Exercices de Échantillonnage en maths Seconde

1. $Partie 1 : Comparaison de taux$

Document 1 :
Dans la vidéo « Comparaison des courbes épidémiques selon villes et pays » (19 mai 2020, www.mediterranee-infection.com), le professeur Raoult compare l’évolution de l’épidémie de Covid-19 dans plusieurs villes et pays.

Document 2 :
« Le promoteur de l’hydroxychloroquine n’hésite pas à invoquer des chiffres sans valeur, comparant par exemple le simple taux de mortalité par habitant entre Paris et Marseille au mois d’Avril 2020 pour revendiquer une meilleure prise en charge, faisant mine d’ignorer que l’épidémie a frappé différemment ces deux villes ».
Extrait du magazine Sciences et pseudo-sciences - Septembre 2020 :

Expliquer pourquoi, comme l’affirme le document 2, comparer le taux de mortalité par habitant de Paris et de Marseille en avril 2020 ne suffit pas à prouver que les malades ont été mieux pris en charge à Marseille.

2. $Partie 2 : Fréquence d’un caractère dans un échantillon$

Extrait d’une interview sur le site précédent :
« On a bien fait de traiter les jeunes, les jeunes ne sont pas morts ici (à Marseille), plus de la moitié des morts ici avaient plus de 80 ans ».
Le professeur Raoult juge que son traitement à l’hydroxychloroquine a été efficace pour les « jeunes », il apporte comme « preuve matérielle » le fait de n’avoir aucune personne de moins de 60 ans parmi les 16 personnes décédées dans son étude et au moins la moitié de plus de 80 ans.
En se basant sur les décès certifiés électroniquement entre mars et mai 2020 en France, on peut estimer à 6% la proportion des personnes de moins de 60 ans parmi les décédés de la Covid-19 et à 64% la proportion des personnes de plus de 80 ans.

1) La commande `=SI(ALEA()<0,06;1;0)` d'un tableur donne 1 avec la probabilité 0,06 et 0 sinon.
a) Utiliser cette commande pour simuler un échantillon de taille 16 prélevé au hasard dans l'ensemble des personnes décédées de la Covid-19 entre mars et mai 2020 et faire apparaître le nombre de personnes de moins de 60 ans dans cet échantillon.
b) Simuler une centaine de tels échantillons. Combien de vos 100 échantillons aléatoires de 16 personnes ne comportent aucune personne de moins de 60 ans ?
c) Le résultat constaté par le professeur Raoult serait considéré comme « statistiquement probant » si la situation se produisait dans moins de 5% des échantillons. Est-ce le cas ici ? Conclure.
2) Reprendre la démarche pour discuter des résultats de l'échantillon du professeur Raoult concernant les plus de 80 ans.

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1. a) Simulation d'un échantillon :

Dans les cellules A1 à P1 (soit

16

cellules), on saisit la commande `=SI(ALEA()<0,06;1;0)`. Chaque cellule représente une personne décédée prise au hasard : elle affiche

1

si cette personne a moins de

60

ans (probabilité

0, 06

) et

0

sinon.

Dans la cellule Q1, la formule `=SOMME(A1:P1)` donne le nombre de personnes de moins de

60

ans dans cet échantillon de taille

16

.

1. b) Une centaine d'échantillons :

On sélectionne les cellules A1 à Q1 et on les recopie vers le bas jusqu'à la ligne

100

: chaque ligne est un échantillon de

16

personnes. La formule `=NB.SI(Q1:Q100;0)` compte les échantillons qui ne comportent aucune personne de moins de

60

ans.

Le résultat varie d'une simulation à l'autre (fluctuation d'échantillonnage) : trois simulations successives ont donné par exemple

31

38

33

échantillons sur

100

. Il est en général voisin de

37

: en simulant un très grand nombre d'échantillons (par exemple

100000

), la proportion d'échantillons sans personne de moins de

60

ans se stabilise autour de

37 %

.

1. c) Conclusion :

La situation constatée par le professeur Raoult (aucune personne de moins de

60

ans parmi

16

décès) se produit dans environ

37 %

des échantillons pris au hasard, bien plus que

5 %

. Ce n'est donc pas le cas : le résultat n'est pas « statistiquement probant ».

Même sans aucun traitement, un groupe de

16

décès tirés au hasard parmi tous les décès de France ne compte aucune personne de moins de

60

ans plus d'une fois sur trois. Avec un si petit échantillon, l'absence de « jeunes » parmi les

16

décès de l'étude s'explique très bien par le hasard : elle ne prouve pas que le traitement a été efficace pour les jeunes.

2. Les plus de 80 ans :

On reprend la même démarche avec la commande `=SI(ALEA()<0,64;1;0)` dans les cellules A1 à P1 : chaque cellule affiche

1

si la personne a plus de

80

ans (probabilité

0, 64

) et

0

sinon. La cellule Q1 contient `=SOMME(A1:P1)`, le nombre de personnes de plus de

80

ans dans l'échantillon, et on recopie ces cellules jusqu'à la ligne

100

.

L'étude compte au moins la moitié de personnes de plus de

80

ans parmi ses

16

décès, c'est-à-dire au moins

8

personnes. La formule `=NB.SI(Q1:Q100;">=8")` compte les échantillons dans cette situation : on en obtient en général environ

92

sur

100

(par exemple

94

91

95

sur trois simulations). En simulant un très grand nombre d'échantillons, la proportion se stabilise autour de

92 %

.

Cette situation se produit donc dans environ

92 %

des échantillons, bien plus que

5 %

: ce résultat n'est pas non plus « statistiquement probant ». C'est même la situation attendue : puisque

64 %

des personnes décédées ont plus de

80

ans, on s'attend à en trouver environ

0, 64 \times 16 \approx 10

dans un échantillon de

16

décès.

Remarque : avec « plus de la moitié », comme dans l'interview, il faut au moins

9

personnes de plus de

80

ans (formule `=NB.SI(Q1:Q100;">=9")`). La situation se produit alors dans environ

82 %

des échantillons, et la conclusion est la même.

Conclusion générale :

Les deux « preuves » avancées décrivent ce que l'on observe très souvent dans un échantillon de

16

décès pris au hasard parmi tous les décès de France. Elles ne permettent pas de conclure que le traitement a été efficace.

3.Exercice 3

Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules bleues. On tire successivement et avec remise

n

boules.

1. Quelle est la probabilité

p

de tirer une boule rouge ?
2. On réalise une simulation de 200 tirages. La fréquence observée de boules rouges est 0,37. La loi des grands nombres permet-elle d'expliquer que cette fréquence ne soit pas exactement égale à

p

? Que peut-on dire pour un grand nombre de tirages ?
3. On souhaite que la fréquence observée de boules rouges soit dans l'intervalle

[p - 0, 05; p + 0, 05]

. Pour un échantillon de taille

n

, cela est "garanti" avec une confiance raisonnable lorsque

n

est grand. Expliquer ce que prédit la loi des grands nombres dans ce contexte.

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4. $Population et échantillon dans un contrôle de qualité$

Une entreprise fabrique des ampoules électriques. Elle en produit 50 000 par mois. Pour contrôler leur qualité, elle en prélève au hasard 300 chaque mois et teste leur durée de vie.

1. Quelle est la population étudiée ?
2. Quel est l'échantillon ? Quelle est sa taille

n

?
3. Pourquoi l'entreprise ne teste-t-elle pas les 50 000 ampoules produites ?

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5. $Fréquence de Pile dans une série de lancers$

On lance une pièce de monnaie équilibrée 40 fois de suite. On obtient 18 fois Pile et 22 fois Face.

1. Quelle est la taille de l'échantillon de lancers observé ?
2. Calculer la fréquence

f

de Pile observée dans cet échantillon.
3. Quelle est la probabilité théorique

p

d'obtenir Pile avec cette pièce ? Comparer

f

p

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6. $Identifier une population et un échantillon$

Pour chacune des situations suivantes, préciser la population étudiée, l'échantillon considéré et sa taille

n

Q1-a) Un lycée compte 900 élèves. Le conseil de vie lycéenne interroge 60 élèves tirés au sort sur leur moyen de transport.

Q2-b) Un fabricant de bonbons produit des sachets de 200 grammes. Il prélève 50 sachets par jour pour vérifier leur poids.

Q3-c) Une chaîne de télévision souhaite connaître l'audience d'une émission regardée par environ 2 millions de personnes ; elle interroge un panel de 1500 personnes.

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7. $Vrai ou faux sur l'échantillonnage$

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.

a) Plus la taille d'un échantillon augmente, plus la fréquence observée a tendance à se rapprocher de la probabilité théorique.
b) Si on lance un dé à 6 faces exactement 6 fois, on est certain d'obtenir chaque face une fois exactement.
c) Deux échantillons de taille 10, tirés au hasard dans la même population, donnent forcément exactement la même fréquence.

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8. $Simulation de lancers de dé et loi des grands nombres$

On lance un dé équilibré à 6 faces. On considère que l'on gagne si l'on obtient 1 ou 6.

1. Calculer la probabilité théorique

p

de gagner à un lancer.

2. On simule cette expérience pour différentes tailles d'échantillon

n

et on obtient le tableau suivant, incomplet :

n 101001000 nombre de victoires 430328 fr \overset{e}{ˊ} quence observ \overset{e}{ˊ} e

Recopier et compléter ce tableau en calculant la fréquence observée pour chaque ligne (arrondir au millième).

3. Que peut-on observer sur les fréquences obtenues lorsque

n

augmente ? Quel résultat du cours cela illustre-t-il ?

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9. $Fréquences observées sur plusieurs échantillons$

Une urne contient des boules rouges et des boules vertes, dans des proportions inconnues. On tire une boule, on note sa couleur, puis on la remet dans l'urne (tirage avec remise), et on répète l'expérience.

On réalise 5 échantillons de 20 tirages chacun, et on obtient les fréquences de boules rouges suivantes :

0, 40; 0, 35; 0, 45; 0, 30; 0, 50

.

1. Calculer la moyenne de ces 5 fréquences observées.
2. Cette moyenne donne-t-elle une meilleure estimation de la proportion de boules rouges dans l'urne qu'une seule des fréquences prises isolément ? Justifier.
3. Si l'on avait réalisé un seul échantillon de taille 100 (au lieu de 5 échantillons de taille 20), la fréquence observée serait-elle probablement plus proche ou plus éloignée de la proportion réelle ? Justifier à l'aide de la loi des grands nombres.

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10. $Fluctuation d'échantillonnage lors d'un sondage électoral$

Avant une élection, on suppose connue (pour les besoins de l'exercice) la proportion réelle d'électeurs favorables à un candidat : 38 % de l'ensemble des électeurs. Quatre instituts de sondage interrogent chacun, indépendamment, un échantillon de 800 électeurs tirés au hasard. Ils obtiennent les fréquences suivantes pour ce candidat : institut A : 36 % ; institut B : 39 % ; institut C : 40 % ; institut D : 37 %.

1. Pourquoi les quatre instituts n'obtiennent-ils pas tous exactement 38 %, alors qu'ils interrogent la même population ?
2. Calculer l'écart, en points de pourcentage, entre chaque fréquence observée et la proportion réelle de 38 %.
3. Si chaque institut avait interrogé seulement 50 personnes au lieu de 800, les écarts observés seraient-ils probablement plus petits ou plus grands ? Justifier.

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11. $Une pièce est-elle équilibrée$

On souhaite savoir si une pièce de monnaie est équilibrée, c'est-à-dire si la probabilité d'obtenir Pile vaut

0, 5

. On la lance 20 fois et on obtient 14 fois Pile.

1. Calculer la fréquence observée

f

de Pile.

2. L'écart entre

f

0, 5

signifie-t-il forcément que la pièce est truquée ? Expliquer en utilisant l'idée de fluctuation d'échantillonnage.

3. Que faudrait-il faire pour se prononcer avec plus de confiance sur l'équilibre de cette pièce ?

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12. $Interpréter un programme de simulation$

On exécute le programme Python suivant, qui simule

n

lancers d'un dé à 6 faces et compte le nombre de fois où l'on obtient un multiple de 3 (c'est-à-dire 3 ou 6) :

from random import randint

def simulation(n):
    s = 0
    for i in range(n):
        d = randint(1, 6)
        if d == 3 or d == 6:
            s = s + 1
    return s / n

On exécute `simulation(50)` et on obtient en sortie

0, 36

.

1. Que représente la valeur renvoyée par la fonction `simulation(n)` ?
2. Calculer la probabilité théorique

p

d'obtenir un multiple de 3 en lançant ce dé.

3. Comparer la valeur obtenue (

0, 36

) à la probabilité théorique

p

. À quoi devrait-on s'attendre si l'on exécutait `simulation(100000)` ?

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13. $Comparer deux échantillons de tailles différentes$

Une usine produit des pièces mécaniques. On sait que la proportion de pièces défectueuses dans toute la production est de 4 %. Un premier contrôle porte sur un échantillon de 25 pièces et relève 2 pièces défectueuses. Un second contrôle, plus tard, porte sur un échantillon de 2000 pièces et relève 76 pièces défectueuses.

1. Calculer la fréquence de pièces défectueuses dans chacun des deux échantillons.
2. Calculer l'écart, en valeur absolue et en points de pourcentage, entre chaque fréquence et la proportion théorique de 4 %.
3. Lequel des deux échantillons donne, d'après la loi des grands nombres, l'estimation la plus fiable de la proportion réelle de pièces défectueuses ? Justifier.

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14. $Un jeu de cartes et la loi des grands nombres$

Dans un jeu, on tire une carte au hasard parmi un jeu de 32 cartes, on la remet, puis on recommence. On gagne 5 euros si l'on tire un roi ou une dame, et rien sinon.

1. Combien y a-t-il de rois et de dames dans un jeu de 32 cartes ? En déduire la probabilité

p

de gagner à un tirage.

2. Un joueur effectue 400 tirages (avec remise de la carte à chaque fois) et gagne 94 fois. Calculer la fréquence de gain

f

observée sur cet échantillon.

3. Comparer

f

p

. Si le joueur effectuait

40000

tirages, à quoi devrait-on s'attendre pour la fréquence de gain, d'après la loi des grands nombres ?

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15. $Estimer un taux de satisfaction par sondage$

Une chaîne de restaurants souhaite estimer la proportion de clients satisfaits parmi l'ensemble de sa clientèle nationale (plusieurs centaines de milliers de clients par an), sans pouvoir tous les interroger. Elle interroge un échantillon de 600 clients tirés au hasard à la sortie de plusieurs restaurants, et obtient 522 réponses "satisfait".

1. Quelle est la population étudiée ? Quel est l'échantillon, et quelle est sa taille ?
2. Calculer la fréquence

f

de clients satisfaits dans cet échantillon.

3. Peut-on affirmer avec certitude qu'exactement 87 % de tous les clients de la chaîne sont satisfaits ? Que peut-on dire en revanche ?

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16. $Simulation d'un test médical dans une population$

Dans une population, on estime que 5 % des personnes sont porteuses d'une certaine maladie (proportion théorique

p = 0, 05

, supposée connue pour cet exercice). On simule le tirage au hasard d'échantillons de personnes dans cette population et on observe la fréquence de personnes malades obtenue.

Q1-a) On simule un échantillon de taille 40. On obtient 3 personnes malades. Calculer la fréquence observée.

Q2-b) On simule un échantillon de taille 2000. On obtient 96 personnes malades. Calculer la fréquence observée.

Q3-c) Comparer les deux fréquences à

p = 0, 05

et expliquer, à l'aide de la loi des grands nombres, pourquoi l'échantillon de taille 2000 est plus fiable pour estimer

p

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17. $Roue de loterie et fréquence observée$

Une roue de loterie circulaire est partagée en trois secteurs : un secteur rouge d'angle

90

degrés, un secteur bleu d'angle

120

degrés, et un secteur vert d'angle

150

degrés. On fait tourner la roue et on note la couleur désignée par la flèche.

1. Calculer la probabilité théorique d'obtenir chaque couleur.
2. On fait tourner la roue 300 fois et on obtient : rouge 68 fois, bleu 105 fois, vert 127 fois. Calculer les fréquences observées pour chaque couleur (arrondir au millième).
3. Ces résultats sont-ils cohérents avec les probabilités théoriques calculées en 1. ? Justifier en tenant compte de la fluctuation d'échantillonnage.

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18. $Fluctuation et estimation dans un sondage électoral$

Un candidat inconnu se présente à une élection. Un institut de sondage réalise plusieurs vagues de sondage, en interrogeant à chaque fois un nouvel échantillon d'électeurs, de taille croissante. Il obtient le tableau suivant, incomplet :

taille n 202002000 intentions de vote 544418 fr \overset{e}{ˊ} quence observ \overset{e}{ˊ} e

1. Recopier et compléter le tableau en calculant la fréquence observée pour chaque ligne (arrondir au millième).
2. Que peut-on observer sur ces fréquences lorsque la taille de l'échantillon augmente ?
3. Sachant que la proportion réelle

p

d'électeurs qui voteront pour ce candidat est une valeur fixe (mais inconnue avant l'élection), quelle est la meilleure estimation de

p

que l'on puisse proposer à partir de ces trois sondages ? Justifier à l'aide de la loi des grands nombres.

4. Pourquoi ne peut-on jamais être certain, avant l'élection, de la valeur exacte de

p

à partir d'un sondage, même avec un très grand échantillon ?

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19. $Somme de deux dés et loi des grands nombres$

Dans un jeu, un joueur lance deux dés équilibrés à 6 faces et gagne si la somme des deux dés vaut 7.

1. Dénombrer, parmi les 36 issues équiprobables du lancer des deux dés, celles pour lesquelles la somme vaut 7. En déduire la probabilité théorique

p

de gagner à un lancer.

2. On simule 900 lancers et on obtient 148 sommes égales à 7. Calculer la fréquence observée

f

(arrondir au millième).

3. Comparer

f

p

. L'écart observé est-il compatible avec la fluctuation d'échantillonnage attendue pour un échantillon de cette taille, ou semble-t-il anormalement élevé ?

4. On recommence la simulation avec

90000

lancers et on obtient une fréquence de

0, 166

. Que confirme ce résultat ?

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20. $Deux instituts, deux échantillons, une même population$

Deux instituts de sondage indépendants, A et B, souhaitent estimer chacun de leur côté la proportion

p

de foyers français équipés d'un certain type d'appareil. L'institut A interroge un échantillon de 150 foyers et obtient 96 foyers équipés. L'institut B interroge un échantillon de 1500 foyers et obtient 915 foyers équipés.

Q1-Calculer la fréquence observée par chaque institut.

Q2-Les deux instituts n'obtiennent pas la même fréquence. Cela signifie-t-il qu'un des deux instituts a commis une erreur ? Expliquer.

Q3-Si l'on ne devait retenir qu'une seule des deux estimations pour approcher au mieux la proportion réelle

p

, laquelle choisirait-on ? Justifier à l'aide de la loi des grands nombres.

Q4-Les deux instituts décident de regrouper leurs résultats en un seul grand échantillon. Calculer la fréquence obtenue sur cet échantillon regroupé, et comparer sa fiabilité à celle des deux échantillons pris séparément.

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21. $Bilan sur l'échantillonnage : de la simulation à l'estimation$

On étudie une population de très grande taille (plusieurs millions de personnes) dont on ignore la proportion exacte

p

de personnes gauchères. Pour l'estimer, on interroge des échantillons de personnes tirées au hasard dans cette population.

Partie A. Premiers échantillons

On interroge un premier échantillon de 25 personnes : on compte 2 gauchers. Puis un second échantillon, différent, de 25 personnes également : on compte 5 gauchers.

1. Calculer la fréquence de gauchers obtenue dans chacun de ces deux échantillons.
2. Ces deux échantillons sont tirés dans la même population mais donnent des fréquences différentes. Comment appelle-t-on ce phénomène ?

Partie B. Un échantillon plus grand

On interroge un troisième échantillon, de 4000 personnes cette fois, et on compte 424 gauchers.

3. Calculer la fréquence de gauchers dans cet échantillon.
4. Laquelle des trois fréquences obtenues donne, d'après la loi des grands nombres, l'estimation la plus fiable de la proportion réelle

p

de gauchers dans la population ? Justifier.

5. À partir de cette meilleure estimation, proposer une valeur approchée de

p

, puis expliquer en une phrase pourquoi il ne peut s'agir que d'une estimation et non de la valeur exacte de

p

Q1-1. Calculer la fréquence de gauchers obtenue dans chacun des deux premiers échantillons (2 gauchers sur 25, puis 5 gauchers sur 25).

Q2-2. Ces deux échantillons sont tirés dans la même population mais donnent des fréquences différentes. Comment appelle-t-on ce phénomène ?

Q3-3. On interroge un troisième échantillon de 4000 personnes et on compte 424 gauchers. Calculer la fréquence de gauchers dans cet échantillon.

Q4-4. Laquelle des trois fréquences obtenues donne, d'après la loi des grands nombres, l'estimation la plus fiable de la proportion réelle

p

Q5-5. Proposer une valeur approchée de

p

à partir de cette meilleure estimation, et expliquer pourquoi il ne peut s'agir que d'une estimation.

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22. $Population et échantillon dans un contrôle de vis industrielles$

Une usine fabrique des vis métalliques. Elle produit

80000

vis chaque semaine. Un technicien prélève au hasard

250

vis chaque semaine pour vérifier leur diamètre à l'aide d'un pied à coulisse.

1. Quelle est la population étudiée ?
2. Quel est l'échantillon prélevé ? Quelle est sa taille

n

?
3. Pourquoi le technicien ne mesure-t-il pas les

80000

vis produites dans la semaine ?

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23. $Fréquence de tickets gagnants dans un jeu de grattage$

Un buraliste vend des tickets à gratter. Un client en achète

60

, les gratte tous et obtient

9

tickets gagnants.

1. Quelle est la taille de l'échantillon de tickets grattés ?
2. Calculer la fréquence

f

de tickets gagnants dans cet échantillon.
3. Le fabricant du jeu annonce une probabilité théorique de gain de

p = \frac{1}{6}

à chaque ticket. Comparer

f

p

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24. $Identifier population, échantillon et taille dans trois situations$

Pour chacune des situations suivantes, préciser la population étudiée, l'échantillon considéré et sa taille

n

Q1-a) Une laiterie produit des yaourts par lots de 5 000 pots. Elle prélève 40 pots à la fin de chaque lot pour vérifier leur date de péremption.

Q2-b) Une commune de 3 000 habitants organise une collecte de sang. Lors d'une collecte-test, 120 habitants se présentent pour donner leur sang.

Q3-c) Une bibliothèque universitaire compte 12 000 usagers inscrits. Elle interroge 80 usagers à l'accueil sur leur satisfaction.

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25. $Vrai ou faux sur les fondamentaux de l'échantillonnage$

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.

Q1-a) Une fréquence observée sur un échantillon est toujours un nombre compris entre 0 et 1.

Q2-b) Si un échantillon est deux fois plus grand qu'un autre, l'estimation qu'il fournit est exactement deux fois plus précise.

Q3-c) La probabilité théorique d'un événement peut changer d'un échantillon à l'autre, selon les résultats obtenus.

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26. $Fréquence de pages défectueuses dans un cahier de brouillon$

Un imprimeur fabrique des cahiers de brouillon de

96

pages. Sur un cahier prélevé au hasard pour un contrôle, il repère

6

pages présentant un défaut d'encre.

1. Quelle est la taille de l'échantillon de pages examinées ?
2. Calculer la fréquence

f

de pages défectueuses dans ce cahier.
3. L'imprimeur estime que sa machine produit en théorie un taux de pages défectueuses de

p = 0, 05

. Comparer

f

p

, et expliquer l'écart observé.

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27. $Simulation de coffres de butin dans un jeu vidéo$

Dans un jeu vidéo, un coffre de butin contient un objet rare avec une probabilité théorique annoncée

p = 0, 1

. On simule l'ouverture de coffres pour différentes tailles d'échantillon

n

, et on obtient le tableau suivant, incomplet :

n 505005000 objets rares obtenus 354498 fr \overset{e}{ˊ} quence observ \overset{e}{ˊ} e

1. Recopier et compléter ce tableau en calculant la fréquence observée pour chaque ligne (arrondir au millième).
2. Que peut-on observer sur les fréquences obtenues lorsque

n

augmente ? Quel résultat du cours cela illustre-t-il ?

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28. $Fréquence observée et probabilité annoncée dans une prévision météo$

Un site météo annonce, pour un type de journée donné, une probabilité de pluie de

p = 0, 3

. Sur

20

journées de ce type observées dans l'année, il a plu

8

fois.

1. Quelle est la taille de l'échantillon de journées observées ?
2. Calculer la fréquence observée

f

de journées pluvieuses.
3. Peut-on dire que la prévision du site était fausse, sachant que

f

p

sont différentes ? Expliquer à l'aide de la fluctuation d'échantillonnage.

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29. $Comparer deux échantillons de graines de tournesol$

Un sachet de graines de tournesol indique un taux de germination théorique de

p = 0, 85

. Un jardinier réalise deux essais.

Premier essai : il plante

40

graines, et

32

germent.

Second essai : il plante

400

graines, et

341

germent.

1. Calculer la fréquence de germination observée dans chacun des deux essais.
2. Calculer l'écart, en valeur absolue, entre chaque fréquence et le taux théorique

p = 0, 85

.
3. D'après la loi des grands nombres, lequel des deux essais donne l'estimation la plus fiable du taux réel de germination ? Justifier.

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30. $Interpréter un programme Python simulant une machine à bonbons$

Une machine distribue des bonbons de plusieurs couleurs. Le programme Python suivant simule

n

distributions et compte le nombre de fois où le bonbon obtenu est rouge :

from random import randint

def simulation(n):
    s = 0
    for i in range(n):
        c = randint(1, 5)
        if c == 1:
            s = s + 1
    return s / n

On exécute `simulation(80)` et on obtient en sortie

0, 15

.

1. Que représente la valeur renvoyée par la fonction `simulation(n)` ?
2. Calculer la probabilité théorique

p

d'obtenir un bonbon rouge, si les

5

couleurs sont équiprobables.
3. Comparer la valeur obtenue (

0, 15

) à la probabilité théorique

p

. À quoi devrait-on s'attendre si l'on exécutait `simulation(80000)` ?

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31. $Fréquence des appels pour remboursement dans un centre d'appels$

Un centre d'appels estime que

20%

des appels reçus concernent une demande de remboursement (probabilité théorique

p = 0, 2

). Sur un échantillon de

150

appels traités un jour donné,

36

concernent une demande de remboursement.

1. Calculer la fréquence observée

f

d'appels pour remboursement ce jour-là.
2. Comparer

f

p

. Cet écart remet-il en cause l'estimation de

20%

?
3. Un mois plus tard, sur un échantillon de

15000

appels, la fréquence observée est de

0, 203

. Que confirme ce résultat ?

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32. $Lancers francs au basketball et fluctuation d'échantillonnage$

Un joueur de basketball réussit en moyenne

70%

de ses lancers francs en match (on prendra

p = 0, 7

comme référence). Lors d'un entraînement, il tente

50

lancers francs et en réussit

39

.

1. Calculer la fréquence de réussite

f

observée à l'entraînement.
2. Comparer

f

p = 0, 7

. Peut-on en conclure que le joueur est en meilleure forme que d'habitude ?
3. Si le joueur n'avait tenté que

10

lancers et en avait réussi

9

, la conclusion serait-elle plus ou moins fiable qu'avec

50

lancers ? Justifier.

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33. $Intervalle de fluctuation pour un forfait 5G inclus$

Un fabricant de smartphones annonce que

70%

de ses ventes se font avec un forfait 5G inclus (on prend

p_{0} = 0, 7

). Sur un échantillon de

n = 400

ventes enregistrées dans une boutique,

265

incluent un forfait 5G.

1. Calculer la fréquence observée

f

dans cet échantillon.
2. Calculer

\frac{1}{n}

, puis déterminer l'intervalle de fluctuation simple au seuil de

95%

autour de

p_{0}

.
3. La fréquence observée dans cette boutique est-elle compatible avec l'annonce du fabricant ? Conclure.

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34. $Intervalle de fluctuation pour des tickets de loterie gagnants$

Une loterie annonce qu'un ticket sur quatre est gagnant, soit une probabilité théorique

p_{0} = 0, 25

. Un buraliste a vendu un échantillon de

n = 1600

tickets, parmi lesquels

380

étaient gagnants.

1. Calculer la fréquence observée

f

de tickets gagnants chez ce buraliste.
2. Déterminer l'intervalle de fluctuation simple au seuil de

95%

autour de

p_{0}

.
3. Le résultat observé chez ce buraliste est-il compatible avec l'annonce de la loterie ?

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35. $Sondage avant lancement d'une application mobile$

Une entreprise vise un taux d'avis favorables de

60%

pour sa nouvelle application avant de la lancer largement (on prend

p_{0} = 0, 6

comme objectif). Elle teste l'application auprès d'un échantillon de

n = 900

utilisateurs, et

498

d'entre eux donnent un avis favorable.

1. Calculer la fréquence observée

f

d'avis favorables.
2. Déterminer l'intervalle de fluctuation simple au seuil de

95%

autour de l'objectif

p_{0}

.
3. Le résultat obtenu permet-il de considérer que l'objectif est atteint ? Conclure.

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36. $Contrôle d'une livraison de pièces électroniques$

Un fournisseur de composants électroniques livre des lots contenant deux qualités mélangées. Il annonce que

30%

des composants sont de la gamme haute performance (on prend

p_{0} = 0, 3

). À la réception d'une livraison, un contrôleur examine un échantillon de

n = 2500

composants et en trouve

795

de la gamme haute performance.

1. Calculer la fréquence observée

f

de composants de la gamme haute performance dans cet échantillon.
2. Déterminer l'intervalle de fluctuation simple au seuil de

95%

autour de

p_{0}

.
3. Le contrôleur doit-il accepter la livraison comme conforme à l'annonce du fournisseur, ou la signaler comme non conforme ? Justifier.

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37. $Effet de la taille de l'échantillon sur l'intervalle de fluctuation$

Un laboratoire étudie la proportion de patients répondant favorablement à un traitement. Avant l'essai, on suppose une proportion attendue

p_{0} = 0, 5

.

1. Calculer

\frac{1}{n}

et donner la largeur de l'intervalle de fluctuation simple (égale à

\frac{2}{n}

) pour un échantillon de taille

n = 100

.
2. Faire de même pour un échantillon de taille

n = 400

.
3. La taille de l'échantillon a été multipliée par

4

entre les deux cas. Par quel facteur la largeur de l'intervalle a-t-elle été divisée ?
4. D'après ce constat, par combien faudrait-il multiplier la taille de l'échantillon pour diviser la largeur de l'intervalle par

4

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38. $Le taux de matchs annoncé par une application de rencontre$

Une application de rencontre affirme dans sa publicité que

30%

de ses nouveaux utilisateurs obtiennent un match dans leur première semaine (on prend

p_{0} = 0, 3

). Une association de consommateurs suit un échantillon de

n = 900

nouveaux utilisateurs pendant une semaine :

224

d'entre eux obtiennent effectivement un match.

1. Calculer la fréquence observée

f

sur cet échantillon.
2. Déterminer l'intervalle de fluctuation simple au seuil de

95%

autour de

p_{0}

.
3. Le résultat observé est-il compatible avec l'affirmation publicitaire de l'application ? Conclure.

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39. $Taux d'ouverture d'emails marketing et objectif fixé$

Une entreprise se fixe un objectif de taux d'ouverture de ses emails marketing de

35%

(on prend

p_{0} = 0, 35

). Lors d'une campagne envoyée à un échantillon de

n = 2500

destinataires,

825

emails ont été ouverts.

1. Calculer la fréquence observée

f

d'emails ouverts.
2. Déterminer l'intervalle de fluctuation simple au seuil de

95%

autour de

p_{0}

.
3. Le résultat de cette campagne est-il compatible avec l'objectif fixé ? Conclure, en précisant la position de

f

dans l'intervalle.

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40. $Comparer deux hôpitaux testant un nouveau traitement$

Un traitement standard a un taux de guérison connu de

65%

(on prend

p_{0} = 0, 65

). Un nouveau traitement est testé dans deux hôpitaux. L'hôpital A le teste sur

n_{A} = 400

patients et obtient

284

guérisons. L'hôpital B le teste sur

n_{B} = 1600

patients et obtient

1104

guérisons.

1. Calculer la fréquence de guérison observée dans chaque hôpital.
2. Déterminer l'intervalle de fluctuation simple autour de

p_{0}

pour chaque hôpital, puis dire si chaque résultat est compatible avec le traitement standard.
3. Que peut-on conclure sur l'efficacité du nouveau traitement ? Quel hôpital fournit la conclusion la plus fiable ? Justifier.

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1.Partie 1 : Comparaison de taux

2.Partie 2 : Fréquence d’un caractère dans un échantillon

3.Exercice 3

4.Population et échantillon dans un contrôle de qualité

5.Fréquence de Pile dans une série de lancers

6.Identifier une population et un échantillon

7.Vrai ou faux sur l'échantillonnage

8.Simulation de lancers de dé et loi des grands nombres

9.Fréquences observées sur plusieurs échantillons

10.Fluctuation d'échantillonnage lors d'un sondage électoral

11.Une pièce est-elle équilibrée

12.Interpréter un programme de simulation

13.Comparer deux échantillons de tailles différentes

14.Un jeu de cartes et la loi des grands nombres

15.Estimer un taux de satisfaction par sondage

16.Simulation d'un test médical dans une population

17.Roue de loterie et fréquence observée

18.Fluctuation et estimation dans un sondage électoral

19.Somme de deux dés et loi des grands nombres

20.Deux instituts, deux échantillons, une même population

21.Bilan sur l'échantillonnage : de la simulation à l'estimation

22.Population et échantillon dans un contrôle de vis industrielles

23.Fréquence de tickets gagnants dans un jeu de grattage

24.Identifier population, échantillon et taille dans trois situations

25.Vrai ou faux sur les fondamentaux de l'échantillonnage

26.Fréquence de pages défectueuses dans un cahier de brouillon

27.Simulation de coffres de butin dans un jeu vidéo

28.Fréquence observée et probabilité annoncée dans une prévision météo

29.Comparer deux échantillons de graines de tournesol

30.Interpréter un programme Python simulant une machine à bonbons

31.Fréquence des appels pour remboursement dans un centre d'appels

32.Lancers francs au basketball et fluctuation d'échantillonnage

33.Intervalle de fluctuation pour un forfait 5G inclus

34.Intervalle de fluctuation pour des tickets de loterie gagnants

35.Sondage avant lancement d'une application mobile

36.Contrôle d'une livraison de pièces électroniques

37.Effet de la taille de l'échantillon sur l'intervalle de fluctuation

38.Le taux de matchs annoncé par une application de rencontre

39.Taux d'ouverture d'emails marketing et objectif fixé

40.Comparer deux hôpitaux testant un nouveau traitement

1. $Partie 1 : Comparaison de taux$

2. $Partie 2 : Fréquence d’un caractère dans un échantillon$

4. $Population et échantillon dans un contrôle de qualité$

5. $Fréquence de Pile dans une série de lancers$

6. $Identifier une population et un échantillon$

7. $Vrai ou faux sur l'échantillonnage$

8. $Simulation de lancers de dé et loi des grands nombres$

9. $Fréquences observées sur plusieurs échantillons$

10. $Fluctuation d'échantillonnage lors d'un sondage électoral$

11. $Une pièce est-elle équilibrée$

12. $Interpréter un programme de simulation$

13. $Comparer deux échantillons de tailles différentes$

14. $Un jeu de cartes et la loi des grands nombres$

15. $Estimer un taux de satisfaction par sondage$

16. $Simulation d'un test médical dans une population$

17. $Roue de loterie et fréquence observée$

18. $Fluctuation et estimation dans un sondage électoral$

19. $Somme de deux dés et loi des grands nombres$

20. $Deux instituts, deux échantillons, une même population$

21. $Bilan sur l'échantillonnage : de la simulation à l'estimation$

22. $Population et échantillon dans un contrôle de vis industrielles$

23. $Fréquence de tickets gagnants dans un jeu de grattage$

24. $Identifier population, échantillon et taille dans trois situations$

25. $Vrai ou faux sur les fondamentaux de l'échantillonnage$

26. $Fréquence de pages défectueuses dans un cahier de brouillon$

27. $Simulation de coffres de butin dans un jeu vidéo$

28. $Fréquence observée et probabilité annoncée dans une prévision météo$

29. $Comparer deux échantillons de graines de tournesol$

30. $Interpréter un programme Python simulant une machine à bonbons$

31. $Fréquence des appels pour remboursement dans un centre d'appels$

32. $Lancers francs au basketball et fluctuation d'échantillonnage$

33. $Intervalle de fluctuation pour un forfait 5G inclus$

34. $Intervalle de fluctuation pour des tickets de loterie gagnants$

35. $Sondage avant lancement d'une application mobile$

36. $Contrôle d'une livraison de pièces électroniques$

37. $Effet de la taille de l'échantillon sur l'intervalle de fluctuation$

38. $Le taux de matchs annoncé par une application de rencontre$

39. $Taux d'ouverture d'emails marketing et objectif fixé$

40. $Comparer deux hôpitaux testant un nouveau traitement$