Exercices de Droites du plan en maths Seconde (page 3)

82. $Équation d'une droite parallèle passant par un point$

Dans un repère, on considère la droite

d : y = - 4 x + 9

et le point

A (3; - 1)

.

1. Déterminer l'équation réduite de la droite

d^{'}

parallèle à

d

et passant par

A

.
2. En déduire une équation cartésienne de

d^{'}

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83. $Milieu d'un segment et droite parallèle$

On considère les points

A (- 8; 3)

B (2; - 9)

, et

I

le milieu du segment

[A B]

. On donne aussi la droite

d : y = 2 x + 1

.

1. Déterminer les coordonnées de

I

.
2. Déterminer l'équation réduite de la droite

d^{'}

parallèle à

d

et passant par

I

.
3. En déduire une équation cartésienne de

d^{'}

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84. $Nature d'un quadrilatère par les pentes, un trapèze$

Dans un repère, on donne les points

A (- 7; - 4)

B (1; 0)

C (7; - 2)

D (- 5; - 8)

.

1. Calculer les pentes des droites

(A B)

(D C)

. Que peut-on en déduire ?
2. Calculer les pentes des droites

(A D)

(B C)

. Sont-elles parallèles ?
3. En déduire la nature du quadrilatère

A B C D

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85. $Déterminer le quatrième sommet d'un parallélogramme$

Dans un repère, on donne les points

A (- 3; 5)

B (4; 1)

C (2; - 6)

.

1. Calculer les coordonnées du vecteur

A B

.
2. Déterminer les coordonnées du point

D

tel que

A B C D

soit un parallélogramme (on pourra utiliser l'égalité

A B = D C

).
3. Vérifier le résultat en montrant que les diagonales

[A C]

[B D]

ont le même milieu.

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86. $Aire d'un triangle encadré par un rectangle, repère orthonormé$

Dans un repère orthonormé, on donne les points

A (1; - 3)

B (6; - 1)

C (3; 5)

.

Calculer l'aire du triangle

A B C

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87. $Famille de droites paramétrées et point fixe$

Pour tout réel

m

, on considère la droite

d_{m}

d'équation

y = m x - 3 m + 7

.

1. Montrer que, quelle que soit la valeur de

m

, la droite

d_{m}

passe par un même point fixe

F

, dont on déterminera les coordonnées.
2. Déterminer la valeur de

m

pour laquelle

d_{m}

passe par le point

P (6; 19)

.
3. Écrire l'équation réduite de

d_{m}

pour cette valeur de

m

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88. $Famille de droites paramétrées, déterminant et parallélisme$

Pour tout réel

m

, on considère la droite

d_{m}

d'équation

(2 m + 1) x - 4 y + 5 = 0

, et la droite

d^{'}

d'équation

3 x - 2 y - 1 = 0

.

1. Donner, en fonction de

m

, un vecteur directeur de

d_{m}

et un vecteur directeur de

d^{'}

.
2. Calculer, en fonction de

m

, le déterminant de ces deux vecteurs, puis déterminer la valeur de

m

pour laquelle

d_{m}

d^{'}

sont parallèles.
3. Pour cette valeur de

m

, les droites

d_{m}

d^{'}

sont-elles confondues ou strictement parallèles ?

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89. $Trois droites concourantes, déterminer un paramètre$

On considère les droites

d_{1} : y = - 2 x + 9

d_{2} : y = 3 x - 16

, ainsi que, pour tout réel

m

, la droite

d_{m} : y = m x - 6

.

1. Déterminer les coordonnées du point d'intersection

K

d_{1}

d_{2}

.
2. Déterminer la valeur de

m

pour laquelle

d_{1}

d_{2}

d_{m}

sont concourantes, c'est-à-dire pour laquelle

d_{m}

passe aussi par

K

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90. $Aire d'un triangle formé par deux droites sécantes et l'axe des ordonnées$

Dans un repère orthonormé, on considère les droites

d_{1} : y = 3 x - 2

d_{2} : y = - 2 x + 18

.

1. Déterminer les coordonnées du point d'intersection

S

d_{1}

d_{2}

.
2. Déterminer les coordonnées des points

P_{1}

P_{2}

où

d_{1}

d_{2}

coupent respectivement l'axe des ordonnées.
3. Calculer l'aire du triangle

S P_{1} P_{2}

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91. $Vecteur directeur à partir de deux points$

Dans un repère, la droite

d

passe par les points

A (- 6; 5)

B (2; - 3)

.

1. Calculer les coordonnées du vecteur

A B

.
2. En déduire un vecteur directeur de

d

, puis donner un second vecteur directeur, différent du premier, mais colinéaire à celui-ci.

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92. $Coefficient directeur à partir de deux points$

On considère les points

C (- 4; 7)

D (4; - 1)

, et

d

la droite

(C D)

.

Calculer le coefficient directeur de

d

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93. $Équation cartésienne à partir d'un point et d'un vecteur directeur$

La droite

d

passe par le point

E (2; - 5)

et admet pour vecteur directeur

u (37)

.

Déterminer une équation cartésienne de

d

sous la forme

a x + b y + c = 0

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94. $Appartenance à une droite et détermination d'un paramètre$

La droite

d

a pour équation réduite

y = - 4 x + 9

.

1. Le point

M (2; k)

appartient à

d

. Déterminer la valeur de

k

.
2. Le point

N (- 3; 5)

appartient-il à

d

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95. $Équation cartésienne à partir de deux points et appartenance$

On considère les points

P (- 5; - 3)

Q (3; 5)

, et

d

la droite

(P Q)

.

1. Déterminer une équation cartésienne de

d

.
2. Le point

R (- 1; 2)

appartient-il à

d

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96. $Vecteur directeur et colinéarité à partir d'une équation cartésienne$

On considère la droite

d

d'équation cartésienne

4 x - 7 y + 21 = 0

.

1. Donner un vecteur directeur

u

d

.
2. Montrer que le vecteur

v (148)

est aussi un vecteur directeur de

d

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97. $De l'équation cartésienne à l'équation réduite, vecteur directeur et appartenance$

On considère la droite

d

d'équation cartésienne

3 x + 4 y - 10 = 0

.

1. Donner l'équation réduite de

d

.
2. En déduire un vecteur directeur de

d

.
3. Le point

S (2; 1)

appartient-il à

d

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98. $Position relative de droites par les pentes$

La droite

d_{1}

a pour équation

y = - 3 x + 5

. La droite

d_{2}

passe par les points

R (1; 9)

T (4; 0)

.

Les droites

d_{1}

d_{2}

sont-elles parallèles ? Sont-elles confondues ?

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99. $Alignement de trois points par comparaison de pentes$

On donne les points

T (- 7; - 9)

U (- 1; - 3)

V (5; 3)

.

Les points

T

U

V

sont-ils alignés ?

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100. $Équation d'une droite parallèle passant par un point$

On considère la droite

d

d'équation cartésienne

3 x - 5 y + 10 = 0

et le point

W (- 5; 1)

.

Déterminer une équation cartésienne de la droite

d^{'}

parallèle à

d

et passant par

W

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101. $Intersection de deux droites données par leur équation cartésienne$

On donne les droites

d_{1} : 2 x - 3 y + 6 = 0

d_{2} : x - y - 2 = 0

.

1. Justifier que

d_{1}

d_{2}

sont sécantes.
2. Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.

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102. $Position relative par déterminant et intersection si sécantes$

On donne les droites

d_{1} : 5 x + 2 y - 14 = 0

d_{2} : 3 x - 4 y + 2 = 0

.

1. Étudier la position relative de

d_{1}

d_{2}

à l'aide de leurs vecteurs directeurs.
2. Si les droites sont sécantes, déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.

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103. $Aire du triangle formé par une droite et les axes du repère$

Dans un repère orthonormé, on considère la droite

d

d'équation

7 x + 3 y - 42 = 0

.

1. Déterminer les coordonnées du point d'intersection

I

d

avec l'axe des abscisses.
2. Déterminer les coordonnées du point d'intersection

J

d

avec l'axe des ordonnées.
3. Calculer l'aire du triangle

O I J

, où

O

est l'origine du repère.

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104. $Milieu d'un segment et droite parallèle$

On considère les points

X (- 9; 4)

Y (3; - 8)

, et

I

le milieu du segment

[X Y]

. On donne aussi la droite

d : y = 3 x - 2

.

1. Déterminer les coordonnées de

I

.
2. Déterminer l'équation réduite de la droite

d^{'}

parallèle à

d

et passant par

I

.
3. En déduire une équation cartésienne de

d^{'}

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105. $Nature d'un quadrilatère par les pentes, un trapèze$

Dans un repère, on considère le quadrilatère

A B C D

avec

A (- 5; - 6)

B (- 1; - 4)

C (10; 5)

D (2; 1)

.

1. Comparer les pentes des droites

(A B)

(D C)

. Que peut-on en déduire ?
2. Comparer les pentes des droites

(A D)

(B C)

. Le quadrilatère

A B C D

est-il un parallélogramme ?

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106. $Famille de droites paramétrées et point fixe$

Pour tout réel

m

, on considère la droite

d_{m}

d'équation

y = m x - 6 m + 13

.

1. Montrer que, quelle que soit la valeur de

m

, la droite

d_{m}

passe par un même point fixe

F

, dont on déterminera les coordonnées.
2. Déterminer la valeur de

m

pour laquelle

d_{m}

passe par le point

Q (10; 29)

.
3. Écrire l'équation réduite de

d_{m}

pour cette valeur de

m

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107. $Droite paramétrée : parallélisme par déterminant des vecteurs directeurs$

Pour tout réel

m

, on considère la droite

d_{m}

d'équation

m x - 2 y + 7 = 0

, et la droite

d^{'}

d'équation

3 x - y - 4 = 0

.

1. Exprimer, en fonction de

m

, un vecteur directeur de

d_{m}

et un vecteur directeur de

d^{'}

.
2. Déterminer la valeur de

m

pour laquelle

d_{m}

d^{'}

sont parallèles.
3. Pour cette valeur de

m

, les droites

d_{m}

d^{'}

sont-elles confondues ?

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108. $Aire d'un triangle dans un repère orthonormé$

Dans un repère orthonormé, on considère le triangle

A B C

avec

A (- 4; - 6)

B (6; 2)

C (2; 10)

.

Calculer l'aire du triangle

A B C

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109. $Deux droites données par leurs équations réduites sont-elles perpendiculaires ?$

Le plan est muni d'un repère orthonormé. Dans chaque cas, déterminer si les droites

d_{1}

d_{2}

sont perpendiculaires.
a.

d_{1} : y = 3 x - 2

d_{2} : y = - \frac{1}{3} x + 4

d_{1} : y = 2 x + 5

d_{2} : y = - 3 x + 1

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110. $Trajectoires perpendiculaires de deux drones$

Dans un repère orthonormé, deux drones se déplacent en ligne droite le long des droites

d_{1} : y = 4 x - 1

d_{2} : y = m x + 5

, où

m

est un réel.

Déterminer la valeur de

m

pour que les deux trajectoires soient perpendiculaires.

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111. $Perpendicularité avec des équations cartésiennes et des droites parallèles aux axes$

Le plan est muni d'un repère orthonormé. Dans chaque cas, montrer que les deux droites sont perpendiculaires.
a.

d_{1} : 2 x + 3 y - 6 = 0

d_{2} : 3 x - 2 y + 1 = 0

d_{3} : x = - 2

d_{4} : y = 7

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112. $Projeté orthogonal d'un point sur une droite$

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère la droite

d : y = 3 x - 2

et le point

M (5; 4)

.

Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal

H

M

sur

d

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Exercices de Droites du plan, Seconde (page 3)

81.

82. $Équation d'une droite parallèle passant par un point$

83. $Milieu d'un segment et droite parallèle$

84. $Nature d'un quadrilatère par les pentes, un trapèze$

85. $Déterminer le quatrième sommet d'un parallélogramme$

86. $Aire d'un triangle encadré par un rectangle, repère orthonormé$

87. $Famille de droites paramétrées et point fixe$

88. $Famille de droites paramétrées, déterminant et parallélisme$

89. $Trois droites concourantes, déterminer un paramètre$

90. $Aire d'un triangle formé par deux droites sécantes et l'axe des ordonnées$

91. $Vecteur directeur à partir de deux points$

92. $Coefficient directeur à partir de deux points$

93. $Équation cartésienne à partir d'un point et d'un vecteur directeur$

94. $Appartenance à une droite et détermination d'un paramètre$

95. $Équation cartésienne à partir de deux points et appartenance$

96. $Vecteur directeur et colinéarité à partir d'une équation cartésienne$

97. $De l'équation cartésienne à l'équation réduite, vecteur directeur et appartenance$

98. $Position relative de droites par les pentes$

99. $Alignement de trois points par comparaison de pentes$

100. $Équation d'une droite parallèle passant par un point$

101. $Intersection de deux droites données par leur équation cartésienne$

102. $Position relative par déterminant et intersection si sécantes$

103. $Aire du triangle formé par une droite et les axes du repère$

104. $Milieu d'un segment et droite parallèle$

105. $Nature d'un quadrilatère par les pentes, un trapèze$

106. $Famille de droites paramétrées et point fixe$

107. $Droite paramétrée : parallélisme par déterminant des vecteurs directeurs$

108. $Aire d'un triangle dans un repère orthonormé$

109. $Deux droites données par leurs équations réduites sont-elles perpendiculaires ?$

110. $Trajectoires perpendiculaires de deux drones$

111. $Perpendicularité avec des équations cartésiennes et des droites parallèles aux axes$

112. $Projeté orthogonal d'un point sur une droite$

81.

82.Équation d'une droite parallèle passant par un point

83.Milieu d'un segment et droite parallèle

84.Nature d'un quadrilatère par les pentes, un trapèze

85.Déterminer le quatrième sommet d'un parallélogramme

86.Aire d'un triangle encadré par un rectangle, repère orthonormé

87.Famille de droites paramétrées et point fixe

88.Famille de droites paramétrées, déterminant et parallélisme

89.Trois droites concourantes, déterminer un paramètre

90.Aire d'un triangle formé par deux droites sécantes et l'axe des ordonnées

91.Vecteur directeur à partir de deux points

92.Coefficient directeur à partir de deux points

93.Équation cartésienne à partir d'un point et d'un vecteur directeur

94.Appartenance à une droite et détermination d'un paramètre

95.Équation cartésienne à partir de deux points et appartenance

96.Vecteur directeur et colinéarité à partir d'une équation cartésienne

97.De l'équation cartésienne à l'équation réduite, vecteur directeur et appartenance

98.Position relative de droites par les pentes

99.Alignement de trois points par comparaison de pentes

100.Équation d'une droite parallèle passant par un point

101.Intersection de deux droites données par leur équation cartésienne

102.Position relative par déterminant et intersection si sécantes

103.Aire du triangle formé par une droite et les axes du repère

104.Milieu d'un segment et droite parallèle

105.Nature d'un quadrilatère par les pentes, un trapèze

106.Famille de droites paramétrées et point fixe

107.Droite paramétrée : parallélisme par déterminant des vecteurs directeurs

108.Aire d'un triangle dans un repère orthonormé

109.Deux droites données par leurs équations réduites sont-elles perpendiculaires ?

110.Trajectoires perpendiculaires de deux drones

111.Perpendicularité avec des équations cartésiennes et des droites parallèles aux axes

112.Projeté orthogonal d'un point sur une droite

82. $Équation d'une droite parallèle passant par un point$

83. $Milieu d'un segment et droite parallèle$

84. $Nature d'un quadrilatère par les pentes, un trapèze$

85. $Déterminer le quatrième sommet d'un parallélogramme$

86. $Aire d'un triangle encadré par un rectangle, repère orthonormé$

87. $Famille de droites paramétrées et point fixe$

88. $Famille de droites paramétrées, déterminant et parallélisme$

89. $Trois droites concourantes, déterminer un paramètre$

90. $Aire d'un triangle formé par deux droites sécantes et l'axe des ordonnées$

91. $Vecteur directeur à partir de deux points$

92. $Coefficient directeur à partir de deux points$

93. $Équation cartésienne à partir d'un point et d'un vecteur directeur$

94. $Appartenance à une droite et détermination d'un paramètre$

95. $Équation cartésienne à partir de deux points et appartenance$

96. $Vecteur directeur et colinéarité à partir d'une équation cartésienne$

97. $De l'équation cartésienne à l'équation réduite, vecteur directeur et appartenance$

98. $Position relative de droites par les pentes$

99. $Alignement de trois points par comparaison de pentes$

100. $Équation d'une droite parallèle passant par un point$

101. $Intersection de deux droites données par leur équation cartésienne$

102. $Position relative par déterminant et intersection si sécantes$

103. $Aire du triangle formé par une droite et les axes du repère$

104. $Milieu d'un segment et droite parallèle$

105. $Nature d'un quadrilatère par les pentes, un trapèze$

106. $Famille de droites paramétrées et point fixe$

107. $Droite paramétrée : parallélisme par déterminant des vecteurs directeurs$

108. $Aire d'un triangle dans un repère orthonormé$

109. $Deux droites données par leurs équations réduites sont-elles perpendiculaires ?$

110. $Trajectoires perpendiculaires de deux drones$

111. $Perpendicularité avec des équations cartésiennes et des droites parallèles aux axes$

112. $Projeté orthogonal d'un point sur une droite$