Exercices de Calcul littéral en maths Seconde

1. $PROBLEME 1$

1. Effectuer les calculs ci-dessous :
a.

12 3^{2} - 12 2^{2} - 12 1^{2} + 12 0^{2}

4 5^{2} - 4 4^{2} - 4 3^{2} + 4 2^{2}

8 7^{2} - 8 6^{2} - 8 5^{2} + 8 4^{2}

Quelle remarque peut-on faire concernant les résultats ?
2. Choisir quatre nombres consécutifs et effectuer les mêmes calculs qu'à la question 1.
3. À l'aide des questions précédentes, écrire une conjecture.
4. Expliquer pourquoi la conjecture peut s'écrire ainsi :

(n + 3)^{2} - (n + 2)^{2} - (n + 1)^{2} + n^{2} = 4

.
5. Prouver que cette égalité est vraie pour tout nombre

n

entier et conclure.

2. $PROBLEME 2 Prouve ce que tu penses !$

Kevin remarque que :

5^{2} - 4^{2} = 5 + 4

;

1 0^{2} - 9^{2} = 10 + 9

;

25 0^{2} - 24 9^{2} = 250 + 249

.
Il affirme donc que la différence des carrés de deux nombres entiers consécutifs est égale à la somme de ces deux nombres.
Marie lui répond que sa conjecture ne peut pas être vraie pour tous les entiers consécutifs. Comment Kevin peut-il prouver qu'il a raison ?

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3. $PROBLEME 3$

Voici un programme de calcul :

- Choisir un nombre
- Le multiplier par

4

- Soustraire

8

au résultat
- Élever le résultat au carré
1. Écrire l'expression finale obtenue si l'on prend

x

comme nombre de départ.
2. Montrer que cette expression est égale à

16 x^{2} - 64 x + 64

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4. $PROBLEME 4$

On considère les nombres suivants :

A = 1001 \times 999 - 99 9^{2}

B = 57 \times 55 - 5 5^{2}

C = (- 2) \times (- 4) - (- 4)^{2}

.
1. Donner les valeurs lues sur la calculatrice pour

A

B

C

.
2. On pose

D = (x + 1) (x - 1) - (x - 1)^{2}

x

étant un nombre entier, supérieur à

1

, montrer que

D

est un multiple de

2

.
3. Trouver une expression

E

de la même forme que celle de

A

pour laquelle le résultat du calcul est

2008

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5. $A. Suite de Fibonacci$

Au XIIIe siècle, dans son traité mathématique Liber Abaci, le mathématicien Fibonacci pose le problème suivant :
« Combien de couples de lapins obtiendrons-nous à la fin de l'année si, commençant avec un couple, chacun des couples produisait chaque mois un nouveau couple lequel deviendrait productif au second mois de son existence ? »
Les réponses constituent les nombres de la suite de Fibonacci : 1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13 - 21 - ...

1) Expliquer ce résultat et compléter la suite de nombres de Fibonacci pour la 1ère année.
2) Calculer les valeurs approchées à

1 0^{- 3}

près des quotients de deux nombres successifs de la suite de Fibonacci

\frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \dots

et comparer les résultats avec

ϕ = \frac{1 + 5}{2}

, le Nombre d'Or.

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6. $B. Fractions à tous les étages$

1) Calculer la valeur exacte des quotients suivants :

A_{1} = 1 + \frac{1}{2}

A_{2} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}

A_{3} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}}

2) Calculer la valeur exacte des quotients

A_{4}, A_{5}

A_{6}

.
3) Calculer une valeur approchée à

1 0^{- 3}

près des résultats et comparer avec le Nombre d'Or.

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7. $C. Quelques égalités concernant le Nombre d'Or$

1) Prouver que

ϕ

est une solution de l'équation

x^{2} - x - 1 = 0

.
2) Même question avec l'équation

\frac{1}{x} - x + 1 = 0

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8. $D. Le Nombre d'Or en géométrie$

Les deux parties qui suivent sont indépendantes.

1ère partie :
1)

A I J D

est un carré de côté

10

cm.

M

est le milieu de

[D J]

C

est le point de la demi-droite

[D J)

tel que

M I = M C

B

est le point tel que

A D C B

soit un rectangle.
Calculer la valeur exacte de la longueur

M I

et en déduire la valeur exacte de la longueur du rectangle

A D C B

?
2) Vérifier que le rapport « longueur sur largeur » du rectangle

A D C B

est égal à

ϕ

. Un tel rectangle est appelé Rectangle d'Or.
3) Prouver que

I B C J

est un Rectangle d'Or.

2ème partie :
1) Quelle doit être la longueur d'un rectangle

A B C D

de largeur

A D = 6

cm pour qu'il soit un Rectangle d'Or ? Donner la valeur exacte puis vérifier qu'une valeur approchée à

1 0^{- 2}

près centimètre est

9, 71

cm.
2) Dessiner ce rectangle

A B C D

puis à l'intérieur les carrés

A I J D, I B K L, K C N M, J N O P

.
Dans chaque carré, tracer le quart de cercle de centre

J

, de rayon

J D

; le quart de cercle de centre

L

, de rayon

L I

; le quart de cercle de centre

M

, de rayon

M K

; le quart de cercle de centre

O

, de rayon

O N

. Le résultat de la construction est une spirale appelée Spirale d'Or.
3) Prouver que la longueur de cette spirale est

35 π

cm.

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1ère partie

1.

A I J D

est un carré, donc le triangle

M J I

est rectangle en

J

, avec

I J = 10

cm et, comme

M

est le milieu de

[D J]

M J = \frac{10}{2} = 5

cm.
D'après le théorème de Pythagore :

M I^{2} = M J^{2} + I J^{2} = 5^{2} + 1 0^{2} = 25 + 100 = 125

, donc

M I = 125 = 25 \times 5 = 55

cm.
Le point

C

est sur la demi-droite

[D J)

M C = M I = 55

cm. Comme

55 > 5 = M D

, le point

C

n'est pas entre

D

M

: il est au-delà de

M

, donc :

D C = D M + M C = 5 + 55

cm.
La longueur du rectangle

A D C B

est

D C = 5 + 55

cm (environ

16, 18

cm), sa largeur est

A D = 10

cm.

2.

\frac{D C}{A D} = \frac{5 + 5 5}{10} = \frac{5 ( 1 + 5 )}{10} = \frac{1 + 5}{2} = ϕ

.
Le rectangle

A D C B

est donc un Rectangle d'Or.

3.

I

est sur

[A B]

J

est sur

[D C]

et la droite

(I J)

est perpendiculaire à

(D C)

I B C J

est un rectangle.
Ses côtés mesurent

I J = 10

cm et

J C = D C - D J = 5 + 55 - 10 = 55 - 5

cm (environ

6, 18

cm) : sa longueur est

I J

et sa largeur est

J C

.
Pour montrer que

\frac{I J}{J C} = ϕ

, on vérifie que

ϕ \times J C = I J

, à l'aide de l'identité remarquable

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

ϕ \times J C = \frac{1 + 5}{2} \times (55 - 5) = \frac{1 + 5}{2} \times 5 (5 - 1) = \frac{5 ( 5 + 1 ) ( 5 - 1 )}{2} = \frac{5 ( 5 - 1 )}{2} = 10

.
Donc

ϕ \times J C = I J

, c'est-à-dire

\frac{I J}{J C} = ϕ

I B C J

est un Rectangle d'Or.

2ème partie

1. Le rectangle

A B C D

de largeur

A D = 6

cm est un Rectangle d'Or lorsque

\frac{A B}{A D} = ϕ

, c'est-à-dire lorsque :

A B = 6 ϕ = 6 \times \frac{1 + 5}{2} = 3 (1 + 5) = 3 + 35

cm.
On a

2, 23 6^{2} = 4, 999696

2, 23 7^{2} = 5, 004169

, donc

2, 236 < 5 < 2, 237

.
On en déduit

3 + 3 \times 2, 236 < A B < 3 + 3 \times 2, 237

, soit

9, 708 < A B < 9, 711

.
Une valeur approchée de

A B

1 0^{- 2}

près est donc

9, 71

cm.

2. On trace le rectangle

A B C D

(

A B \approx 9, 71

cm et

A D = 6

cm), puis on découpe les carrés l'un après l'autre dans le rectangle qui reste.
Le carré

A I J D

a pour côté

A D = 6

cm, avec

I

sur

[A B]

J

sur

[D C]

.
Le carré

I B K L

a pour côté

I B = A B - A I = 3 + 35 - 6 = 35 - 3

cm (environ

3, 71

cm), avec

K

sur

[B C]

L

sur

[I J]

.
Le carré

K C N M

a pour côté

K C = B C - B K = 6 - (35 - 3) = 9 - 35

cm (environ

2, 29

cm), car

B K = I B

;

N

est sur

[C J]

M

sur

[K L]

.
Le carré

J N O P

a pour côté

J N = J C - N C = (35 - 3) - (9 - 35) = 65 - 12

cm (environ

1, 42

cm), car

J C = I B

(côtés opposés du rectangle

I B C J

) et

N C = K C

;

O

est sur

[N M]

P

sur

[J L]

.
Les quarts de cercle s'enchaînent : de

D

I

(centre

J

), de

I

K

(centre

L

), de

K

N

(centre

M

), puis de

N

P

(centre

O

). Ils forment la Spirale d'Or.

3. Un quart de cercle de rayon

r

a pour longueur le quart du périmètre du cercle :

\frac{1}{4} \times 2 π r = \frac{π}{2} r

.
Les quatre rayons sont les côtés des quatre carrés :

J D = 6

L I = 35 - 3

M K = 9 - 35

O N = 65 - 12

.
Leur somme vaut :

6 + (35 - 3) + (9 - 35) + (65 - 12) = (6 - 3 + 9 - 12) + (35 - 35 + 65) = 65

.
La longueur de la spirale est donc

\frac{π}{2} \times 65 = 35 π

cm, soit environ

21, 07

cm.

9. $Développer avec la distributivité simple$

Développer les expressions suivantes.

A = 5 (x + 3)

B = - 2 (x - 4)

C = x (x + 7)

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10. $Réduire une expression littérale$

Réduire les expressions suivantes.

D = 3 x + 5 - x + 2

E = 7 x^{2} - 4 x + 2 x^{2} - x + 1

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11. $Calculer une valeur numérique$

On donne

F = 2 x^{2} - 3 x + 1

.
Calculer

F

pour

x = 3

, puis pour

x = - 1

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12. $Développer puis réduire une somme$

Développer puis réduire

G = 3 (x + 2) + 2 (x - 5)

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13. $Développer un produit de deux sommes$

Développer et réduire les expressions suivantes.

H = (x + 3) (x + 5)

I = (2 x - 1) (x + 4)

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14. $Développer avec le carré d'une somme ou d'une différence$

Développer les expressions suivantes à l'aide d'une identité remarquable.

J = (x + 6)^{2}

K = (3 x - 2)^{2}

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15. $Développer avec la différence de deux carrés$

Développer les expressions suivantes.

L = (x + 7) (x - 7)

M = (2 x + 5) (2 x - 5)

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16. $Factoriser en utilisant un facteur commun$

Factoriser les expressions suivantes.

N = 8 x^{2} + 12 x

P = 9 x^{3} - 6 x^{2}

Q = (x - 4) (3 x + 1) + 5 (x - 4)

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17. $Vrai ou faux : une égalité algébrique$

L'affirmation suivante est-elle vraie pour tout réel

x

(x + 4)^{2} = x^{2} + 16

?
Justifier la réponse.

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18. $Utiliser une identité remarquable pour calculer un produit$

Calculer

998 \times 1002

sans calculatrice, en utilisant une identité remarquable.

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19. $Factoriser avec le carré d'une somme ou d'une différence$

Factoriser les expressions suivantes.

R = x^{2} - 10 x + 25

S = x^{2} + 14 x + 49

T = 4 x^{2} - 4 x + 1

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20. $Factoriser une différence de carrés composée$

Factoriser les expressions suivantes.

U = (x + 3)^{2} - 16

V = 9 - (2 x - 1)^{2}

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21. $Factoriser puis réduire une expression composée$

On considère

W = (x + 2) (x - 3) + (x + 2) (x + 7)

.
1. Factoriser

W

en mettant

(x + 2)

en évidence.
2. En déduire une écriture de

W

sous la forme

a (x + 2)^{2}

, avec

a

un nombre à déterminer.

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22. $Développer une différence de deux carrés parfaits$

Développer et réduire

X = (2 x + 3)^{2} - (2 x - 3)^{2}

. Que remarque-t-on sur le résultat ?

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23. $Choisir la forme la plus adaptée pour calculer une valeur$

On donne

Y = (x - 1) (x + 1)

.
1. Développer

Y

.
2. Calculer

Y

pour

x = 1000

, en utilisant la forme la plus adaptée pour ce calcul.

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24. $Factoriser en combinant deux méthodes$

Factoriser

Z = 2 x^{2} - 18

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25. $Corriger une erreur de développement$

Un élève affirme que

(x - 5)^{2} = x^{2} - 25

.
1. Tester cette affirmation pour

x = 2

.
2. Donner le développement correct de

(x - 5)^{2}

et expliquer l'erreur commise.

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26. $Démontrer une égalité entre deux expressions$

Démontrer que, pour tout réel

x

(x + 1) (x + 5) + 4 = (x + 3)^{2}

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27. $Démontrer que le carré d'un nombre impair est impair$

Démontrer que le carré de tout nombre entier impair est un nombre impair.

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28. $Démontrer une propriété sur deux entiers impairs consécutifs$

Deux entiers impairs consécutifs s'écrivent

2 n + 1

2 n + 3

, avec

n

un entier.
Démontrer que la différence de leurs carrés est un multiple de

8

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29. $Comparer les aires de deux terrains rectangulaires$

Un terrain rectangulaire a pour longueur

(2 x + 3)

m et pour largeur

(x + 4)

m.
On modifie ses dimensions : la nouvelle longueur est

(2 x + 7)

m et la nouvelle largeur est

(x + 3)

m.
1. Exprimer et développer l'aire

A

du terrain initial et l'aire

B

du nouveau terrain.
2. Développer et réduire

B - A

. Que peut-on en conclure ?

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30. $Comparer l'aire d'un carré et d'un rectangle associé$

On considère un carré de côté

x

cm, avec

x > 3

.
On construit un rectangle de longueur

(x + 3)

cm et de largeur

(x - 3)

cm.
Démontrer que l'aire du rectangle est toujours inférieure de

9

centimètres carrés à l'aire du carré, quelle que soit la valeur de

x

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31. $Démontrer une propriété sur trois entiers consécutifs$

Soit

n

un entier. On considère trois entiers consécutifs

n

n + 1

n + 2

.
Démontrer que la somme des carrés de ces trois entiers, diminuée de

2

, est un multiple de

3

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32. $Démontrer puis appliquer une identité remarquable$

1. Démontrer que, pour tout réel

x

(x + 1)^{2} - (x - 1)^{2} = 4 x

.
2. En déduire, sans calculatrice, la valeur de

100 1^{2} - 99 9^{2}

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33. $Développer avec la distributivité simple$

Développer les expressions suivantes.

A = 4 (x + 2)

B = - 3 (x - 5)

C = x (x - 6)

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34. $Réduire une expression littérale$

Réduire les expressions suivantes.

D = 6 x - 4 + 3 x + 9

E = 5 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} + 7 x - 1

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35. $Calculer une valeur numérique$

On donne

F = 3 x^{2} + 2 x - 5

.
Calculer

F

pour

x = 2

, puis pour

x = - 2

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36. $Développer puis réduire une différence$

Développer puis réduire

G = 2 (3 x + 1) - 3 (x - 4)

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37. $Développer un produit de deux sommes$

Développer et réduire les expressions suivantes.

H = (x + 2) (x + 6)

I = (3 x - 2) (x + 5)

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38. $Développer avec le carré d'une somme ou d'une différence$

Développer les expressions suivantes à l'aide d'une identité remarquable.

J = (x + 8)^{2}

K = (4 x - 3)^{2}

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39. $Développer avec la différence de deux carrés$

Développer les expressions suivantes.

L = (x + 9) (x - 9)

M = (5 x + 2) (5 x - 2)

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40. $Vérifier l'équivalence de deux expressions$

On donne

N_{1} = (x + 5)^{2} - 10 x

N_{2} = x^{2} + 25

.
Montrer que

N_{1}

N_{2}

sont deux expressions équivalentes, c'est-à-dire qu'elles sont égales pour toute valeur de

x

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1.PROBLEME 1

2.PROBLEME 2 Prouve ce que tu penses !

3.PROBLEME 3

4.PROBLEME 4

5.A. Suite de Fibonacci

6.B. Fractions à tous les étages

7.C. Quelques égalités concernant le Nombre d'Or

8.D. Le Nombre d'Or en géométrie

9.Développer avec la distributivité simple

10.Réduire une expression littérale

11.Calculer une valeur numérique

12.Développer puis réduire une somme

13.Développer un produit de deux sommes

14.Développer avec le carré d'une somme ou d'une différence

15.Développer avec la différence de deux carrés

16.Factoriser en utilisant un facteur commun

17.Vrai ou faux : une égalité algébrique

18.Utiliser une identité remarquable pour calculer un produit

19.Factoriser avec le carré d'une somme ou d'une différence

20.Factoriser une différence de carrés composée

21.Factoriser puis réduire une expression composée

22.Développer une différence de deux carrés parfaits

23.Choisir la forme la plus adaptée pour calculer une valeur

24.Factoriser en combinant deux méthodes

25.Corriger une erreur de développement

26.Démontrer une égalité entre deux expressions

27.Démontrer que le carré d'un nombre impair est impair

28.Démontrer une propriété sur deux entiers impairs consécutifs

29.Comparer les aires de deux terrains rectangulaires

30.Comparer l'aire d'un carré et d'un rectangle associé

31.Démontrer une propriété sur trois entiers consécutifs

32.Démontrer puis appliquer une identité remarquable

33.Développer avec la distributivité simple

34.Réduire une expression littérale

35.Calculer une valeur numérique

36.Développer puis réduire une différence

37.Développer un produit de deux sommes

38.Développer avec le carré d'une somme ou d'une différence

39.Développer avec la différence de deux carrés

40.Vérifier l'équivalence de deux expressions

1. $PROBLEME 1$

2. $PROBLEME 2 Prouve ce que tu penses !$

3. $PROBLEME 3$

4. $PROBLEME 4$

5. $A. Suite de Fibonacci$

6. $B. Fractions à tous les étages$

7. $C. Quelques égalités concernant le Nombre d'Or$

8. $D. Le Nombre d'Or en géométrie$

9. $Développer avec la distributivité simple$

10. $Réduire une expression littérale$

11. $Calculer une valeur numérique$

12. $Développer puis réduire une somme$

13. $Développer un produit de deux sommes$

14. $Développer avec le carré d'une somme ou d'une différence$

15. $Développer avec la différence de deux carrés$

16. $Factoriser en utilisant un facteur commun$

17. $Vrai ou faux : une égalité algébrique$

18. $Utiliser une identité remarquable pour calculer un produit$

19. $Factoriser avec le carré d'une somme ou d'une différence$

20. $Factoriser une différence de carrés composée$

21. $Factoriser puis réduire une expression composée$

22. $Développer une différence de deux carrés parfaits$

23. $Choisir la forme la plus adaptée pour calculer une valeur$

24. $Factoriser en combinant deux méthodes$

25. $Corriger une erreur de développement$

26. $Démontrer une égalité entre deux expressions$

27. $Démontrer que le carré d'un nombre impair est impair$

28. $Démontrer une propriété sur deux entiers impairs consécutifs$

29. $Comparer les aires de deux terrains rectangulaires$

30. $Comparer l'aire d'un carré et d'un rectangle associé$

31. $Démontrer une propriété sur trois entiers consécutifs$

32. $Démontrer puis appliquer une identité remarquable$

33. $Développer avec la distributivité simple$

34. $Réduire une expression littérale$

35. $Calculer une valeur numérique$

36. $Développer puis réduire une différence$

37. $Développer un produit de deux sommes$

38. $Développer avec le carré d'une somme ou d'une différence$

39. $Développer avec la différence de deux carrés$

40. $Vérifier l'équivalence de deux expressions$