Exercices de Variables Aléatoires, Première (page 3)

Un casino propose un jeu où le joueur mise 10€. Le gain brut $Y$ (avant déduction de la mise), en euros, suit la loi de probabilité suivante :$$\begin{array}{cccc}{y}_i& 0& 15& 40\\ P(Y=y_i)& 0,5& 0,3& 0,2\end{array}$$Lors d'une soirée promotionnelle, tous les gains bruts sont multipliés par un coefficient réel $k>0$ : le gain brut devient $kY$. On note $X_k$ le gain net du joueur ce soir-là, c'est-à-dire $X_k=kY-10$ (la mise restant fixée à 10€).

1) Calculer $E(Y)$.
2) Exprimer $E(X_k)$ en fonction de $k$.
3) Déterminer pour quelles valeurs de $k$ ce jeu devient favorable au joueur.
4) Pour quelle valeur de $k$ le jeu est-il exactement équitable ?

On dispose d'un dé tétraédrique équilibré dont les quatre faces sont numérotées de 1 à 4. On lance ce dé et on note $n$ le numéro obtenu. On définit une variable aléatoire $X$ de la façon suivante :
- si $n$ est un multiple de 2, $X=3$ ;
- si $n=1$, $X=-1$ ;
- si $n=3$, $X=6$.

1) Donner l'univers $\Omega$ de cette expérience aléatoire.
2) Pour chaque valeur prise par $X$, préciser la ou les faces correspondantes.
3) En déduire l'ensemble des valeurs prises par $X$.

Une application de sport attribue chaque semaine à un utilisateur un nombre de points bonus (ou malus) $X$ selon la distance parcourue. Sa loi de probabilité est donnée par le tableau suivant, où $p$ est un réel :$$\begin{array}{ccccc}{x}_i& -2& 0& 3& 7\\ P(X=x_i)& 0,1& p& 0,35& 0,25\end{array}$$1) Déterminer la valeur de $p$.
2) Vérifier que le tableau obtenu définit bien une loi de probabilité.

Lors d'une partie de bowling, un joueur marque un nombre de points $X$ à son premier lancer selon la loi de probabilité suivante :$$\begin{array}{ccccc}{x}_i& 0& 4& 7& 10\\ P(X=x_i)& 0,2& 0,3& 0,35& 0,15\end{array}$$Calculer l'espérance $E(X)$.

Une boîte contient 6 billes indiscernables au toucher, numérotées $3$, $6$, $9$, $12$, $15$ et $18$. On tire une bille au hasard et on note $X$ son numéro.

1) Justifier que la loi de $X$ est équiprobable, et donner cette loi.
2) Calculer $E(X)$.

À la caisse d'un supermarché, on modélise le nombre de clients $X$ arrivant pendant une minute donnée par la loi de probabilité suivante :$$\begin{array}{cccccc}{x}_i& 0& 1& 2& 3& 4\\ P(X=x_i)& \frac{1}{10}& \frac{3}{10}& \frac{3}{10}& \frac{2}{10}& \frac{1}{10}\end{array}$$1) Vérifier que ce tableau définit bien une loi de probabilité.
2) Donner $P(X=2)$.
3) Calculer $P(X⩽2)$.

Une compagnie ferroviaire a étudié le retard $X$, en minutes, d'une ligne régionale à chaque trajet. Le calcul de la loi de probabilité de $X$ a permis d'obtenir $E(X)=2,4$.

1) Peut-on en conclure que chaque trajet accuse exactement $2,4$ minutes de retard ? Justifier.
2) Interpréter la valeur $E(X)=2,4$ en une phrase, dans le contexte de l'énoncé.

Un sachet surprise contient 10 figurines indiscernables au toucher : 5 figurines « commune », d'une valeur de revente de 1€ ; 3 figurines « rare », d'une valeur de revente de 4€ ; et 2 figurines « légendaire », d'une valeur de revente de 10€. On tire une figurine au hasard dans le sachet et on note $X$ sa valeur de revente, en euros.

1) Donner les valeurs prises par $X$.
2) Déterminer la loi de probabilité de $X$.
3) Vérifier que la somme des probabilités vaut $1$.

Dans un jeu de chamboule-tout, un joueur gagne un nombre de tickets $X$ selon le nombre de boîtes qu'il parvient à renverser avec trois balles. Sa loi de probabilité est :$$\begin{array}{ccccc}{x}_i& 0& 2& 5& 10\\ P(X=x_i)& 0,4& 0,3& 0,2& 0,1\end{array}$$1) Calculer $E(X)$.
2) Calculer $E(X^2)$.
3) En déduire $V(X)$ à l'aide de la formule de König-Huygens, puis $\sigma (X)$ (arrondi au centième).

Un boulanger relève l'écart de température $X$, en degrés Celsius, entre la température réelle de son four et la consigne réglée, mesuré à intervalles réguliers. Sa loi de probabilité est :$$\begin{array}{ccccc}{x}_i& -3& -1& 2& 4\\ P(X=x_i)& 0,15& 0,35& 0,30& 0,20\end{array}$$1) Calculer $E(X)$.
2) Calculer $V(X)$ en utilisant la formule de définition $V(X)=\sum _i{p}_i(x_i-E(X){)}^2$ (sans utiliser la formule de König-Huygens).
3) En déduire $\sigma (X)$ (arrondi au centième).

Une entreprise de transport facture ses colis selon leur poids $X$, en kilogrammes, avec le tarif $Y=2,5X+3$ (en euros). On sait que $E(X)=8$ et $\sigma (X)=1,5$.

1) Calculer $V(X)$.
2) Sans reconstruire la loi de $Y$, calculer $E(Y)$, $V(Y)$ et $\sigma (Y)$.

Un stand de fête foraine propose un jeu d'anneaux dont la mise est de 4€. Le joueur lance un anneau, qui atterrit au hasard sur l'une des 15 quilles numérotées de 1 à 15, chacune ayant la même probabilité d'être touchée. S'il touche une quille dont le numéro est un multiple de 3, il gagne 10€ ; sinon, il ne gagne rien.

On note $X$ le gain algébrique net du joueur (somme reçue moins la mise).

1) Déterminer la loi de probabilité de $X$.
2) Calculer $E(X)$.
3) Ce jeu est-il équitable ? Est-il favorable au joueur ?

Dans un atelier de couture, on mesure l'écart de longueur $X$, en centimètres, entre un tissu découpé et la longueur commandée (positif si le tissu est trop long, négatif s'il est trop court). Sa loi de probabilité est :$$\begin{array}{ccccc}{x}_i& -2& -1& 1& 2\\ P(X=x_i)& 0,10& 0,40& 0,35& 0,15\end{array}$$On considère la variable aléatoire $Y=X^2$, qui pourrait représenter une pénalité de contrôle qualité proportionnelle au carré de l'écart.

Déterminer la loi de probabilité de $Y$.

Un livreur indépendant à vélo modélise son gain journalier $X$, en euros, selon le nombre de courses qu'il parvient à réaliser dans sa journée. Sa loi de probabilité est :$$\begin{array}{ccccc}{x}_i& 20& 45& 70& 90\\ P(X=x_i)& 0,20& 0,40& 0,25& 0,15\end{array}$$Étudier complètement cette variable aléatoire (vérification de la loi, espérance, variance, écart-type) et interpréter le résultat obtenu pour l'espérance.

Un entraîneur chronomètre le temps de course $X$, en secondes, d'un athlète sur 400 mètres. On sait que $V(X)=25$ (en secondes au carré), donc $\sigma (X)=5$ secondes.

L'entraîneur ajoute systématiquement une pénalité fixe de 2 secondes au temps chronométré, puis convertit le résultat obtenu en minutes (en divisant par 60).

1) Que deviennent la variance et l'écart-type juste après l'ajout de la pénalité fixe de 2 secondes, sans recalculer la loi de la variable ?
2) Que deviennent ensuite la variance et l'écart-type après la conversion en minutes, sans recalculer la loi de la variable ?

Un candidat participe à un concours de photographie qui se déroule en deux tours : une présélection, puis une finale. La probabilité qu'il passe la présélection est $0,4$. S'il passe la présélection, la probabilité qu'il remporte ensuite la finale est $0,25$.

Le prix perçu par le candidat dépend du résultat :
- $800$€ s'il remporte la finale ;
- $150$€ s'il passe la présélection mais ne remporte pas la finale ;
- $20$€ (dédommagement de participation) s'il ne passe pas la présélection.

On note $X$ le prix perçu, en euros.

1) Représenter la situation par un arbre pondéré.
2) Déterminer la loi de probabilité de $X$.
3) Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat.

Lors d'une kermesse, un billet de tirage coûte 8€. Il permet de gagner un gros lot d'une valeur de 24€, un petit lot d'une valeur de 12€, ou aucun lot. On note $X$ le gain algébrique associé à ce billet (valeur du lot obtenu moins le prix du billet, la valeur du lot étant nulle si aucun lot n'est obtenu).

On sait que $P(\text{petit lot})=\frac{1}{2}$ et que l'espérance de gain est $E(X)=2$.

Déterminer $P(\text{aucun lot})$ et $P(\text{gros lot})$.

Un tiroir contient 6 crayons rouges et $n$ crayons bleus, indiscernables au toucher, où $n$ est un entier naturel non nul. On tire un crayon au hasard : s'il est bleu, on gagne 3€ ; s'il est rouge, on perd 7€.

Déterminer la valeur de l'entier $n$ pour laquelle ce jeu est équitable.

Un client hésite entre deux formules d'abonnement pour une salle de sport, selon le nombre de séances qu'il pense pouvoir utiliser dans le mois. Le coût mensuel, en euros, est modélisé par une variable aléatoire pour chaque formule.

Formule A (paiement à la séance) :$$\begin{array}{ccc}{x}_i& 30& 90\\ P(X_A=x_i)& 0,5& 0,5\end{array}$$Formule B (forfait avec plafond) :$$\begin{array}{cccc}{x}_i& 50& 60& 70\\ P(X_B=x_i)& 0,25& 0,5& 0,25\end{array}$$1) Calculer $E(X_A)$ et $E(X_B)$.
2) Calculer $\sigma (X_A)$ et $\sigma (X_B)$.
3) Quelle formule conseilleriez-vous à un client qui souhaite un coût mensuel prévisible ? Justifier.

Une compagnie d'assurance habitation couvre deux types de sinistres, notés A (dégât des eaux) et B (bris de vitre), qui peuvent se produire simultanément. Sur un grand nombre de contrats, on observe la répartition suivante :
- 85 % des contrats n'entraînent aucun sinistre dans l'année (coût de remboursement nul) ;
- 8 % des contrats connaissent uniquement le sinistre A (coût de remboursement de 40€) ;
- 5 % des contrats connaissent uniquement le sinistre B (coût de remboursement de 70€) ;
- 2 % des contrats cumulent les deux sinistres A et B (coût de remboursement de 100€, la gestion combinée coûtant moins cher que la somme des deux remboursements séparés).

On note $X$ le coût de remboursement, en euros, engendré par un contrat pris au hasard dans cette série.

1) Donner la loi de probabilité de $X$.
2) Calculer $E(X)$ et interpréter le résultat pour la compagnie.

Un club de tennis met en place un fonds destiné à financer le remplacement des raquettes cassées accidentellement par ses adhérents. Chaque adhérent verse une cotisation fixe $t$ (en euros) à ce fonds. On estime que la probabilité qu'un adhérent casse accidentellement sa raquette dans l'année est $0,05$, auquel cas le club rembourse 180€ pour son remplacement.

On note $X$ le résultat net, en euros, du fonds pour un adhérent.

Déterminer la valeur de $t$ pour que le résultat net moyen du fonds soit de $15$€ par adhérent.

Un candidat passe un test de code de la route en ligne noté selon un barème (points gagnés ou perdus selon les réponses). Son score brut $X$, en points, suit la loi de probabilité suivante :$$\begin{array}{ccccc}{x}_i& -4& 2& 6& 10\\ P(X=x_i)& 0,10& 0,30& 0,40& 0,20\end{array}$$Ce score brut est ensuite converti sur une échelle finale sur 40 points par la transformation $Y=2X+8$.

1) Calculer $E(X)$ et $V(X)$.
2) Sans reconstruire la loi de $Y$, calculer $E(Y)$ et $V(Y)$.

Un sac contient 4 boules jaunes et $n$ boules violettes, indiscernables au toucher, où $n$ est un entier naturel non nul. On effectue deux tirages successifs d'une boule, avec remise. Selon les couleurs obtenues :
- si les deux boules sont violettes, le joueur gagne 3€ ;
- si les boules tirées sont de couleurs différentes, le joueur gagne 1€ ;
- si les deux boules sont jaunes, le joueur perd 16€.

Déterminer la valeur de l'entier $n$ pour laquelle ce jeu est équitable.

On choisit un entier au hasard, de façon équiprobable, parmi les $n$ premiers entiers pairs non nuls $2,4,6,\dots ,2n$, où $n$ est un entier naturel non nul fixé. On note $X$ l'entier obtenu.

Démontrer que $E(X)=n+1$.

Une boîte contient $n$ cartes gagnantes et 9 cartes perdantes, où $n$ est un entier naturel non nul. Un joueur paie une mise de $m$ euros ($m$ réel strictement positif) pour participer. Il tire ensuite une carte au hasard : s'il tire une carte gagnante, il reçoit 20€ ; s'il tire une carte perdante, il ne reçoit rien.

1) Exprimer, en fonction de $m$ et $n$, la condition sur $m$ pour que ce jeu soit équitable.
2) En déduire la valeur de $m$ lorsque $n=6$.

Une application météo modélise un indice journalier $X$ par la loi de probabilité :$$\begin{array}{cccc}{x}_i& -1& 2& 5\\ P(X=x_i)& 0,25& 0,45& 0,30\end{array}$$Un développeur fait tourner un programme qui simule $2000$ répétitions indépendantes de cette expérience aléatoire et calcule la moyenne des $2000$ valeurs obtenues. Il trouve $\bar{x}=2,19$.

1) Calculer l'espérance théorique $E(X)$.
2) Comparer $\bar{x}$ et $E(X)$. Cet écart remet-il en cause la loi de probabilité donnée ? Justifier.
3) Le développeur relance sa simulation $40$ fois de suite (chaque fois avec $2000$ répétitions), et obtient $40$ valeurs de $\bar{x}$ légèrement différentes, dispersées autour de $E(X)$. Expliquer pourquoi, alors que la loi théorique de $X$ n'a pas changé.

Un ingénieur qualité modélise l'écart de calibrage $X$, en millimètres, d'un instrument de mesure par la loi de probabilité :$$\begin{array}{cccc}{x}_i& -2& 1& 3\\ P(X=x_i)& 0,3& 0,5& 0,2\end{array}$$Pour tout réel $x$, on définit $f(x)=E((X-x{)}^2)$, qui représente l'erreur quadratique moyenne si l'on réglait l'instrument sur la valeur $x$.

1) Calculer $E(X)$ et $E(X^2)$.
2) Montrer que $f(x)=x^2-2E(X)x+E(X^2)$, puis donner l'expression développée de $f(x)$ avec les valeurs numériques.
3) Écrire $f(x)$ sous forme canonique.
4) En déduire le réglage $x$ qui minimise l'erreur quadratique moyenne, ainsi que la valeur de ce minimum. Que représentent ces deux nombres pour la variable $X$ ?