Exercices de Calcul littéral en maths Seconde (page 3)

81. $Traduire une phrase par une expression littérale$

82. $Réduire une expression à deux variables$

Réduire les expressions suivantes.

D = 4 x + 3 y - 2 x + 5 y - 1

E = 2 x^{2} - 3 x y + x^{2} + 5 x y

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83. $Vérifier une égalité entre deux expressions pour des valeurs données$

On donne

F = (x + 2)^{2}

G = x^{2} + 4 x + 4

.
a. Vérifier que

F = G

pour

x = 3

.
b. Vérifier que

F = G

pour

x = - 1, 5

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84. $Développer et réduire une expression avec une soustraction de parenthèse$

Développer puis réduire

H = 2 (x + 3) - (x - 5) + 4

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85. $Exprimer et calculer le périmètre d'un rectangle$

Un rectangle a pour longueur

(x + 3)

cm et pour largeur

x

cm.
a. Exprimer le périmètre

P

de ce rectangle en fonction de

x

, sous forme réduite.
b. Calculer

P

pour

x = 4

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86. $Développer un produit de deux sommes à coefficients négatifs$

Développer et réduire

I = (3 x - 4) (- 2 x + 5)

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87. $Développer un produit d'un nombre et d'un carré$

Développer et réduire les expressions suivantes.

J = 3 (x + 4)^{2}

K = - 2 (2 x - 1)^{2}

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88. $Utiliser une identité remarquable pour un produit de deux nombres proches de 200$

Calculer

205 \times 195

sans calculatrice, en utilisant une identité remarquable.

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89. $Factoriser en utilisant un facteur commun polynomial$

Factoriser les expressions suivantes.

L = 6 x^{3} + 9 x^{2} - 3 x

M = (2 x + 3) (x - 1) - (2 x + 3) (3 x + 5)

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90. $Vrai ou faux : une factorisation à vérifier$

L'affirmation suivante est-elle vraie pour tout réel

x

4 x^{2} - 9 = (2 x - 3) (2 x + 3)

?
Justifier la réponse.

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91. $Vérifier puis démontrer l'égalité de deux expressions$

On donne

L = (2 x - 1) (x + 3)

M = 2 x^{2} + 5 x - 3

.
a. Vérifier que

L = M

pour

x = 2

.
b. Démontrer que

L = M

pour tout réel

x

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92. $Compléter une expression pour obtenir un carré parfait$

Déterminer le nombre manquant pour que chaque expression soit un carré parfait, puis factoriser.

N = x^{2} + 20 x + \dots

P = x^{2} - 30 x + \dots

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93. $Factoriser par regroupement de termes$

Factoriser

R = 2 x^{2} + 6 x + 5 x + 15

en regroupant les termes deux par deux.

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94. $Démontrer qu'une expression est toujours strictement positive$

On donne

S = x^{2} - 6 x + 10

.
a. Démontrer que, pour tout réel

x

S = (x - 3)^{2} + 1

.
b. En déduire que

S

est strictement positif, quelle que soit la valeur de

x

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95. $Comparer deux offres commerciales à l'aide du calcul littéral$

Un article coûte

x

euros, avec

x > 0

.
Le magasin A propose une réduction de

10%

suivie de

5

euros de frais de livraison : le client paie

P_{A} = 0, 9 x + 5

.
Le magasin B propose une réduction de

5%

sans frais de livraison : le client paie

P_{B} = 0, 95 x

.
a. Développer et réduire

P_{A} - P_{B}

.
b. Déterminer, selon la valeur de

x

, quel magasin propose le prix le plus avantageux.

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96. $Démontrer que la différence des carrés de deux entiers consécutifs est impaire$

Soit

n

un entier. On considère deux entiers consécutifs

n

n + 1

.
Démontrer que

(n + 1)^{2} - n^{2}

est un nombre impair.

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97. $Démontrer une identité algébrique portant sur deux carrés$

Démontrer que, pour tout réel

x

x^{2} + (x + 6)^{2} = 2 (x + 3)^{2} + 18

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98. $Démontrer qu'une expression liée à un entier impair est un multiple de 8$

Démontrer que, pour tout entier

n

, le nombre

(2 n + 1)^{2} - 1

est un multiple de

8

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99. $Démontrer une divisibilité à l'aide d'une factorisation$

Soit

n

un entier supérieur ou égal à

3

. Démontrer que

n^{2} - 4

est divisible par

n - 2

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100. $Démontrer un tour de calcul avec un nombre choisi$

On propose le programme de calcul suivant.
1. Choisir un nombre

n

.
2. Lui ajouter

3

.
3. Élever le résultat au carré.
4. Soustraire le carré du nombre de départ.
5. Diviser le résultat par

3

.
6. Soustraire

3

.
Démontrer que le résultat final est toujours égal au double du nombre de départ, quel que soit le nombre

n

choisi.

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101. $Comparer deux expressions par leur différence constante$

On donne

A = (x - 4)^{2}

B = (x - 1) (x - 7)

.
a. Développer et réduire

A

B

.
b. Développer et réduire

A - B

.
c. Que peut-on en conclure sur la comparaison entre

A

B

, quelle que soit la valeur de

x

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102. $Factoriser une expression à l'aide d'un facteur commun composé de deux facteurs$

Factoriser

T = (x + 1)^{2} (x - 2) - (x + 1) (x - 2)^{2}

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103. $Étudier la divisibilité d'une expression par 20 puis par 100$

Soit

n

un entier naturel. On pose

U = (n + 5)^{2} - (n - 5)^{2}

.
a. Développer et réduire

U

à l'aide d'une identité remarquable.
b. En déduire que

U

est un multiple de

20

.
c. Le nombre

U

peut-il être un multiple de

100

? Si oui, donner un exemple de valeur de

n

; sinon, justifier pourquoi.

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104. $Résoudre des équations déjà factorisées$

Résoudre dans

R

les équations suivantes.
a.

(x - 5) (2 x + 3) = 0

(4 x - 1) (x + 9) = 0

(5 x + 2) (7 - 3 x) = 0

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105. $Factoriser par un facteur commun puis résoudre$

Résoudre dans

R

les équations suivantes.
a.

x^{2} - 7 x = 0

3 x^{2} + 12 x = 0

(2 x + 1) (x - 3) = (2 x + 1) (5 - x)

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106. $Résoudre une équation avec une différence de carrés$

Résoudre dans

R

les équations suivantes en factorisant d'abord.
a.

(x + 2)^{2} - 25 = 0

9 x^{2} - 16 = 0

(2 x - 1)^{2} = 9

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107. $Un jardin carré transformé en rectangle$

Un jardin a la forme d'un carré de côté

x

mètres, avec

x > 2

. On allonge l'un de ses côtés de

5

m et on raccourcit l'autre de

2

m : le jardin devient un rectangle dont l'aire dépasse de

8

^{2}

l'aire du carré.

Quelle est la longueur du côté du carré ?

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108. $Circuit Niveau 1$

Chaque domino ci-dessous porte deux expressions : à gauche une expression réduite, à droite une expression à développer. Reconstituer le circuit sur le principe des dominos : à droite de chaque domino, on place le domino dont la moitié gauche est égale à sa moitié droite. Le circuit est correct lorsqu'il se referme sur le premier domino.

Domino	Moitié gauche	Moitié droite
1	$9 x^{2} - 42 x + 20$	$9 x^{2} - 4 + (3 x - 2) (x - 3)$
2	$4 x^{2} + 8 x - 5$	$(3 x + 1)^{2} - 4$
3	$x^{2} - 9$	$(2 x + 2)^{2} - 9$
4	$4 x^{2} + 16 x - 4$	$(2 x - 3)^{2} - 3 (2 x - 3)$
5	$x^{2} - 4$	$(2 x + 4)^{2} - 20$
6	$4 x^{2} + 8 x - 21$	$(x + 2) (x - 3) + (x - 3)$
7	$15 x^{2} + 35 x - 100$	$(2 x + 7) (2 x - 3)$
8	$4 x^{2} - 18 x + 18$	$(3 x - 7)^{2} - 29$
9	$9 x^{2} + 6 x - 3$	$(x + 2) (3 x + 1) - (x + 2) (2 x + 3)$
10	$12 x^{2} - 11 x + 2$	$9 x^{2} - 25 + (3 x - 5) (2 x + 15)$

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109. $Circuit Niveau 2$

Domino	Moitié gauche	Moitié droite
1	$15 x^{2} + x - 6$	$(3 x + 2)^{2} - (3 x + 2) (x + 7)$
2	$30 x^{2} - 77 x + 45$	$(x + 3) (5 x - 4) + (x + 3)^{2}$
3	$3 x^{2} - 27 x + 60$	$(3 x - 5)^{2} + (3 x - 5) (7 x - 4)$
4	$3 x^{2} - 10 x - 8$	$(4 x + 1)^{2} - (3 x - 2) (4 x + 1)$
5	$20 x^{2} + 13 x - 15$	$(x - 5)^{2} + (2 x + 3) (x - 5)$
6	$6 x^{2} + 17 x - 3$	$(4 x + 5) (4 x - 5) + (x + 2) (4 x + 5)$
7	$x^{2} + 5 x - 6$	$(3 x + 2)^{2} - (5 - 2 x) (3 x + 2)$
8	$6 x^{2} - 11 x - 10$	$(x - 5)^{2} - (x - 5) (7 - 2 x)$
9	$3 x^{2} - 17 x + 10$	$(x - 4) (2 x + 6) + (x - 4)^{2}$
10	$4 x^{2} + 13 x + 3$	$(x - 1) (2 x + 5) - (x - 1)^{2}$

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110. $Le tour du magicien$

Un magicien propose un tour à Donald. Il lui donne ce programme de calcul :

Choisis un nombre entier compris entre $1$ et $10$ .
Ajoute-lui $3$ .
Élève le résultat au carré.
Soustrais le carré du nombre choisi.
Soustrais six fois le nombre choisi.

Donald fait les calculs sur une feuille que le magicien ne voit pas. Après avoir élevé au carré, il a écrit

100

. À la fin, le magicien annonce : « Ton résultat est

9

. » Il a raison.

1) Quel nombre, compris entre

1

10

, Donald a-t-il choisi au départ ?
2) Tester le tour du magicien avec un autre nombre entier compris entre

1

10

. Quelle conjecture peut-on alors énoncer ?
3) En désignant par

x

le nombre entier compris entre

1

10

choisi au départ, prouver que la conjecture est vraie.
4) Le résultat est-il identique en prenant d'autres nombres ?

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111. $Somme et différence de carrés$

Voici une affirmation :
« La somme de deux entiers consécutifs est égale à la différence de leur carré. »

1) a) Choisir deux nombres entiers consécutifs et vérifier l'affirmation.
b) Recommencer avec plusieurs autres couples d'entiers consécutifs.
2) Soit un entier

n

.
a) Exprimer, en fonction de

n

, l'entier consécutif à

n

.
b) En déduire que la somme de deux entiers consécutifs peut s'écrire

2 n + 1

.
c) Démontrer l'affirmation.

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112. $Calcul littéral$

Dans chacune des égalités suivantes, une expression est manquante. La trouver pour que l'égalité soit vraie pour tout nombre réel

x

, puis vérifier en développant.

1. Avec un facteur commun :

3 x^{2} - 2 x = x \times A_{1}

2 x^{2} - 3 x = x \times A_{2}

3 x^{2} - x = x \times A_{3}

4 x^{2} - 12 x = 4 x \times A_{4}

3 x - 3 = 3 \times A_{5}

2. Avec une différence de deux carrés :

x^{2} - 9 = (x - 3) \times B_{1}

1 - x^{2} = B_{2} \times (x + 1)

x^{2} - 16 = B_{3} \times (x + 4)

4 x^{2} - 1 = (2 x - 1) \times B_{4}

4 - x^{2} = (2 - x) \times B_{5}

3. Développer

(x + 3) (x + 1)

. En déduire l'expression

C

telle que

x^{2} + 4 x + 3 = (3 + x) \times C

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81.Traduire une phrase par une expression littérale

82.Réduire une expression à deux variables

83.Vérifier une égalité entre deux expressions pour des valeurs données

84.Développer et réduire une expression avec une soustraction de parenthèse

85.Exprimer et calculer le périmètre d'un rectangle

86.Développer un produit de deux sommes à coefficients négatifs

87.Développer un produit d'un nombre et d'un carré

88.Utiliser une identité remarquable pour un produit de deux nombres proches de 200

89.Factoriser en utilisant un facteur commun polynomial

90.Vrai ou faux : une factorisation à vérifier

91.Vérifier puis démontrer l'égalité de deux expressions

92.Compléter une expression pour obtenir un carré parfait

93.Factoriser par regroupement de termes

94.Démontrer qu'une expression est toujours strictement positive

95.Comparer deux offres commerciales à l'aide du calcul littéral

96.Démontrer que la différence des carrés de deux entiers consécutifs est impaire

97.Démontrer une identité algébrique portant sur deux carrés

98.Démontrer qu'une expression liée à un entier impair est un multiple de 8

99.Démontrer une divisibilité à l'aide d'une factorisation

100.Démontrer un tour de calcul avec un nombre choisi

101.Comparer deux expressions par leur différence constante

102.Factoriser une expression à l'aide d'un facteur commun composé de deux facteurs

103.Étudier la divisibilité d'une expression par 20 puis par 100

104.Résoudre des équations déjà factorisées

105.Factoriser par un facteur commun puis résoudre

106.Résoudre une équation avec une différence de carrés

107.Un jardin carré transformé en rectangle

108.Circuit Niveau 1

109.Circuit Niveau 2

110.Le tour du magicien

111.Somme et différence de carrés

112.Calcul littéral

81. $Traduire une phrase par une expression littérale$

82. $Réduire une expression à deux variables$

83. $Vérifier une égalité entre deux expressions pour des valeurs données$

84. $Développer et réduire une expression avec une soustraction de parenthèse$

85. $Exprimer et calculer le périmètre d'un rectangle$

86. $Développer un produit de deux sommes à coefficients négatifs$

87. $Développer un produit d'un nombre et d'un carré$

88. $Utiliser une identité remarquable pour un produit de deux nombres proches de 200$

89. $Factoriser en utilisant un facteur commun polynomial$

90. $Vrai ou faux : une factorisation à vérifier$

91. $Vérifier puis démontrer l'égalité de deux expressions$

92. $Compléter une expression pour obtenir un carré parfait$

93. $Factoriser par regroupement de termes$

94. $Démontrer qu'une expression est toujours strictement positive$

95. $Comparer deux offres commerciales à l'aide du calcul littéral$

96. $Démontrer que la différence des carrés de deux entiers consécutifs est impaire$

97. $Démontrer une identité algébrique portant sur deux carrés$

98. $Démontrer qu'une expression liée à un entier impair est un multiple de 8$

99. $Démontrer une divisibilité à l'aide d'une factorisation$

100. $Démontrer un tour de calcul avec un nombre choisi$

101. $Comparer deux expressions par leur différence constante$

102. $Factoriser une expression à l'aide d'un facteur commun composé de deux facteurs$

103. $Étudier la divisibilité d'une expression par 20 puis par 100$

104. $Résoudre des équations déjà factorisées$

105. $Factoriser par un facteur commun puis résoudre$

106. $Résoudre une équation avec une différence de carrés$

107. $Un jardin carré transformé en rectangle$

108. $Circuit Niveau 1$

109. $Circuit Niveau 2$

110. $Le tour du magicien$

111. $Somme et différence de carrés$

112. $Calcul littéral$