Exercices de Variables Aléatoires, Première (page 2)

Un commercial perçoit un salaire variable $X$, en euros, composé d'un fixe et d'une commission aléatoire, dont on sait que $\sigma (X)=80$.

1) Son entreprise décide d'ajouter, chaque mois, une prime fixe de 150€ à ce salaire, ce qui donne un nouveau salaire $Y=X+150$. Sans recalculer la loi de $Y$, donner $V(Y)$ et $\sigma (Y)$. Justifier.
2) L'année suivante, l'entreprise applique plutôt une augmentation de $10\%$ sur l'ensemble du salaire variable, ce qui donne $Z=1,1X$. Sans recalculer la loi de $Z$, donner $V(Z)$ et $\sigma (Z)$.

Une startup postule à un financement qui se déroule en deux phases. La probabilité qu'elle soit retenue à l'issue de la phase 1 (étude de dossier) est $0,4$. Si elle est retenue à la phase 1, la probabilité qu'elle soit ensuite validée à la phase 2 (comité d'investissement) est $0,6$.

Le montant du financement perçu dépend du résultat :
- $50000$€ si elle est retenue aux deux phases ;
- $8000$€ (aide au développement) si elle est retenue en phase 1 mais pas en phase 2 ;
- $500$€ (indemnité de participation) si elle n'est pas retenue en phase 1.

On note $X$ le montant perçu, en euros.

1) Représenter la situation par un arbre pondéré.
2) Déterminer la loi de probabilité de $X$.
3) Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat.

Une entreprise de livraison verse à chaque livreur une prime algébrique $X$, en euros, selon le délai de livraison d'une course : $+15$€ si la livraison est en avance, $+5$€ si elle est à l'heure, et $-10$€ (pénalité) si elle est en retard.

On sait que $P(X=5)=0,5$ et que l'espérance de la prime est $E(X)=3$.

Déterminer $P(X=15)$ et $P(X=-10)$.

Un jeu vidéo propose un tirage aléatoire d'un objet parmi 6 objets communs et $n$ objets rares, où $n$ est un entier naturel non nul. Si l'objet tiré est rare, le joueur reçoit 9 pièces virtuelles ; si l'objet tiré est commun, il perd 3 pièces virtuelles.

Déterminer la valeur de l'entier $n$ pour laquelle ce tirage est équitable.

Une entreprise hésite entre deux stratégies commerciales pour le lancement d'un nouveau produit. Le bénéfice net, en milliers d'euros, est modélisé par une variable aléatoire pour chaque stratégie.

Stratégie A :$$\begin{array}{ccc}{x}_i& -30& 120\\ P(X_A=x_i)& 0,35& 0,65\end{array}$$Stratégie B :$$\begin{array}{cccc}{x}_i& 40& 55& 70\\ P(X_B=x_i)& 0,25& 0,5& 0,25\end{array}$$1) Calculer $E(X_A)$ et $E(X_B)$.
2) Calculer $\sigma (X_A)$ et $\sigma (X_B)$ (arrondis au centième).
3) Quelle stratégie conseilleriez-vous à une entreprise qui souhaite limiter les risques ? Et à une entreprise prête à prendre des risques pour maximiser son bénéfice moyen ? Justifier.

Un site de e-commerce peut, pour une commande donnée, connaître un retard de livraison et/ou un article manquant, chacun entraînant un coût de compensation pour l'entreprise. Sur un grand nombre de commandes, on observe la répartition suivante :
- 85 % des commandes ne connaissent aucun incident (coût nul) ;
- 9 % des commandes connaissent uniquement un retard (compensation de 5€) ;
- 4 % des commandes connaissent uniquement un article manquant (compensation de 8€) ;
- 2 % des commandes cumulent les deux incidents (compensation de 11€, le traitement combiné coûtant moins cher que la somme des deux compensations séparées).

On note $X$ le coût de compensation, en euros, engendré par une commande prise au hasard dans cette série.

1) Donner la loi de probabilité de $X$.
2) Calculer $E(X)$ et interpréter le résultat pour l'entreprise.

Une auto-école propose une garantie « repassage gratuit » lors de l'inscription à l'examen du permis. Elle encaisse un tarif fixe $t$ (en euros) pour chaque inscription. Si l'élève échoue à l'examen, dont la probabilité est $0,15$, l'auto-école prend en charge un repassage qui lui coûte $180$€.

On note $X$ le résultat net, en euros, de l'auto-école pour une inscription.

Déterminer la valeur de $t$ pour que le résultat net moyen de l'auto-école soit de $25$€ par inscription.

Un exercice est noté selon trois niveaux de réussite : échec (0 point), réussite partielle (4 points) ou réussite complète (10 points). Sur une grande série de copies, la loi de probabilité du score brut $X$ obtenu par une copie prise au hasard est :$$\begin{array}{cccc}{x}_i& 0& 4& 10\\ P(X=x_i)& 0,3& 0,45& 0,25\end{array}$$Le professeur convertit ensuite ce score brut en une note sur une nouvelle échelle à l'aide de la transformation $Y=2X+1$.

1) Calculer $E(X)$, $E(X^2)$, $V(X)$ puis $\sigma (X)$ (arrondi au centième).
2) Sans reconstruire la loi de $Y$, calculer $E(Y)$, $V(Y)$ et $\sigma (Y)$ (arrondi au centième).

Un sac contient 3 jetons bleus et $n$ jetons oranges, indiscernables au toucher, où $n$ est un entier naturel non nul. On tire successivement et sans remise deux jetons du sac.
- Si les deux jetons tirés sont oranges, le joueur gagne 5€.
- Si les jetons sont de couleurs différentes, le joueur gagne 1€.
- Si les deux jetons tirés sont bleus, le joueur perd 8€.

Déterminer la valeur de l'entier $n$ pour laquelle ce jeu est équitable.

Soit $a$ un entier relatif fixé et $n$ un entier naturel non nul fixé. On choisit un entier au hasard, de façon équiprobable, parmi les $n$ entiers consécutifs $a,a+1,a+2,\dots ,a+n-1$. On note $X$ l'entier obtenu.

Démontrer que $E(X)=a+\frac{n-1}{2}$.

Une plateforme de jeu en ligne propose un tirage aléatoire parmi 5 objets légendaires et $n$ objets communs, où $n$ est un entier naturel non nul. Un joueur paie $m$ crédits (avec $m$ réel strictement positif) pour effectuer un tirage. S'il obtient un objet légendaire, la plateforme lui verse une compensation de 40 crédits ; s'il obtient un objet commun, elle ne verse rien.

On note $X$ le bénéfice net algébrique de la plateforme pour un tirage (crédits encaissés moins compensation versée).

1) Exprimer, en fonction de $m$ et $n$, la condition sur $m$ pour que le bénéfice net moyen de la plateforme soit de 3 crédits par tirage.
2) En déduire la valeur de $m$ lorsque $n=15$.

On considère une variable aléatoire $X$ de loi de probabilité :$$\begin{array}{cccc}{x}_i& -4& 2& 7\\ P(X=x_i)& 0,3& 0,5& 0,2\end{array}$$Un élève écrit un programme qui simule $2000$ répétitions indépendantes de cette expérience aléatoire et calcule la moyenne des $2000$ valeurs obtenues. Il trouve $\bar{x}=1,35$.

1) Calculer l'espérance théorique $E(X)$.
2) Comparer $\bar{x}$ et $E(X)$. Cet écart remet-il en cause la loi de probabilité donnée ? Justifier.
3) L'élève relance sa simulation $40$ fois de suite (chaque fois avec $2000$ répétitions), et obtient $40$ valeurs de $\bar{x}$ légèrement différentes, dispersées autour de $E(X)$. Expliquer pourquoi, alors que la loi théorique de $X$ n'a pas changé.

Un livreur relève l'écart de temps de livraison $X$, en minutes, par rapport à l'horaire annoncé, pour des courses prises au hasard. Sa loi de probabilité est :$$\begin{array}{cccc}{x}_i& 2& 6& 10\\ P(X=x_i)& 0,25& 0,5& 0,25\end{array}$$Pour tout réel $x$, on définit $f(x)=E((X-x{)}^2)$.

1) Calculer $E(X)$ et $E(X^2)$.
2) Montrer que $f(x)=x^2-2E(X)x+E(X^2)$, puis donner l'expression développée de $f(x)$ avec les valeurs numériques.
3) Écrire $f(x)$ sous forme canonique.
4) En déduire le minimum de $f$ et la valeur de $x$ en laquelle ce minimum est atteint. Que représentent ces deux nombres pour la variable $X$ ?

Une entreprise de VTC compare deux offres d'assurance pour sa flotte de véhicules.

Offre A : l'entreprise paie des frais de dossier fixes de 150€ par mois, plus 800€ par incident déclaré. Le nombre mensuel d'incidents est modélisé par une variable aléatoire $X$ de loi de probabilité :$$\begin{array}{ccccc}{x}_i& 0& 1& 2& 3\\ P(X=x_i)& 0,5& 0,3& 0,15& 0,05\end{array}$$Offre B : l'entreprise paie un forfait fixe de $F$ euros par mois (avec $F$ réel positif), qui couvre tous les incidents, quel que soit leur nombre.

1) Calculer $E(X)$.
2) On note $C_A$ le coût mensuel algébrique de l'offre A. Exprimer $C_A$ en fonction de $X$, puis calculer $E(C_A)$ sans reconstruire sa loi.
3) Déterminer, en fonction de $F$, pour quelles valeurs de $F$ l'offre B est en moyenne plus avantageuse (moins coûteuse) que l'offre A.

Dans un jeu d'évasion (escape game), 9 salles sont numérotées de 1 à 9. Une équipe tire au sort une salle de départ. On définit une variable aléatoire $X$ de la façon suivante :
- si le numéro est un multiple de 3, $X=6$ (bonus de temps) ;
- si le numéro est pair mais pas multiple de 3, $X=2$ ;
- sinon, $X=-1$ (pénalité).

1) Donner l'univers $\Omega$ de cette expérience aléatoire.
2) Pour chaque valeur prise par $X$, préciser les numéros de salle correspondants.
3) En déduire l'ensemble des valeurs prises par $X$.

Un stand de pêche aux canards, lors d'une fête foraine, attribue un nombre de points $X$ selon le canard pêché. Sa loi de probabilité est donnée par le tableau suivant, où $p$ est un réel :$$\begin{array}{ccccc}{x}_i& -2& 1& 3& 6\\ P(X=x_i)& 0,15& p& 0,25& 0,20\end{array}$$1) Déterminer la valeur de $p$.
2) Vérifier que le tableau obtenu définit bien une loi de probabilité.

Lors d'une compétition de bowling, un joueur marque un nombre de points bonus $X$ selon le type de strike réalisé, dont la loi de probabilité est :$$\begin{array}{cccc}{x}_i& 5& 15& 30\\ P(X=x_i)& 0,6& 0,3& 0,1\end{array}$$Calculer l'espérance $E(X)$.

Dans un tiroir, 5 clés indiscernables au toucher sont numérotées $10$, $20$, $30$, $40$ et $50$, correspondant chacune à un casier de consigne. On tire une clé au hasard et on note $X$ le numéro du casier associé.

1) Justifier que la loi de $X$ est équiprobable, et donner cette loi.
2) Calculer $E(X)$.

Une enquête de satisfaction recueille, auprès des clients d'un restaurant, un score $X$ compris entre $-2$ et $3$. Sa loi de probabilité est donnée par le tableau :$$\begin{array}{cccccc}{x}_i& -2& -1& 0& 2& 3\\ P(X=x_i)& \frac{2}{15}& \frac{3}{15}& \frac{4}{15}& \frac{3}{15}& \frac{3}{15}\end{array}$$1) Vérifier que ce tableau définit bien une loi de probabilité.
2) Donner $P(X=0)$.
3) Calculer $P(X⩽0)$.

Un site de vente en ligne propose un jeu-concours gratuit à chaque commande. Le gain algébrique obtenu par un client, en euros de réduction, est modélisé par une variable aléatoire $X$ dont on a calculé l'espérance : $E(X)=0,75$.

1) Ce jeu est-il en moyenne favorable ou défavorable au client ? Justifier.
2) Interpréter la valeur $E(X)=0,75$ en une phrase, dans le contexte de l'énoncé.

Lors d'un anniversaire, un sac contient 12 pochettes surprises indiscernables au toucher : 5 contiennent un porte-clés (valeur 2€), 4 contiennent un carnet (valeur 4€), et 3 contiennent un jeu de cartes (valeur 9€). Un enfant tire une pochette au hasard. On note $X$ la valeur, en euros, du contenu obtenu.

1) Donner les valeurs prises par $X$.
2) Déterminer la loi de probabilité de $X$.
3) Vérifier que la somme des probabilités vaut $1$.

Une application de fidélité d'un café attribue, à chaque achat, un nombre de points bonus $X$ selon la loi de probabilité suivante :$$\begin{array}{ccccc}{x}_i& 2& 4& 6& 10\\ P(X=x_i)& 0,4& 0,3& 0,2& 0,1\end{array}$$1) Calculer $E(X)$.
2) Calculer $E(X^2)$.
3) En déduire $V(X)$ à l'aide de la formule de König-Huygens, puis $\sigma (X)$ (arrondi au centième).

Dans une usine agroalimentaire, un capteur mesure l'écart de poids $X$ (en grammes) d'un pot de confiture par rapport au poids de référence indiqué sur l'étiquette. Sa loi de probabilité est :$$\begin{array}{ccccc}{x}_i& -10& -2& 4& 10\\ P(X=x_i)& 0,2& 0,3& 0,3& 0,2\end{array}$$1) Calculer $E(X)$.
2) Calculer $V(X)$ en utilisant la formule de définition $V(X)=\sum _i{p}_i(x_i-E(X){)}^2$ (sans utiliser la formule de König-Huygens).
3) En déduire $\sigma (X)$ (arrondi au centième).

Un coureur cycliste amateur termine une course en un temps chronométré $X$ (en minutes), avec $E(X)=48$ et $\sigma (X)=3,2$. Les organisateurs convertissent ce temps en un score de classement $Y=-2X+150$ (plus le temps est court, plus le score est élevé).

1) Calculer $V(X)$.
2) Sans reconstruire la loi de $Y$, calculer $E(Y)$, $V(Y)$ et $\sigma (Y)$.

Un stand de pêche à la ligne, lors d'une fête de quartier, coûte 3€ la partie. Un enfant tire un canard parmi 25 : 5 d'entre eux portent une étoile qui rapporte un lot d'une valeur de 12€ ; les autres ne rapportent rien.

On note $X$ le gain algébrique net de l'enfant (valeur du lot reçu moins la mise).

1) Déterminer la loi de probabilité de $X$.
2) Calculer $E(X)$.
3) Ce jeu est-il équitable ? Est-il favorable à l'enfant ?

Lors d'un entraînement de précision, une variable aléatoire $X$ modélise l'écart, en mètres, entre le point d'atterrissage d'un parachutiste et le centre de la cible (compté négativement à gauche du centre, positivement à droite). Sa loi de probabilité est :$$\begin{array}{ccccc}{x}_i& -4& -2& 1& 4\\ P(X=x_i)& 0,1& 0,3& 0,4& 0,2\end{array}$$On considère la variable aléatoire $Y=X^2$, qui représente le carré de la distance au centre.

Déterminer la loi de probabilité de $Y$.

Lors d'un festival de musique, un billet de loterie permet de gagner un poster (valeur 2€), un t-shirt (valeur 15€), ou rien. On note $X$ la valeur, en euros, du lot gagné par un billet.

On observe que $70\%$ des billets ne gagnent rien, $25\%$ gagnent un poster et $5\%$ gagnent un t-shirt.

Étudier complètement cette variable aléatoire (loi, espérance, variance, écart-type) et interpréter le résultat obtenu pour l'espérance.

Dans un atelier de menuiserie, le temps de fabrication d'une pièce est modélisé par une variable aléatoire $X$ (en minutes), de variance $V(X)=18$.

1) On ajoute systématiquement un temps de réglage fixe de 5 minutes à chaque pièce, ce qui définit une nouvelle variable $T=X+5$. Sans recalculer la loi de $T$, donner $V(T)$ et $\sigma (T)$ (valeur exacte, puis arrondie au centième).
2) Pour un rapport automatisé, ce temps total est ensuite converti en secondes : $S=60T$. Sans recalculer de loi, donner $V(S)$ et $\sigma (S)$ (valeur exacte, puis arrondie au centième).

Un candidat passe un entretien d'embauche. La probabilité qu'il soit retenu à l'issue de ce premier entretien est $0,7$. S'il est retenu, il passe ensuite un test technique, avec une probabilité de réussite de $0,6$.

La prime perçue par le candidat dépend du résultat :
- $800$€ s'il réussit l'entretien et le test technique ;
- $200$€ (prime de compensation) s'il réussit l'entretien mais échoue au test ;
- $0$€ s'il échoue dès l'entretien.

On note $X$ la prime perçue, en euros.

1) Représenter la situation par un arbre pondéré.
2) Déterminer la loi de probabilité de $X$.
3) Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat.

Une carte de fidélité d'un cinéma offre, à la fin de chaque mois, soit une place gratuite (valeur 9€), soit un menu popcorn (valeur 4€), soit rien. On note $X$ la valeur, en euros, du gain associé à une carte.

On sait que $P(X=4)=0,3$ et que l'espérance de gain est $E(X)=3$.

Déterminer $P(X=9)$ et $P(X=0)$.

Un sac contient 4 jetons dorés et $n$ jetons argentés, indiscernables au toucher, où $n$ est un entier naturel non nul. On tire un jeton au hasard : s'il est doré, le joueur gagne 6€ ; s'il est argenté, il perd 2€.

Déterminer la valeur de l'entier $n$ pour laquelle ce jeu est équitable.

Une PME hésite entre deux fournisseurs pour l'achat de matériel reconditionné, chacun modélisé par le bénéfice net réalisé après revente (variable aléatoire, en euros).

Fournisseur A :$$\begin{array}{ccc}{x}_i& -200& 600\\ P(X_A=x_i)& 0,4& 0,6\end{array}$$Fournisseur B :$$\begin{array}{cccc}{x}_i& 130& 280& 430\\ P(X_B=x_i)& 0,25& 0,5& 0,25\end{array}$$1) Calculer $E(X_A)$ et $E(X_B)$.
2) Calculer $\sigma (X_A)$ et $\sigma (X_B)$ (valeurs exactes, puis arrondies au centième).
3) Lequel de ces deux fournisseurs conseilleriez-vous à une PME qui souhaite limiter les risques ? Justifier.

Une plateforme de livraison observe que ses commandes peuvent connaître deux types de retard : un retard fournisseur et un retard transporteur, chacun entraînant un coût de compensation client. Sur un grand nombre de commandes, on observe la répartition suivante :
- 78 % des commandes n'ont aucun retard (coût 0€) ;
- 10 % ont uniquement un retard fournisseur (coût 6€) ;
- 8 % ont uniquement un retard transporteur (coût 9€) ;
- 4 % cumulent les deux retards (coût 12€, la compensation combinée étant plafonnée).

On note $X$ le coût de compensation, en euros, engendré par une commande prise au hasard dans cette série.

1) Donner la loi de probabilité de $X$.
2) Calculer $E(X)$ et interpréter le résultat pour la plateforme.

Une association étudiante propose une assurance vélo à ses adhérents. Elle encaisse une cotisation annuelle fixe $t$ (en euros) auprès de chaque adhérent. En cas de vol du vélo, dont la probabilité est estimée à $0,05$, elle rembourse $300$€ à l'adhérent.

On note $X$ le résultat net, en euros, de l'association pour un adhérent.

Déterminer la valeur de $t$ pour que le résultat net moyen de l'association soit de $8$€ par adhérent.

Un quiz télévisé note les réponses ainsi : une bonne réponse rapporte des points, une mauvaise en fait perdre, et une question passée ne change rien au score. À l'issue d'une manche, le score brut $X$ obtenu par un candidat suit la loi de probabilité suivante, établie à partir des statistiques de l'émission :$$\begin{array}{ccccc}{x}_i& -4& 1& 6& 13\\ P(X=x_i)& 0,1& 0,3& 0,4& 0,2\end{array}$$Pour l'affichage final, ce score brut est converti en un indicateur $Y$ sur une échelle de jauge, par la formule $Y=0,8X+10$.

1) Calculer $E(X)$ et $V(X)$.
2) Sans reconstruire la loi de $Y$, calculer $E(Y)$ et $V(Y)$.

Un sac contient 4 jetons rouges et $n$ jetons verts, indiscernables au toucher, où $n$ est un entier naturel non nul. On effectue deux tirages successifs d'un jeton, avec remise. Selon les couleurs obtenues :
- si les deux jetons sont verts, le joueur gagne 3€ ;
- si les jetons tirés sont de couleurs différentes, le joueur gagne 2€ ;
- si les deux jetons sont rouges, le joueur perd 20€.

Déterminer la valeur de l'entier $n$ pour laquelle ce jeu est équitable.

On choisit un entier au hasard, de façon équiprobable, parmi les $n$ premiers multiples de 3 strictement positifs, c'est-à-dire parmi $3,6,9,\dots ,3n$, où $n$ est un entier naturel non nul. On note $X$ le multiple de 3 obtenu.

Démontrer que $E(X)=\frac{3(n+1)}{2}$.

Un sac contient 3 boules noires et $n$ boules blanches, indiscernables au toucher, où $n$ est un entier naturel non nul. Un joueur paie une mise $m$ (en euros, $m>0$) pour tirer une boule au hasard : si elle est blanche, il reçoit 5€ ; si elle est noire, il ne reçoit rien. On note $X$ le gain net du joueur, c'est-à-dire la somme reçue diminuée de la mise $m$.

1) Exprimer, en fonction de $m$ et $n$, la condition pour laquelle ce jeu est équitable.
2) En déduire la valeur de $m$ pour laquelle le jeu est équitable lorsque $n=12$.

Un programme informatique simule $N$ tirages indépendants dans un sac de jetons dont la loi de probabilité théorique, établie à l'avance, est la suivante :$$\begin{array}{cccc}{x}_i& -3& 2& 7\\ P(X=x_i)& 0,3& 0,5& 0,2\end{array}$$À chaque exécution, le programme renvoie la moyenne des $N$ valeurs obtenues.

1) Calculer l'espérance théorique $E(X)$.
2) Une première exécution avec $N=1000$ renvoie une moyenne de $1,46$. Une seconde exécution, avec le même $N$, renvoie une moyenne de $1,53$. Comparer ces deux résultats à $E(X)$.
3) Expliquer pourquoi ces deux moyennes diffèrent entre elles, alors que $E(X)$ est une valeur unique et fixe. Que peut-on dire d'une moyenne d'échantillon simulé par rapport à l'espérance théorique ?