 points ;
- elle atteint la zone extérieure avec une probabilité de $\frac{6}{10}$, ce qui fait perdre 1 point.

On note $X$ le nombre de points obtenus à un lancer.

Étudier complètement cette variable aléatoire (loi, espérance, variance, écart-type) et interpréter le résultat obtenu pour l'espérance.

Une équipe de basket dispute d'abord un match qualificatif, puis, si elle le remporte, un match final. La probabilité qu'elle remporte le match qualificatif est $0,6$. Si elle remporte ce match qualificatif, la probabilité qu'elle remporte ensuite le match final est $0,5$.

La prime perçue par l'équipe dépend du résultat :
- $1000$€ si elle remporte les deux matchs ;
- $400$€ si elle remporte le match qualificatif mais perd le match final ;
- $100$€ (prime de participation) si elle perd le match qualificatif.

On note $X$ la prime perçue, en euros.

1) Représenter la situation par un arbre pondéré.
2) Déterminer la loi de probabilité de $X$.
3) Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat.

Dans une tombola, un billet permet de gagner un lot de $10$€, un lot de $2$€, ou de ne rien gagner (le billet perdant fait perdre $5$€, ce qui correspond à un gain de $-5$€). On note $X$ le gain algébrique associé à un billet.

On sait que $P(X=2)=\frac{1}{2}$ et que l'espérance de gain est $E(X)=1$.

Déterminer $P(X=-5)$ et $P(X=10)$.

Une urne contient 3 boules rouges et $n$ boules vertes, indiscernables au toucher, où $n$ est un entier naturel non nul. On tire une boule au hasard : si elle est verte, le joueur gagne 3€ ; si elle est rouge, il perd 5€.

Déterminer la valeur de l'entier $n$ pour laquelle ce jeu est équitable.

Un particulier hésite entre deux placements financiers pour un même capital initial. Le rendement annuel, en euros, est modélisé par une variable aléatoire pour chaque placement.

Placement A :$$\begin{array}{ccc}{x}_i& -100& 300\\ P(X_A=x_i)& 0,5& 0,5\end{array}$$Placement B :$$\begin{array}{cccc}{x}_i& 50& 100& 150\\ P(X_B=x_i)& 0,25& 0,5& 0,25\end{array}$$1) Calculer $E(X_A)$ et $E(X_B)$.
2) Calculer $\sigma (X_A)$ et $\sigma (X_B)$.
3) Lequel de ces deux placements conseilleriez-vous à un particulier qui souhaite limiter les risques ? Justifier.

Une usine fabrique des pièces mécaniques qui peuvent présenter deux défauts, notés A et B, entraînant chacun un coût de reprise supplémentaire. Sur une grande série de pièces, on observe la répartition suivante :
- 80 % des pièces n'ont aucun défaut (coût supplémentaire nul) ;
- 12 % des pièces ont uniquement le défaut A (coût supplémentaire de 15€) ;
- 5 % des pièces ont uniquement le défaut B (coût supplémentaire de 25€) ;
- 3 % des pièces cumulent les deux défauts A et B (coût supplémentaire de 35€, la reprise combinée coûtant moins cher que la somme des deux reprises séparées).

On note $X$ le coût supplémentaire, en euros, engendré par une pièce prise au hasard dans cette série.

1) Donner la loi de probabilité de $X$.
2) Calculer $E(X)$ et interpréter le résultat pour l'entreprise.

Une entreprise propose une garantie casse pour smartphones. Elle encaisse un tarif fixe $t$ (en euros) à la souscription de chaque contrat. En cas de sinistre, dont la probabilité est $0,08$, elle rembourse $250$€ au client.

On note $X$ le résultat net, en euros, de l'entreprise pour un contrat.

Déterminer la valeur de $t$ pour que le résultat net moyen de l'entreprise soit de $12$€ par contrat.

Une urne contient 5 boules noires et $n$ boules blanches, indiscernables au toucher, où $n$ est un entier naturel non nul. On effectue deux tirages successifs d'une boule, avec remise. Selon les couleurs obtenues :
- si les deux boules sont blanches, le joueur gagne 2€ ;
- si les boules tirées sont de couleurs différentes, le joueur gagne 1€ ;
- si les deux boules sont noires, le joueur perd 12€.

Déterminer la valeur de l'entier $n$ pour laquelle ce jeu est équitable.

On choisit un entier au hasard, de façon équiprobable, parmi les $n$ premiers entiers naturels non nuls $1,2,\dots ,n$, où $n$ est un entier naturel non nul fixé. On note $X$ l'entier obtenu.

Démontrer que $E(X)=\frac{n+1}{2}$.

Une urne contient 4 boules rouges et $n$ boules blanches, où $n$ est un entier naturel non nul. Un joueur paie une mise de $m$ euros ($m$ réel strictement positif) pour participer. Il tire ensuite une boule au hasard : s'il tire une boule blanche, il reçoit 10€ ; s'il tire une boule rouge, il ne reçoit rien.

1) Exprimer, en fonction de $m$ et $n$, la condition sur $m$ pour que ce jeu soit équitable.
2) En déduire la valeur de $m$ lorsque $n=6$.

On considère une variable aléatoire $X$ de loi de probabilité :$$\begin{array}{cccc}{x}_i& -2& 1& 4\\ P(X=x_i)& 0,3& 0,5& 0,2\end{array}$$Un élève écrit un programme qui simule $1000$ répétitions indépendantes de cette expérience aléatoire et calcule la moyenne des $1000$ valeurs obtenues. Il trouve $\bar{x}=0,76$.

1) Calculer l'espérance théorique $E(X)$.
2) Comparer $\bar{x}$ et $E(X)$. Cet écart remet-il en cause la loi de probabilité donnée ? Justifier.
3) L'élève relance sa simulation $50$ fois de suite (chaque fois avec $1000$ répétitions), et obtient $50$ valeurs de $\bar{x}$ légèrement différentes, dispersées autour de $E(X)$. Expliquer pourquoi, alors que la loi théorique de $X$ n'a pas changé.

On considère une variable aléatoire $X$ de loi de probabilité :$$\begin{array}{cccc}{x}_i& 1& 3& 6\\ P(X=x_i)& 0,2& 0,5& 0,3\end{array}$$Pour tout réel $x$, on définit $f(x)=E((X-x{)}^2)$.

1) Calculer $E(X)$ et $E(X^2)$.
2) Montrer que $f(x)=x^2-2E(X)x+E(X^2)$, puis donner l'expression développée de $f(x)$ avec les valeurs numériques.
3) Écrire $f(x)$ sous forme canonique.
4) En déduire le minimum de $f$ et la valeur de $x$ en laquelle ce minimum est atteint. Que représentent ces deux nombres pour la variable $X$ ?

Une urne contient 12 jetons indiscernables au toucher, numérotés de 1 à 12. On tire un jeton au hasard et on note $n$ son numéro. On définit une variable aléatoire $X$ de la façon suivante :
- si $n$ est un carré parfait, $X=5$ ;
- si $n$ est un nombre premier, $X=2$ ;
- sinon, $X=0$.

1) Donner l'univers $\Omega$ de cette expérience aléatoire.
2) Pour chaque valeur prise par $X$, préciser les jetons correspondants.
3) En déduire l'ensemble des valeurs prises par $X$.

Lors d'un jeu de fidélité proposé en boutique, une cliente peut gagner un nombre de points $X$ à chaque passage en caisse. La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau suivant, où $q$ est un réel :$$\begin{array}{ccccc}{x}_i& 0& 5& 15& 30\\ P(X=x_i)& 0,1& 0,4& q& 0,15\end{array}$$1) Déterminer la valeur de $q$.
2) Vérifier que le tableau obtenu définit bien une loi de probabilité.

Une carte à gratter permet de remporter un gain $X$, en euros, dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :$$\begin{array}{cccc}{x}_i& 0& 5& 20\\ P(X=x_i)& 0,6& 0,3& 0,1\end{array}$$Calculer l'espérance $E(X)$.

On lance un dé équilibré à huit faces, numérotées de 1 à 8, et on note $X$ le numéro obtenu.

1) Justifier que la loi de $X$ est équiprobable, et donner cette loi.
2) Calculer $E(X)$.

Aux heures creuses, on modélise par une variable aléatoire $X$ le nombre de clients se présentant à la caisse d'un petit commerce durant une minute donnée. Sa loi de probabilité est :$$\begin{array}{cccccc}{x}_i& 0& 1& 2& 3& 4\\ P(X=x_i)& \frac{1}{10}& \frac{2}{10}& \frac{3}{10}& \frac{2}{10}& \frac{2}{10}\end{array}$$1) Vérifier que ce tableau définit bien une loi de probabilité.
2) Donner $P(X=2)$.
3) Calculer $P(X⩽2)$.

Une application propose chaque jour un mini-jeu bonus. Le gain algébrique en pièces virtuelles, noté $X$, obtenu par un utilisateur à chaque partie a été modélisé. Le calcul de sa loi de probabilité a permis d'obtenir $E(X)=0,6$.

1) Ce jeu est-il en moyenne favorable ou défavorable à l'utilisateur ? Justifier.
2) Interpréter la valeur $E(X)=0,6$ en une phrase, dans le contexte de l'énoncé.

Un sac contient 20 jetons indiscernables au toucher : 8 jetons rouges, 6 jetons bleus, 4 jetons verts et 2 jetons dorés. Un joueur tire un jeton au hasard. Selon la couleur obtenue :
- rouge : le joueur gagne 1 euro ;
- bleu : le joueur gagne 3 euros ;
- vert : le joueur perd 2 euros ;
- doré : le joueur gagne 10 euros.

On note $X$ le gain algébrique du joueur.

1) Donner les valeurs prises par $X$.
2) Déterminer la loi de probabilité de $X$.
3) Vérifier que la somme des probabilités vaut $1$.

Dans un stand de basket forain, chaque lancer réussi rapporte un nombre de points $X$ selon le panier atteint. Sa loi de probabilité est :$$\begin{array}{ccccc}{x}_i& 2& 4& 7& 10\\ P(X=x_i)& 0,4& 0,3& 0,2& 0,1\end{array}$$1) Calculer $E(X)$.
2) Calculer $E(X^2)$.
3) En déduire $V(X)$ à l'aide de la formule de König-Huygens, puis $\sigma (X)$ (arrondi au centième).

On relève la variation quotidienne du cours d'une action, en points, par rapport à sa valeur de référence du matin. Sa loi de probabilité est :$$\begin{array}{ccccc}{x}_i& -3& -1& 2& 4\\ P(X=x_i)& 0,25& 0,35& 0,25& 0,15\end{array}$$1) Calculer $E(X)$.
2) Calculer $V(X)$ en utilisant la formule de définition $V(X)=\sum _i{p}_i(x_i-E(X){)}^2$ (sans utiliser la formule de König-Huygens).
3) En déduire $\sigma (X)$ (arrondi au centième).

Un capteur météorologique mesure une température $X$ en degrés Fahrenheit, dont on sait que $E(X)=68$ et $\sigma (X)=3,6$. On convertit cette température en degrés Celsius à l'aide de la formule $Y=\frac{5}{9}(X-32)$.

1) Calculer $V(X)$.
2) Sans reconstruire la loi de $Y$, calculer $E(Y)$, $V(Y)$ et $\sigma (Y)$.

Un jeu forain utilise un jeu de 32 cartes (jeu de belote). Un joueur paie 3 euros de mise, puis tire une carte au hasard. S'il tire un as ou un roi (il y a 4 as et 4 rois), il reçoit 10 euros ; sinon, il ne reçoit rien.

On note $X$ le gain algébrique net du joueur (gain reçu moins la mise).

1) Déterminer la loi de probabilité de $X$.
2) Calculer $E(X)$.
3) Ce jeu est-il équitable ? Est-il favorable au joueur ?

Un contrôle qualité mesure, pour chaque pièce usinée prise au hasard dans une série, l'écart algébrique $X$, en millimètres, par rapport à une valeur cible. Sa loi de probabilité est :$$\begin{array}{ccccc}{x}_i& -3& -1& 2& 3\\ P(X=x_i)& 0,1& 0,4& 0,3& 0,2\end{array}$$Une pièce est mise au rebut dès que son erreur absolue $Y=|X|$ dépasse un certain seuil. Déterminer la loi de probabilité de $Y$.