Exercices de Échantillonnage, Seconde (page 2)

Une agence environnementale suit la proportion de poissons appartenant à une espèce invasive dans un lac. Les relevés des années précédentes donnent une proportion de référence $p_0=0,3$. Un premier prélèvement au printemps porte sur $n=400$ poissons, dont $132$ appartiennent à l'espèce invasive. Un second prélèvement en été porte sur $n=1600$ poissons, dont $496$ appartiennent à cette espèce.

1. Calculer la fréquence observée de l'espèce invasive à chaque saison.
2. Déterminer l'intervalle de fluctuation simple au seuil de $95\%$ autour de $p_0$ pour chaque prélèvement, et dire si chaque résultat est compatible avec la proportion de référence.
3. Si un troisième prélèvement portait sur $n=6400$ poissons (soit $4$ fois plus que le prélèvement d'été), quelle serait la largeur de l'intervalle de fluctuation associé, comparée à celle du prélèvement d'été ?

Une chaîne de production est réglée pour orienter $30\%$ des articles vers une finition premium (on prend $p_0=0,3$ comme cible). Trois contrôles successifs sont réalisés au cours de l'année.

Contrôle 1 : échantillon de $n=400$ articles, dont $124$ orientés vers la finition premium.

Contrôle 2 : échantillon de $n=900$ articles, dont $315$ orientés vers la finition premium.

Contrôle 3, après un réglage de la chaîne : échantillon de $n=1600$ articles, dont $480$ orientés vers la finition premium.

1. Pour chaque contrôle, calculer la fréquence observée et l'intervalle de fluctuation simple autour de $p_0$.
2. Dire, pour chaque contrôle, si le résultat est compatible avec la cible de $30\%$.
3. Que peut-on en conclure sur l'évolution de la chaîne de production au cours de l'année ?

Une application affirme que $75\%$ de ses utilisateurs lui donnent un avis positif (on prend $p_0=0,75$). On étudie cette affirmation à l'aide de trois échantillons de taille croissante.$$\begin{array}{ccc}n& \text{avis positifs}& \text{freˊquence observeˊe}\\ 40& 27& \\ 400& 292& \\ 2500& 1875& \end{array}$$1. Recopier et compléter ce tableau en calculant la fréquence observée pour chaque ligne (arrondir au millième si besoin).
2. Que peut-on observer sur ces fréquences lorsque $n$ augmente ? Quel résultat du cours cela illustre-t-il ?
3. En utilisant le plus grand échantillon ($n=2500$), déterminer l'intervalle de fluctuation simple au seuil de $95\%$ autour de $p_0$, et vérifier que le résultat observé est compatible avec l'affirmation de l'application.
4. Ce résultat permet-il d'affirmer avec certitude que $p_0=0,75$ est la valeur exacte de la proportion d'utilisateurs satisfaits ? Expliquer.

Un institut de sondage souhaite que la demi-largeur de son intervalle de fluctuation, c'est-à-dire $\frac{1}{\sqrt{n}}$, soit au plus égale à $0,01$.

1. Écrire l'inéquation que doit vérifier $n$ pour que $\frac{1}{\sqrt{n}}\le 0,01$, puis la résoudre pour en déduire la taille minimale d'échantillon nécessaire.
2. L'institut souhaite ensuite diviser cette précision par deux, c'est-à-dire obtenir $\frac{1}{\sqrt{n}}\le 0,005$. Déterminer la nouvelle taille minimale d'échantillon nécessaire.
3. Par quel facteur la taille de l'échantillon a-t-elle dû être multipliée pour diviser la demi-largeur de l'intervalle par $2$ ? Ce résultat est-il cohérent avec le cours ?

Une usine fabrique des piles électriques. Elle produit $60000$ piles chaque jour. Un technicien prélève au hasard $200$ piles chaque jour pour tester leur durée de vie.

1. Quelle est la population étudiée ?
2. Quel est l'échantillon prélevé ? Quelle est sa taille $n$ ?
3. Pourquoi le technicien ne teste-t-il pas les $60000$ piles produites dans la journée ?

Pour chacune des situations suivantes, préciser la population étudiée, l'échantillon considéré et sa taille $n$.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.

Un site internet propose un quiz de culture générale. Sur $30$ tentatives réalisées par différents utilisateurs, $21$ se terminent par un score supérieur à la moyenne.

1. Quelle est la taille de l'échantillon de tentatives observées ?
2. Calculer la fréquence $f$ de tentatives réussies (score supérieur à la moyenne).
3. Le site affiche une probabilité théorique de réussite de $p=0,6$. Comparer $f$ et $p$.

Un garde forestier inspecte une parcelle de forêt comptant plusieurs milliers d'arbres. Il examine $45$ arbres pris au hasard et en trouve $3$ atteints par un champignon parasite.

1. Quelle est la taille de l'échantillon d'arbres examinés ?
2. Calculer la fréquence $f$ d'arbres malades dans cet échantillon (arrondir au millième).
3. Le garde forestier estime que le taux théorique d'arbres malades dans la parcelle est $p=0,05$. Comparer $f$ et $p$, et expliquer l'écart observé.

Une cible de fléchettes est divisée en $5$ zones de même aire. On lance une fléchette et on considère que l'on marque un point bonus si elle touche la zone centrale. On suppose que la fléchette atteint toujours la cible, en un point pris au hasard.

1. Calculer la probabilité théorique $p$ de toucher la zone centrale à un lancer.

2. On simule des séries de lancers pour différentes tailles d'échantillon $n$, et on obtient le tableau suivant, incomplet :$$\begin{array}{ccc}n& \text{zone centrale toucheˊe}& \text{freˊquence observeˊe}\\ 60& 9& \\ 600& 138& \\ 6000& 1194& \end{array}$$Recopier et compléter ce tableau en calculant la fréquence observée pour chaque ligne.

3. Que peut-on observer sur les fréquences obtenues lorsque $n$ augmente ? Quel résultat du cours cela illustre-t-il ?

Une plateforme de livraison de repas annonce que $80\%$ de ses livraisons se font en moins de $30$ minutes (probabilité théorique $p=0,8$). Sur un échantillon de $40$ livraisons observées un soir donné, $29$ respectent ce délai.

1. Quelle est la taille de l'échantillon de livraisons observées ?
2. Calculer la fréquence observée $f$ de livraisons respectant le délai.
3. Cet écart entre $f$ et $p$ signifie-t-il que la plateforme ne tient pas sa promesse ? Expliquer à l'aide de la fluctuation d'échantillonnage.

Un viticulteur estime que $10\%$ de ses grappes de raisin sont atteintes par le mildiou (probabilité théorique $p=0,1$). Il réalise deux prélèvements.

Premier prélèvement : il examine $30$ grappes, dont $5$ sont atteintes.

Second prélèvement : il examine $300$ grappes, dont $28$ sont atteintes.

1. Calculer la fréquence de grappes atteintes observée dans chacun des deux prélèvements (arrondir au millième).
2. Calculer l'écart, en valeur absolue, entre chaque fréquence et le taux théorique $p=0,1$.
3. D'après la loi des grands nombres, lequel des deux prélèvements donne l'estimation la plus fiable du taux réel de grappes atteintes ? Justifier.

Une application mobile envoie des notifications push à ses utilisateurs. Le programme Python suivant simule $n$ notifications envoyées et compte le nombre de fois où l'utilisateur clique dessus :

from random import randint

def simulation(n):
    s = 0
    for i in range(n):
        c = randint(1, 20)
        if c <= 3:
            s = s + 1
    return s / n

On exécute `simulation(60)` et on obtient en sortie $0,10$.

1. Que représente la valeur renvoyée par la fonction `simulation(n)` ?
2. Calculer la probabilité théorique $p$ qu'une notification soit suivie d'un clic.
3. Comparer la valeur obtenue ($0,10$) à la probabilité théorique $p$. À quoi devrait-on s'attendre si l'on exécutait `simulation(60000)` ?

Une joueuse de tennis réussit en moyenne $55\%$ de ses premiers services (on prend $p=0,55$ comme référence). Lors d'un entraînement, elle tente $20$ premiers services et en réussit $15$.

1. Calculer la fréquence de réussite $f$ observée à l'entraînement.
2. Comparer $f$ à $p=0,55$. Peut-on en conclure que la joueuse est en meilleure forme que d'habitude ?
3. Si la joueuse n'avait tenté que $5$ services et en avait réussi $4$, la conclusion serait-elle plus ou moins fiable qu'avec $20$ services ? Justifier.

Un musée annonce que $40\%$ de ses visiteurs ont moins de $25$ ans (probabilité théorique $p=0,4$). Un jour donné, sur un échantillon de $50$ visiteurs, $18$ ont moins de $25$ ans.

1. Calculer la fréquence observée $f$ ce jour-là.
2. Comparer $f$ à $p$.
3. Sur l'ensemble de l'année, un échantillon de $5000$ visiteurs est étudié et on obtient une fréquence de $0,403$. Que confirme ce résultat ?

On rappelle que l'intervalle de fluctuation simple au seuil de $95\%$, $\left[p-\frac{1}{\sqrt{n}};p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$, n'est valable que si $0,2\le p\le 0,8$ et $n\ge 25$.

Pour chacune des situations suivantes, avec $p=0,6$, dire si la formule est applicable, en justifiant.

a) $n=16$.

b) $n=25$.

c) $n=64$.

Pour chaque cas où la formule est applicable, déterminer l'intervalle de fluctuation correspondant.

Un magazine annonce un taux de renouvellement d'abonnement de $60\%$ (on prend $p_0=0,6$). Sur un échantillon de $n=225$ abonnés arrivant à échéance, $126$ renouvellent leur abonnement.

1. Calculer la fréquence observée $f$ dans cet échantillon.
2. Vérifier que les conditions d'application de l'intervalle de fluctuation simple sont réunies, puis déterminer cet intervalle au seuil de $95\%$ autour de $p_0$.
3. Le résultat observé est-il compatible avec l'annonce du magazine ? Conclure.

Une entreprise annonce qu'elle trie correctement $75\%$ de ses déchets (on prend $p_0=0,75$). Un audit examine un échantillon de $n=400$ déchets jetés, parmi lesquels $282$ sont correctement triés.

1. Calculer la fréquence observée $f$ dans cet échantillon.
2. Vérifier que les conditions d'application de l'intervalle de fluctuation simple sont réunies, puis déterminer cet intervalle au seuil de $95\%$ autour de $p_0$.
3. Le résultat de l'audit est-il compatible avec l'annonce de l'entreprise ? Conclure.

Le taux national de réussite à l'examen du permis de conduire est de $45\%$ (on prend $p_0=0,45$). Dans un centre d'examen particulier, sur un échantillon de $n=576$ candidats présentés dans l'année, $290$ obtiennent leur permis.

1. Calculer la fréquence observée $f$ dans ce centre (arrondir au millième).
2. Vérifier que les conditions d'application de l'intervalle de fluctuation simple sont réunies, puis déterminer cet intervalle au seuil de $95\%$ autour de $p_0$ (arrondir les bornes au millième).
3. Le résultat de ce centre est-il compatible avec le taux national ? Conclure.

Un restaurant estime que $30\%$ de ses clients commandent un dessert (on prend $p_0=0,3$). Sur un échantillon de $n=900$ additions enregistrées sur un mois, $298$ comportent un dessert.

1. Calculer la fréquence observée $f$ (arrondir au millième).
2. Vérifier que les conditions d'application de l'intervalle de fluctuation simple sont réunies, puis déterminer cet intervalle au seuil de $95\%$ autour de $p_0$ (arrondir au millième).
3. Le résultat observé est-il compatible avec l'estimation du restaurant ? Conclure.

Une agence de sondage étudie les préférences des internautes pour une nouvelle interface, avec une proportion de référence $p_0=0,5$.

1. Vérifier que $n=25$ vérifie la condition d'usage $n\ge 25$ de l'intervalle de fluctuation simple, puis calculer $\frac{1}{\sqrt{n}}$ et la largeur de l'intervalle de fluctuation simple (égale à $\frac{2}{\sqrt{n}}$) pour cet échantillon.
2. Faire de même pour un échantillon de taille $n=225$.
3. La taille de l'échantillon a été multipliée par $9$ entre les deux cas. Par quel facteur la largeur de l'intervalle a-t-elle été divisée ?
4. Par quel facteur faudrait-il multiplier la taille de l'échantillon pour diviser la largeur de l'intervalle par $5$ par rapport au cas $n=25$ ?

Une plateforme de vote citoyen en ligne souhaite que la demi-largeur de son intervalle de fluctuation, c'est-à-dire $\frac{1}{\sqrt{n}}$, soit au plus égale à $0,04$.

1. Écrire l'inéquation que doit vérifier $n$ pour que $\frac{1}{\sqrt{n}}\le 0,04$, puis la résoudre pour en déduire la taille minimale d'échantillon nécessaire.
2. Vérifier que cette taille minimale respecte bien la condition d'usage $n\ge 25$ de l'intervalle de fluctuation simple.
3. La plateforme souhaite ensuite diviser cette précision par $8$, c'est-à-dire obtenir $\frac{1}{\sqrt{n}}\le 0,005$. Déterminer la nouvelle taille minimale d'échantillon nécessaire.
4. Par quel facteur la taille de l'échantillon a-t-elle dû être multipliée pour diviser la demi-largeur de l'intervalle par $8$ ? Ce résultat est-il cohérent avec le cours ?

Le taux national de signature d'un compromis de vente après une visite est de $35\%$ (on prend $p_0=0,35$). Deux agences immobilières testent leur méthode de suivi client. L'agence A réalise $n_A=100$ visites et obtient $42$ signatures. L'agence B réalise $n_B=900$ visites et obtient $336$ signatures.

1. Calculer la fréquence de signature observée dans chaque agence.
2. Déterminer l'intervalle de fluctuation simple autour de $p_0$ pour chaque agence, puis dire si chaque résultat est compatible avec le taux national.
3. Les deux agences affirment être plus performantes que la moyenne nationale. Cette affirmation est-elle confirmée par les calculs ? Quelle agence fournit la conclusion la plus fiable ? Justifier.

Un site internet a un taux d'inscription actuel à sa newsletter de $25\%$ (on prend $p_0=0,25$). Il teste un nouveau bouton d'inscription plus visible sur un échantillon de $n=400$ visiteurs, et observe $110$ inscriptions.

1. Calculer la fréquence d'inscription $f_1$ observée avec ce premier test.
2. Déterminer l'intervalle de fluctuation simple au seuil de $95\%$ autour de $p_0$, et dire si ce résultat permet d'affirmer que le nouveau bouton améliore significativement le taux d'inscription.
3. Un mois plus tard, sur un nouvel échantillon de $400$ visiteurs testant toujours le nouveau bouton, on observe $135$ inscriptions. Calculer la nouvelle fréquence $f_2$, et dire si ce second résultat permet, lui, de conclure à une amélioration significative.

Une plateforme e-commerce vise un taux de livraison en $2$ jours ou moins de $70\%$ (on prend $p_0=0,7$ comme cible). Trois contrôles sont réalisés au cours de l'année.

Contrôle 1 : échantillon de $n=100$ commandes, dont $68$ livrées dans les délais.

Contrôle 2, pendant une période de forte affluence : échantillon de $n=400$ commandes, dont $252$ livrées dans les délais.

Contrôle 3, après le recrutement de personnel supplémentaire : échantillon de $n=1600$ commandes, dont $1136$ livrées dans les délais.

1. Pour chaque contrôle, calculer la fréquence observée et l'intervalle de fluctuation simple autour de $p_0$.
2. Dire, pour chaque contrôle, si le résultat est compatible avec la cible de $70\%$.
3. Que peut-on conclure sur l'évolution de la qualité de service au cours de l'année ?

Un service de vélos en libre-service annonce que $65\%$ des vélos empruntés sont correctement reposés dans une station à la fin de la location (on prend $p_0=0,65$). On étudie cette affirmation à l'aide de trois échantillons de taille croissante.$$\begin{array}{ccc}n& \text{veˊlos bien reposeˊs}& \text{freˊquence observeˊe}\\ 20& 11& \\ 200& 126& \\ 2500& 1620& \end{array}$$1. Recopier et compléter ce tableau en calculant la fréquence observée pour chaque ligne (arrondir au millième si besoin).
2. Que peut-on observer sur ces fréquences lorsque $n$ augmente ? Quel résultat du cours cela illustre-t-il ?
3. En utilisant le plus grand échantillon ($n=2500$), vérifier que les conditions d'application de l'intervalle de fluctuation simple sont réunies, puis déterminer cet intervalle au seuil de $95\%$ autour de $p_0$, et vérifier que le résultat observé est compatible avec l'annonce du service.
4. Ce résultat permet-il d'affirmer avec certitude que $p_0=0,65$ est la valeur exacte de la proportion de vélos bien reposés ? Expliquer.

Une application de consultation citoyenne souhaite que la demi-largeur de son intervalle de fluctuation, $\frac{1}{\sqrt{n}}$, soit au plus égale à $0,03$.

1. Écrire l'inéquation que doit vérifier $n$ pour que $\frac{1}{\sqrt{n}}\le 0,03$, puis calculer la valeur exacte de ${\left(\frac{1}{0,03}\right)}^2$ (arrondir au centième).
2. En déduire la plus petite valeur entière de $n$ qui convient, en justifiant pourquoi la valeur entière immédiatement inférieure ne convient pas.
3. Vérifier que la taille minimale trouvée respecte bien la condition d'usage $n\ge 25$ de l'intervalle de fluctuation simple.

Une compagnie de bus longue distance annonce un taux de satisfaction client de $75\%$ (on prend $p_0=0,75$).

Partie A.

Un premier sondage, réalisé sur un petit échantillon de $36$ passagers interrogés à une gare, donne $30$ avis satisfaits.

1. Quelle est la population étudiée ? Quel est l'échantillon, et quelle est sa taille $n$ ? Calculer la fréquence $f_1$ de passagers satisfaits dans ce premier échantillon.

Partie B.

Un second sondage, plus large, est mené sur un échantillon de $n=900$ passagers sur l'ensemble du réseau, et donne $693$ avis satisfaits.

2. Calculer la fréquence $f_2$ de passagers satisfaits dans ce second échantillon.
3. Vérifier que les conditions d'application de l'intervalle de fluctuation simple sont réunies pour ce second échantillon, puis déterminer cet intervalle au seuil de $95\%$ autour de $p_0$. Le résultat est-il compatible avec l'annonce de la compagnie ?
4. Expliquer pourquoi $f_1$, obtenue sur seulement $36$ passagers, fluctue davantage autour de $p_0$ que $f_2$.

Partie C.

5. La compagnie souhaite mener un nouveau sondage tel que la demi-largeur de l'intervalle de fluctuation soit au plus égale à $0,02$. Déterminer la taille minimale d'échantillon nécessaire.
6. Même avec un échantillon de cette taille, peut-on connaître avec certitude la proportion exacte de passagers satisfaits sur l'ensemble du réseau ? Expliquer.

Une entreprise fabrique des écouteurs sans fil. Elle en produit $36000$ par semaine. Pour vérifier la qualité du son, elle en prélève au hasard $150$ chaque semaine et les teste.

1. Quelle est la population étudiée ?
2. Quel est l'échantillon prélevé ? Quelle est sa taille $n$ ?
3. Pourquoi l'entreprise ne teste-t-elle pas les $36000$ écouteurs produits dans la semaine ?

Une banque possède un grand nombre de distributeurs automatiques de billets. Un technicien contrôle un échantillon de $50$ distributeurs choisis au hasard et en trouve $3$ en panne.

1. Quelle est la taille de l'échantillon contrôlé ?
2. Calculer la fréquence $f$ de distributeurs en panne dans cet échantillon.
3. La banque estime que la probabilité théorique qu'un distributeur soit en panne à un instant donné est $p=0,04$. Comparer $f$ et $p$.

Pour chacune des situations suivantes, préciser la population étudiée, l'échantillon considéré et sa taille $n$.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.

Une plateforme de streaming vidéo annonce qu'une vidéo recommandée sur quatre est regardée jusqu'au bout par l'utilisateur.

1. Calculer la probabilité théorique $p$ correspondante.

2. On simule cette situation pour différentes tailles d'échantillon $n$ et on obtient le tableau suivant, incomplet :$$\begin{array}{ccc}n& \text{videˊos regardeˊes jusqu’au bout}& \text{freˊquence observeˊe}\\ 40& 8& \\ 400& 110& \\ 4000& 1008& \end{array}$$Recopier et compléter ce tableau en calculant la fréquence observée pour chaque ligne (arrondir au millième).

3. Que peut-on observer sur les fréquences obtenues lorsque $n$ augmente ? Quel résultat du cours cela illustre-t-il ?

Un fabricant de confitures artisanales estime que $6\%$ de ses pots sont mal fermés (probabilité théorique $p=0,06$). Il réalise deux contrôles.

Premier contrôle : il examine $30$ pots, dont $4$ sont mal fermés.

Second contrôle : il examine $3000$ pots, dont $172$ sont mal fermés.

1. Calculer la fréquence de pots mal fermés observée dans chacun des deux contrôles (arrondir au millième).
2. Calculer l'écart, en valeur absolue, entre chaque fréquence et le taux théorique $p=0,06$.

3. D'après la loi des grands nombres, lequel des deux contrôles donne l'estimation la plus fiable du taux réel de pots mal fermés ? Justifier.

Une roue numérique tourne aléatoirement parmi $8$ secteurs numérotés de $1$ à $8$, tous équiprobables. On considère que l'on gagne si le secteur obtenu est pair. Le programme Python suivant simule $n$ tirages de la roue et compte le nombre de fois où l'on gagne :

from random import randint

def simulation(n):
    s = 0
    for i in range(n):
        r = randint(1, 8)
        if r % 2 == 0:
            s = s + 1
    return s / n

On exécute `simulation(50)` et on obtient en sortie $0,42$.

1. Que représente la valeur renvoyée par la fonction `simulation(n)` ?
2. Calculer la probabilité théorique $p$ de gagner à un tirage.

3. Comparer la valeur obtenue ($0,42$) à la probabilité théorique $p$. À quoi devrait-on s'attendre si l'on exécutait `simulation(50000)` ?

Une chaîne de production fabrique des clés USB. Le fabricant annonce un taux de conformité de capacité de $p=0,9$. Sur un échantillon de $25$ clés testées, $21$ sont conformes.

1. Quelle est la taille de l'échantillon testé ?
2. Calculer la fréquence observée $f$ de clés conformes.

3. Comparer $f$ à $p$ et expliquer l'écart observé à l'aide de la fluctuation d'échantillonnage.

Un fabricant de filtres à café estime que $92\%$ de ses filtres ne présentent aucune fuite (taux théorique $p=0,92$). Il réalise deux essais.

Premier essai : il teste $25$ filtres, dont $21$ ne fuient pas.

Second essai : il teste $250$ filtres, dont $233$ ne fuient pas.

1. Calculer la fréquence de filtres sans fuite observée dans chacun des deux essais.
2. Calculer l'écart, en valeur absolue, entre chaque fréquence et le taux théorique $p=0,92$.

3. D'après la loi des grands nombres, lequel des deux essais donne l'estimation la plus fiable du taux réel de filtres sans fuite ? Justifier.

Une chaîne de boulangeries industrielles estime que $40\%$ de sa production quotidienne de brioches est vendue en promotion en fin de journée (on prend $p_0=0,4$). Sur un échantillon de $n=225$ brioches suivies, $79$ sont vendues en promotion.

1. Calculer la fréquence observée $f$ dans cet échantillon (arrondir au millième).

2. Déterminer l'intervalle de fluctuation simple au seuil de $95\%$ autour de $p_0$.

3. Le résultat observé est-il compatible avec l'estimation de la chaîne de boulangeries ? Conclure.

Une plateforme d'e-learning annonce que $45\%$ de ses inscrits terminent entièrement un cours en ligne (on prend $p_0=0,45$). Sur un échantillon de $n=900$ inscrits suivis, $369$ terminent le cours.

1. Calculer la fréquence observée $f$ dans cet échantillon.

2. Déterminer l'intervalle de fluctuation simple au seuil de $95\%$ autour de $p_0$.

3. Le résultat observé est-il compatible avec l'annonce de la plateforme ? Conclure.