Exercices de Droites du plan en maths Seconde (page 2)

42. $Médianes d'un triangle et centre de gravité$

Dans un repère, on considère le triangle

A B C

avec

A (- 2; 0)

B (0; - 4)

C (8; 10)

.

1. Déterminer les coordonnées du milieu

I

du segment

[B C]

, puis l'équation réduite de la médiane

(A I)

.
2. Déterminer les coordonnées du milieu

J

du segment

[A C]

, puis l'équation réduite de la médiane

(B J)

.
3. Déterminer les coordonnées du point d'intersection

G

de ces deux médianes.
4. Vérifier que

G

a pour coordonnées

(\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}; \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3})

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43. $Pente d'une droite définie par deux points$

La droite

d

passe par les points

E (- 5; - 3)

F (3; 9)

.

Calculer la pente (le coefficient directeur) de la droite

d

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44. $Vecteur directeur d'une droite et vecteur colinéaire imposé$

On considère la droite

d

d'équation cartésienne

7 x - 3 y + 1 = 0

.

1. Donner un vecteur directeur

u

d

.
2. En déduire un vecteur directeur de

d

dont la première coordonnée vaut

- 6

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45. $Équation réduite depuis un point et une pente$

La droite

d

a pour pente

m = - 3

et passe par le point

A (5; - 4)

.

Déterminer l'équation réduite de

d

sous la forme

y = m x + p

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46. $Appartenance de points à une droite d'équation cartésienne$

On considère la droite

d

d'équation cartésienne

4 x - 9 y - 1 = 0

.

1. Le point

P (7; 3)

appartient-il à

d

?
2. Le point

Q (3; - 1)

appartient-il à

d

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47. $Vecteur directeur entre deux points et mise à l'échelle$

Dans un repère, la droite

d

passe par les points

A (6; - 2)

B (9; 4)

.

1. Calculer les coordonnées du vecteur

A B

.
2. En déduire un vecteur directeur de

d

dont la seconde coordonnée vaut

- 8

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48. $Détermination d'un paramètre et vérification d'appartenance$

La droite

d

a pour équation réduite

y = - 4 x + 6

.

1. Le point

N (2; k)

appartient à

d

. Déterminer la valeur de

k

.
2. Le point

M (- 1; 10)

appartient-il à

d

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49. $Équation cartésienne à partir d'un point et d'un vecteur directeur, puis appartenance$

La droite

d

passe par le point

A (- 6; - 3)

et admet pour vecteur directeur

u (5 - 3)

.

1. Déterminer une équation cartésienne de

d

sous la forme

a x + b y + c = 0

.
2. Le point

C (- 1; - 6)

appartient-il à

d

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50. $Alignement de trois points à l'aide d'un déterminant$

On donne les points

A (- 5; 4)

B (3; - 2)

C (11; - 8)

.

Montrer que les points

A

B

C

sont alignés à l'aide d'un déterminant.

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51. $Passage à l'équation réduite et intersection avec l'axe des abscisses$

On considère la droite

d

d'équation cartésienne

4 x - 5 y + 20 = 0

.

1. Déterminer l'équation réduite de

d

, sa pente et son ordonnée à l'origine.
2. Donner un vecteur directeur de

d

à partir de sa pente, puis vérifier qu'il est colinéaire au vecteur directeur obtenu à partir de l'équation cartésienne.
3. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de

d

avec l'axe des abscisses.

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52. $Droites sécantes : déterminant des vecteurs directeurs et intersection$

On considère les droites

d_{1} : 2 x - y - 7 = 0

d_{2} : x + 3 y = 0

.

1. Donner un vecteur directeur de

d_{1}

et un vecteur directeur de

d_{2}

.
2. Calculer le déterminant de ces deux vecteurs et en déduire que

d_{1}

d_{2}

sont sécantes.
3. Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.

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53. $Parallélisme de deux droites définies chacune par deux points$

Dans un repère, la droite

(I J)

passe par

I (- 3; 5)

J (1; - 3)

. La droite

(K L)

passe par

K (2; 6)

L (6; - 2)

.

Les droites

(I J)

(K L)

sont-elles parallèles ?

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54. $Aire d'un triangle à partir des coordonnées de ses sommets$

Dans un repère orthonormé, on donne les points

A (1; 1)

B (7; 2)

C (3; 6)

.

Calculer l'aire du triangle

A B C

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55. $Triangle délimité par une droite et les axes du repère$

Dans un repère orthonormé, on considère la droite

d

d'équation

2 x + 5 y - 20 = 0

.

1. Déterminer les coordonnées du point d'intersection

I

d

avec l'axe des abscisses.
2. Déterminer les coordonnées du point d'intersection

J

d

avec l'axe des ordonnées.
3. Calculer l'aire du triangle

O I J

, où

O

est l'origine du repère.

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56. $Trois droites concourantes : vérification par intersection$

On considère les droites

d_{1} : y = 2 x - 3

d_{2} : y = - x + 9

d_{3} : 3 x - y - 7 = 0

.

1. Déterminer les coordonnées du point d'intersection

K

d_{1}

d_{2}

.
2. Vérifier que

d_{3}

passe également par le point

K

. Que peut-on en conclure ?

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57. $Deux droites strictement parallèles : déterminant et coefficients$

On considère les droites

d_{1} : 8 x - 6 y + 5 = 0

d_{2} : - 12 x + 9 y + 3 = 0

.

1. Donner un vecteur directeur de

d_{1}

et un vecteur directeur de

d_{2}

.
2. À l'aide d'un déterminant, montrer que

d_{1}

d_{2}

sont parallèles.
3. Ces deux droites sont-elles confondues ou strictement parallèles ?

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58. $Nature d'un quadrilatère : un trapèze, par les pentes$

Dans un repère, on donne les points

A (- 6; - 3)

B (0; 1)

C (8; 5)

D (- 4; - 3)

.

1. Calculer les pentes des droites

(A B)

(D C)

. Que peut-on en déduire ?
2. Calculer les pentes des droites

(A D)

(B C)

. Sont-elles parallèles ?
3. En déduire la nature du quadrilatère

A B C D

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59. $Droite parallèle à une droite donnée, puis intersection avec une troisième$

On considère la droite

d

d'équation cartésienne

x - 2 y + 1 = 0

et le point

A (4; 3)

.

1. Déterminer l'équation réduite de la droite

d^{'}

parallèle à

d

et passant par

A

.
2. On donne la droite

d_{2} : y = - 3 x + 8

. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de

d^{'}

d_{2}

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60. $Deux formules d'abonnement : comparaison par une inéquation$

Une salle d'escalade propose deux formules pour

x

séances dans le mois. La formule A comprend un abonnement fixe de

20

euros plus

4

euros par séance, soit

y_{A} = 4 x + 20

. La formule B ne comprend pas d'abonnement, à

9

euros la séance, soit

y_{B} = 9 x

.

1. Pour combien de séances les deux formules coûtent-elles le même prix ?
2. Résoudre l'inéquation

y_{B} < y_{A}

et interpréter le résultat : pour quels nombres de séances la formule B est-elle la plus avantageuse ?

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61. $Droite paramétrée : valeur de m pour un parallélisme, via un déterminant$

Pour tout réel

m

, on considère la droite

d_{m}

d'équation

(m + 2) x - 3 y + 1 = 0

, et la droite

d^{'}

d'équation

4 x + y - 5 = 0

.

1. Donner, en fonction de

m

, un vecteur directeur de

d_{m}

et un vecteur directeur de

d^{'}

.
2. Calculer, en fonction de

m

, le déterminant de ces deux vecteurs, puis déterminer la valeur de

m

pour laquelle

d_{m}

d^{'}

sont parallèles.
3. Pour cette valeur de

m

, les droites

d_{m}

d^{'}

sont-elles confondues ou strictement parallèles ?

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62. $Droites paramétrées passant toutes par un même point$

Pour tout réel

m

, on considère la droite

d_{m}

d'équation

y = (3 - m) x + 2 m - 4

.

1. Montrer que, quelle que soit la valeur de

m

, la droite

d_{m}

passe par un même point fixe

F

, dont on déterminera les coordonnées.
2. Déterminer la valeur de

m

pour laquelle

d_{m}

passe par le point

P (5; 17)

.
3. Écrire l'équation réduite de

d_{m}

pour cette valeur de

m

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63. $Valeur d'un paramètre pour que trois droites soient concourantes$

On considère les droites

d_{1} : y = 3 x - 4

d_{2} : y = - 2 x + 11

, ainsi que, pour tout réel

m

, la droite

d_{m} : y = m x - 1

.

1. Déterminer les coordonnées du point d'intersection

K

d_{1}

d_{2}

.
2. Déterminer la valeur de

m

pour laquelle

d_{1}

d_{2}

d_{m}

sont concourantes, c'est-à-dire pour laquelle

d_{m}

passe aussi par

K

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64. $Parallélogramme : vérification par les vecteurs et aire d'un triangle$

Dans un repère orthonormé, on donne les points

A (- 3; - 2)

B (5; 0)

C (7; 6)

D (- 1; 4)

.

1. Calculer les coordonnées des vecteurs

A B

D C

. Que peut-on en déduire sur le quadrilatère

A B C D

?
2. Calculer l'aire du triangle

A B D

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65. $Aire du triangle formé par deux droites sécantes et l'axe des abscisses$

Dans un repère orthonormé, on considère les droites

d_{1} : y = 2 x - 4

d_{2} : y = - x + 8

.

1. Déterminer les coordonnées du point d'intersection

S

d_{1}

d_{2}

.
2. Déterminer les coordonnées des points

P_{1}

P_{2}

où

d_{1}

d_{2}

coupent respectivement l'axe des abscisses.
3. Calculer l'aire du triangle

S P_{1} P_{2}

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66. $Droite paramétrée : parallélisme et appartenance d'un point$

Pour tout réel

m

, on considère la droite

d_{m}

d'équation

m x + 3 y - 2 = 0

, et la droite

d_{2} : 2 x + y - 5 = 0

.

1. Donner, en fonction de

m

, un vecteur directeur de

d_{m}

et un vecteur directeur de

d_{2}

.
2. Déterminer la valeur de

m

pour laquelle

d_{m}

d_{2}

sont parallèles.
3. Déterminer la valeur de

m

pour laquelle

d_{m}

passe par le point

A (1; - 2)

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67. $Vecteur directeur à partir de deux points$

Dans un repère, la droite

d

passe par les points

A (- 6; 2)

B (- 1; - 4)

.

1. Calculer les coordonnées du vecteur

A B

.
2. En déduire un vecteur directeur de

d

, puis donner un second vecteur directeur, différent du premier, mais colinéaire à celui-ci.

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68. $Équation cartésienne à partir d'un point et d'un vecteur directeur$

La droite

d

passe par le point

A (4; - 2)

et admet pour vecteur directeur

u (35)

.

Déterminer une équation cartésienne de

d

sous la forme

a x + b y + c = 0

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69. $Coefficient directeur à partir de deux points$

La droite

d

passe par les points

C (- 4; - 7)

D (2; 5)

.

Calculer le coefficient directeur (la pente) de la droite

d

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70. $Équation réduite à partir d'un point et d'une pente$

La droite

d

a pour pente

m = - 5

et passe par le point

A (- 3; 4)

.

Déterminer l'équation réduite de

d

sous la forme

y = m x + p

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71. $Appartenance de points à une équation réduite$

On considère la droite

d

d'équation réduite

y = 6 x - 13

.

1. Le point

P (3; 5)

appartient-il à

d

?
2. Le point

Q (- 2; - 1)

appartient-il à

d

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72. $Équation cartésienne à partir de deux points$

On considère les points

E (- 9; - 4)

F (3; 8)

, et

d

la droite

(E F)

.

Déterminer une équation cartésienne de

d

sous la forme

a x + b y + c = 0

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73. $De l'équation cartésienne à l'équation réduite, vecteur directeur et appartenance$

On considère la droite

d

d'équation cartésienne

3 x - 6 y + 18 = 0

.

1. Donner l'équation réduite de

d

, sa pente et son ordonnée à l'origine.
2. En déduire un vecteur directeur de

d

.
3. Le point

G (- 2; 2)

appartient-il à

d

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74. $Position relative de deux droites par les pentes$

La droite

d_{1}

passe par les points

P (0; - 3)

Q (4; 9)

. La droite

d_{2}

a pour équation

y = 3 x + 7

.

Les droites

d_{1}

d_{2}

sont-elles parallèles ?

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75. $Alignement de trois points par comparaison de pentes$

On donne les points

A (- 5; - 2)

B (- 1; 2)

C (7; 10)

.

Montrer que les points

A

B

C

sont alignés en comparant des pentes.

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76. $Vecteur directeur et colinéarité à partir d'une équation cartésienne$

On considère la droite

d

d'équation cartésienne

5 x + 2 y - 9 = 0

.

1. Donner un vecteur directeur

u

d

.
2. Le vecteur

v (- 6 15)

est-il aussi un vecteur directeur de

d

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77. $Aire du triangle formé par une droite et les axes du repère$

Dans un repère orthonormé, on considère la droite

d

d'équation

5 x + 2 y - 40 = 0

.

1. Déterminer les coordonnées du point d'intersection

I

d

avec l'axe des abscisses.
2. Déterminer les coordonnées du point d'intersection

J

d

avec l'axe des ordonnées.
3. Calculer l'aire du triangle

O I J

, où

O

est l'origine du repère.

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78. $Comparaison de deux tarifs de photocopies et inéquation$

Un commerce propose deux tarifs pour

x

photocopies. Le tarif A comprend un forfait fixe de

5

euros plus

0, 10

euro par copie, soit

y_{A} = 0, 10 x + 5

. Le tarif B ne comprend pas de forfait, à

0, 15

euro la copie, soit

y_{B} = 0, 15 x

.

1. Pour combien de copies les deux tarifs coûtent-ils le même prix ?
2. Résoudre l'inéquation

y_{B} < y_{A}

et interpréter le résultat : pour quel nombre de copies le tarif B est-il le plus avantageux ?

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79. $Position relative par déterminant et intersection si sécantes$

On considère les droites

d_{1} : 4 x - 3 y - 34 = 0

d_{2} : 2 x + y - 12 = 0

.

1. Donner un vecteur directeur de

d_{1}

et un vecteur directeur de

d_{2}

.
2. À l'aide d'un déterminant, montrer que

d_{1}

d_{2}

sont sécantes.
3. Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.

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80. $Intersection de deux droites données par leur équation réduite$

On donne les droites

d_{1} : y = - 2 x + 13

d_{2} : y = 5 x - 1

.

1. Justifier que

d_{1}

d_{2}

sont sécantes.
2. Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.

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41.

42.Médianes d'un triangle et centre de gravité

43.Pente d'une droite définie par deux points

44.Vecteur directeur d'une droite et vecteur colinéaire imposé

45.Équation réduite depuis un point et une pente

46.Appartenance de points à une droite d'équation cartésienne

47.Vecteur directeur entre deux points et mise à l'échelle

48.Détermination d'un paramètre et vérification d'appartenance

49.Équation cartésienne à partir d'un point et d'un vecteur directeur, puis appartenance

50.Alignement de trois points à l'aide d'un déterminant

51.Passage à l'équation réduite et intersection avec l'axe des abscisses

52.Droites sécantes : déterminant des vecteurs directeurs et intersection

53.Parallélisme de deux droites définies chacune par deux points

54.Aire d'un triangle à partir des coordonnées de ses sommets

55.Triangle délimité par une droite et les axes du repère

56.Trois droites concourantes : vérification par intersection

57.Deux droites strictement parallèles : déterminant et coefficients

58.Nature d'un quadrilatère : un trapèze, par les pentes

59.Droite parallèle à une droite donnée, puis intersection avec une troisième

60.Deux formules d'abonnement : comparaison par une inéquation

61.Droite paramétrée : valeur de m pour un parallélisme, via un déterminant

62.Droites paramétrées passant toutes par un même point

63.Valeur d'un paramètre pour que trois droites soient concourantes

64.Parallélogramme : vérification par les vecteurs et aire d'un triangle

65.Aire du triangle formé par deux droites sécantes et l'axe des abscisses

66.Droite paramétrée : parallélisme et appartenance d'un point

67.Vecteur directeur à partir de deux points

68.Équation cartésienne à partir d'un point et d'un vecteur directeur

69.Coefficient directeur à partir de deux points

70.Équation réduite à partir d'un point et d'une pente

71.Appartenance de points à une équation réduite

72.Équation cartésienne à partir de deux points

73.De l'équation cartésienne à l'équation réduite, vecteur directeur et appartenance

74.Position relative de deux droites par les pentes

75.Alignement de trois points par comparaison de pentes

76.Vecteur directeur et colinéarité à partir d'une équation cartésienne

77.Aire du triangle formé par une droite et les axes du repère

78.Comparaison de deux tarifs de photocopies et inéquation

79.Position relative par déterminant et intersection si sécantes

80.Intersection de deux droites données par leur équation réduite

42. $Médianes d'un triangle et centre de gravité$

43. $Pente d'une droite définie par deux points$

44. $Vecteur directeur d'une droite et vecteur colinéaire imposé$

45. $Équation réduite depuis un point et une pente$

46. $Appartenance de points à une droite d'équation cartésienne$

47. $Vecteur directeur entre deux points et mise à l'échelle$

48. $Détermination d'un paramètre et vérification d'appartenance$

49. $Équation cartésienne à partir d'un point et d'un vecteur directeur, puis appartenance$

50. $Alignement de trois points à l'aide d'un déterminant$

51. $Passage à l'équation réduite et intersection avec l'axe des abscisses$

52. $Droites sécantes : déterminant des vecteurs directeurs et intersection$

53. $Parallélisme de deux droites définies chacune par deux points$

54. $Aire d'un triangle à partir des coordonnées de ses sommets$

55. $Triangle délimité par une droite et les axes du repère$

56. $Trois droites concourantes : vérification par intersection$

57. $Deux droites strictement parallèles : déterminant et coefficients$

58. $Nature d'un quadrilatère : un trapèze, par les pentes$

59. $Droite parallèle à une droite donnée, puis intersection avec une troisième$

60. $Deux formules d'abonnement : comparaison par une inéquation$

61. $Droite paramétrée : valeur de m pour un parallélisme, via un déterminant$

62. $Droites paramétrées passant toutes par un même point$

63. $Valeur d'un paramètre pour que trois droites soient concourantes$

64. $Parallélogramme : vérification par les vecteurs et aire d'un triangle$

65. $Aire du triangle formé par deux droites sécantes et l'axe des abscisses$

66. $Droite paramétrée : parallélisme et appartenance d'un point$

67. $Vecteur directeur à partir de deux points$

68. $Équation cartésienne à partir d'un point et d'un vecteur directeur$

69. $Coefficient directeur à partir de deux points$

70. $Équation réduite à partir d'un point et d'une pente$

71. $Appartenance de points à une équation réduite$

72. $Équation cartésienne à partir de deux points$

73. $De l'équation cartésienne à l'équation réduite, vecteur directeur et appartenance$

74. $Position relative de deux droites par les pentes$

75. $Alignement de trois points par comparaison de pentes$

76. $Vecteur directeur et colinéarité à partir d'une équation cartésienne$

77. $Aire du triangle formé par une droite et les axes du repère$

78. $Comparaison de deux tarifs de photocopies et inéquation$

79. $Position relative par déterminant et intersection si sécantes$

80. $Intersection de deux droites données par leur équation réduite$