Exercices de Échantillonnage, Seconde (page 3)

Une entreprise étudie la satisfaction de ses employés avec une proportion de référence $p_0=0,5$.

1. Vérifier que $n=49$ vérifie la condition minimale imposée par le cours, puis calculer $\frac{1}{\sqrt{n}}$ et la largeur de l'intervalle de fluctuation simple (égale à $\frac{2}{\sqrt{n}}$) pour cet échantillon.

2. Faire de même pour un échantillon de taille $n=441$.

3. La taille de l'échantillon a été multipliée par $9$ entre les deux cas. Par quel facteur la largeur de l'intervalle a-t-elle été divisée ?

4. Par quel facteur faudrait-il multiplier la taille de l'échantillon $n=49$ pour diviser la largeur de l'intervalle par $5$ ?

Une application de covoiturage souhaite que la demi-largeur de son intervalle de fluctuation, c'est-à-dire $\frac{1}{\sqrt{n}}$, soit au plus égale à $0,025$.

1. Écrire l'inéquation que doit vérifier $n$ pour que $\frac{1}{\sqrt{n}}\le 0,025$, puis la résoudre pour en déduire la taille minimale d'échantillon nécessaire.

2. Vérifier que cette taille minimale respecte bien la condition $n\ge 25$ imposée par le cours.

3. L'application souhaite ensuite diviser cette précision par $2$, c'est-à-dire obtenir $\frac{1}{\sqrt{n}}\le 0,0125$. Déterminer la nouvelle taille minimale d'échantillon nécessaire.

4. Par quel facteur la taille de l'échantillon a-t-elle dû être multipliée pour diviser la demi-largeur de l'intervalle par $2$ ? Ce résultat est-il cohérent avec le cours ?

Un service de streaming affirme que $55\%$ de ses abonnés suivent au moins une recommandation personnalisée chaque semaine (on prend $p_0=0,55$). Sur un échantillon de $n=324$ abonnés suivis, $157$ suivent effectivement une recommandation.

1. Calculer la fréquence observée $f$ dans cet échantillon (arrondir au millième).

2. Vérifier que les conditions d'application de l'intervalle de fluctuation simple sont réunies, puis déterminer cet intervalle au seuil de $95\%$ autour de $p_0$.

3. Le résultat observé est-il compatible avec l'affirmation du service de streaming ? Conclure.

Un opérateur de remontées mécaniques estime que $45\%$ des skieurs empruntant le téléski utilisent ensuite la piste bleue (on prend $p_0=0,45$). Un premier comptage, réalisé par un moniteur, porte sur un échantillon de $n=36$ skieurs, dont $18$ empruntent la piste bleue. Un second comptage, officiel, porte sur un échantillon de $n=900$ skieurs, dont $450$ empruntent également la piste bleue.

1. Calculer la fréquence observée $f_1$ du premier comptage et $f_2$ du second comptage.

2. Déterminer l'intervalle de fluctuation simple autour de $p_0$ pour chaque comptage (en vérifiant les conditions d'application), puis dire si chaque résultat est compatible avec l'estimation de $45\%$.

3. Les deux comptages donnent exactement la même fréquence. Expliquer pourquoi ils ne mènent pourtant pas à la même conclusion.

Le taux national de conversion d'un essai gratuit en abonnement pour les salles de sport est de $30\%$ (on prend $p_0=0,3$). Deux salles testent une nouvelle offre de bienvenue. La salle A propose l'offre à $n_A=225$ personnes en essai et obtient $81$ conversions. La salle B la propose à $n_B=900$ personnes en essai et obtient $297$ conversions.

1. Calculer la fréquence de conversion observée dans chaque salle.
2. Déterminer l'intervalle de fluctuation simple autour de $p_0$ pour chaque salle, puis dire si chaque résultat est compatible avec le taux national.

3. Les deux salles affirment que leur nouvelle offre est plus efficace que la moyenne nationale. Cette affirmation est-elle confirmée par les calculs ? Quelle salle fournit la conclusion la plus fiable ? Justifier.

Un jeu mobile a un taux de clic actuel sur ses publicités interstitielles de $20\%$ (on prend $p_0=0,2$). Le studio teste une nouvelle publicité plus courte sur un échantillon de $n=400$ affichages, et observe $88$ clics.

1. Calculer la fréquence de clic $f_1$ observée avec ce premier test.

2. Déterminer l'intervalle de fluctuation simple au seuil de $95\%$ autour de $p_0$, et dire si ce résultat permet d'affirmer que la nouvelle publicité améliore significativement le taux de clic.

3. Un mois plus tard, sur un nouvel échantillon de $400$ affichages testant toujours la nouvelle publicité, on observe $108$ clics. Calculer la nouvelle fréquence $f_2$, et dire si ce second résultat permet, lui, de conclure à une amélioration significative.

Une entreprise de nettoyage industriel vise un taux de salles jugées conformes à la norme d'hygiène de $60\%$ (on prend $p_0=0,6$ comme cible). Trois contrôles successifs sont réalisés au cours de l'année.

Contrôle 1 : échantillon de $n=225$ salles, dont $138$ jugées conformes.

Contrôle 2, pendant une période de sous-effectif : échantillon de $n=400$ salles, dont $205$ jugées conformes.

Contrôle 3, après le renfort de l'équipe : échantillon de $n=900$ salles, dont $549$ jugées conformes.

1. Pour chaque contrôle, calculer la fréquence observée et l'intervalle de fluctuation simple autour de $p_0$.

2. Dire, pour chaque contrôle, si le résultat est compatible avec la cible de $60\%$.

3. Que peut-on en conclure sur l'évolution de la qualité du nettoyage au cours de l'année ?

Un réseau social annonce que $40\%$ de ses utilisateurs actifs interagissent avec une story publiée par une marque partenaire (on prend $p_0=0,4$). On étudie cette affirmation à l'aide de trois échantillons de taille croissante.$$\begin{array}{ccc}n& \text{interactions}& \text{freˊquence observeˊe}\\ 25& 12& \\ 225& 98& \\ 2025& 805& \end{array}$$1. Recopier et compléter ce tableau en calculant la fréquence observée pour chaque ligne (arrondir au millième).
2. Que peut-on observer sur ces fréquences lorsque $n$ augmente ? Quel résultat du cours cela illustre-t-il ?

3. En utilisant le plus grand échantillon ($n=2025$), vérifier que les conditions d'application de l'intervalle de fluctuation simple sont réunies, puis déterminer cet intervalle au seuil de $95\%$ autour de $p_0$, et vérifier que le résultat observé est compatible avec l'annonce du réseau social.

4. Ce résultat permet-il d'affirmer avec certitude que $p_0=0,4$ est la valeur exacte de la proportion d'utilisateurs qui interagissent avec ces stories ? Expliquer.

Une plateforme de vote en direct pour un tournoi e-sport souhaite que la demi-largeur de son intervalle de fluctuation, c'est-à-dire $\frac{1}{\sqrt{n}}$, soit au plus égale à $0,06$.

1. Écrire l'inéquation que doit vérifier $n$, puis calculer la valeur exacte de ${\left(\frac{1}{0,06}\right)}^2$ (arrondir au centième).

2. En déduire la plus petite valeur entière de $n$ qui convient, en justifiant pourquoi la valeur entière immédiatement inférieure ne convient pas.

3. Vérifier que la taille minimale trouvée respecte bien la condition $n\ge 25$ imposée par le cours.

Une chaîne de cinémas affirme un taux de satisfaction de la qualité sonore de ses salles de $80\%$ (on prend $p_0=0,8$).

Partie A.

Un premier sondage, réalisé à la sortie d'une séance, porte sur un échantillon de $36$ spectateurs, dont $32$ satisfaits.

1. Quelle est la population étudiée ? Quel est l'échantillon, et quelle est sa taille $n$ ?

2. Calculer la fréquence $f_1$ de spectateurs satisfaits dans ce premier échantillon.

Partie B.

Un second sondage, plus large, est mené sur un échantillon de $n=900$ spectateurs sur l'ensemble des salles du réseau, et donne $707$ avis satisfaits.

3. Calculer la fréquence $f_2$ de spectateurs satisfaits dans ce second échantillon.

4. Vérifier que les conditions d'application de l'intervalle de fluctuation simple sont réunies pour ce second échantillon, puis déterminer cet intervalle au seuil de $95\%$ autour de $p_0$. Le résultat est-il compatible avec l'annonce de la chaîne ?

5. Expliquer pourquoi $f_1$, obtenue sur seulement $36$ spectateurs, s'écarte davantage de $p_0$ que $f_2$.

Partie C.

6. La chaîne souhaite mener un nouveau sondage tel que la demi-largeur de l'intervalle de fluctuation soit au plus égale à $0,0625$. Déterminer la taille minimale d'échantillon nécessaire.

7. Même avec un échantillon de cette taille, peut-on connaître avec certitude la proportion exacte de spectateurs satisfaits sur l'ensemble du réseau ? Expliquer.

Un central d'appels d'urgence vise un taux d'appels traités en moins d'une minute de $75\%$ (on prend $p_0=0,75$).

1. Pour un échantillon de taille $n=64$, calculer $\frac{1}{\sqrt{n}}$ et la largeur de l'intervalle de fluctuation simple (égale à $\frac{2}{\sqrt{n}}$).

2. Pour un échantillon de taille $n=1024$ (soit $64\times 16$), faire de même.

3. Par quel facteur la largeur de l'intervalle a-t-elle été divisée ? Ce résultat est-il cohérent avec le cours ?
4. Sur l'échantillon de taille $n=1024$, on observe $760$ appels traités en moins d'une minute. Calculer la fréquence observée $f$, déterminer l'intervalle de fluctuation correspondant, et dire si ce résultat est compatible avec l'objectif de $75\%$.

Un centre de recyclage estime que $20\%$ des piles usagées qu'il collecte sont des piles au lithium (on prend $p_0=0,2$, valeur limite basse du domaine de validité de la formule). Sur un échantillon de $n=400$ piles collectées, $68$ sont des piles au lithium.

1. Calculer la fréquence observée $f$ dans cet échantillon.

2. Vérifier que les conditions d'application de l'intervalle de fluctuation simple sont réunies, puis déterminer cet intervalle au seuil de $95\%$ autour de $p_0$.

3. Le résultat observé est-il compatible avec l'estimation du centre de recyclage ? Conclure.

Une entreprise fabrique des casques de vélo. Elle en produit $8400$ par mois. Pour vérifier la solidité de la coque, elle en prélève au hasard $60$ chaque mois et les teste en laboratoire (test de choc).

1. Quelle est la population étudiée ?
2. Quel est l'échantillon prélevé ? Quelle est sa taille $n$ ?
3. Pourquoi l'entreprise ne teste-t-elle pas les $8400$ casques produits dans le mois ?

Une ville possède un grand nombre de bornes de recharge pour véhicules électriques. Un technicien contrôle un échantillon de $80$ bornes choisies au hasard et en trouve $6$ en panne.

1. Quelle est la taille de l'échantillon contrôlé ?
2. Calculer la fréquence $f$ de bornes en panne dans cet échantillon.
3. La ville estime que la probabilité théorique qu'une borne soit en panne à un instant donné est $p=0,05$. Comparer $f$ et $p$.

Pour chacune des situations suivantes, préciser la population étudiée, l'échantillon considéré et sa taille $n$.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.

Un supermarché propose une carte à gratter fidélité : un client sur cinq gagne un lot lors du passage en caisse.

1. Calculer la probabilité théorique $p$ correspondante.

2. On simule cette situation pour différentes tailles d'échantillon $n$ et on obtient le tableau suivant, incomplet :$$\begin{array}{ccc}n& \text{clients gagnants}& \text{freˊquence observeˊe}\\ 50& 8& \\ 500& 112& \\ 5000& 1003& \end{array}$$Recopier et compléter ce tableau en calculant la fréquence observée pour chaque ligne (arrondir au millième).

3. Que peut-on observer sur les fréquences obtenues lorsque $n$ augmente ? Quel résultat du cours cela illustre-t-il ?

Un fabricant de thé bio estime que $5\%$ de ses sachets sont mal scellés (probabilité théorique $p=0,05$). Il réalise deux contrôles.

Premier contrôle : il examine $40$ sachets, dont $5$ sont mal scellés.

Second contrôle : il examine $4000$ sachets, dont $220$ sont mal scellés.

1. Calculer la fréquence de sachets mal scellés observée dans chacun des deux contrôles.
2. Calculer l'écart, en valeur absolue, entre chaque fréquence et le taux théorique $p=0,05$.

3. D'après la loi des grands nombres, lequel des deux contrôles donne l'estimation la plus fiable du taux réel de sachets mal scellés ? Justifier.

Une roue numérique tourne aléatoirement parmi $10$ secteurs numérotés de $1$ à $10$, tous équiprobables. On considère que l'on gagne si le secteur obtenu est un multiple de $3$. Le programme Python suivant simule $n$ tirages de la roue et compte le nombre de fois où l'on gagne :

from random import randint

def simulation(n):
    s = 0
    for i in range(n):
        r = randint(1, 10)
        if r % 3 == 0:
            s = s + 1
    return s / n

On exécute `simulation(60)` et on obtient en sortie $0,15$.

1. Que représente la valeur renvoyée par la fonction `simulation(n)` ?
2. Calculer la probabilité théorique $p$ de gagner à un tirage.

3. Comparer la valeur obtenue ($0,15$) à la probabilité théorique $p$. À quoi devrait-on s'attendre si l'on exécutait `simulation(60000)` ?

Un fabricant annonce un taux de compatibilité de ses capsules de café avec les machines du marché de $p=0,88$. Sur un échantillon de $25$ capsules testées, $20$ sont compatibles.

1. Quelle est la taille de l'échantillon testé ?
2. Calculer la fréquence observée $f$ de capsules compatibles.

3. Comparer $f$ à $p$ et expliquer l'écart observé à l'aide de la fluctuation d'échantillonnage.

Une salle d'escalade estime que $35\%$ de ses adhérents renouvellent leur abonnement chaque année (on prend $p_0=0,35$). Sur un échantillon de $n=196$ adhérents suivis, $82$ renouvellent leur abonnement.

1. Calculer la fréquence observée $f$ dans cet échantillon (arrondir au millième).

2. Déterminer l'intervalle de fluctuation simple au seuil de $95\%$ autour de $p_0$.

3. Le résultat observé est-il compatible avec l'estimation de la salle d'escalade ? Conclure.

Un syndic de résidence estime que $65\%$ des sacs déposés dans le local à ordures sont correctement triés (on prend $p_0=0,65$). Sur un échantillon de $n=400$ sacs contrôlés, $234$ sont correctement triés.

1. Calculer la fréquence observée $f$ dans cet échantillon.

2. Déterminer l'intervalle de fluctuation simple au seuil de $95\%$ autour de $p_0$.

3. Le résultat observé est-il compatible avec l'estimation du syndic ? Conclure.

On rappelle que l'intervalle de fluctuation simple au seuil de $95\%$, $\left[p-\frac{1}{\sqrt{n}};p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$, n'est valable que si $0,2\le p\le 0,8$ et $n\ge 25$.

Pour chacune des situations suivantes, dire si la formule est applicable, en justifiant.

a) $p=0,85$ et $n=64$.

b) $p=0,5$ et $n=16$.

c) $p=0,6$ et $n=81$.

Pour chaque cas où la formule est applicable, déterminer l'intervalle de fluctuation correspondant.

Un opérateur téléphonique étudie la satisfaction envers un nouveau forfait mobile, avec une proportion de référence $p_0=0,5$.

1. Vérifier que $n=64$ vérifie la condition minimale imposée par le cours, puis calculer $\frac{1}{\sqrt{n}}$ et la largeur de l'intervalle de fluctuation simple (égale à $\frac{2}{\sqrt{n}}$) pour cet échantillon.

2. Faire de même pour un échantillon de taille $n=576$.

3. La taille de l'échantillon a été multipliée par $9$ entre les deux cas. Par quel facteur la largeur de l'intervalle a-t-elle été divisée ?

4. Par quel facteur faudrait-il multiplier la taille de l'échantillon $n=64$ pour diviser la largeur de l'intervalle par $4$ ?

Une application d'adoption d'animaux souhaite que la demi-largeur de son intervalle de fluctuation, c'est-à-dire $\frac{1}{\sqrt{n}}$, soit au plus égale à $0,02$.

1. Écrire l'inéquation que doit vérifier $n$ pour que $\frac{1}{\sqrt{n}}\le 0,02$, puis la résoudre pour en déduire la taille minimale d'échantillon nécessaire.

2. Vérifier que cette taille minimale respecte bien la condition $n\ge 25$ imposée par le cours.

3. L'application souhaite ensuite diviser cette précision par $4$, c'est-à-dire obtenir $\frac{1}{\sqrt{n}}\le 0,005$. Déterminer la nouvelle taille minimale d'échantillon nécessaire.

4. Par quel facteur la taille de l'échantillon a-t-elle dû être multipliée pour diviser la demi-largeur de l'intervalle par $4$ ? Ce résultat est-il cohérent avec le cours ?

Le taux de clic moyen sur les publicités du secteur du jeu vidéo mobile est de $25\%$ (on prend $p_0=0,25$). Deux campagnes testent une nouvelle bannière. La campagne A est diffusée sur $n_A=100$ affichages et obtient $30$ clics. La campagne B est diffusée sur $n_B=900$ affichages et obtient $252$ clics.

1. Calculer la fréquence de clic observée pour chaque campagne.
2. Déterminer l'intervalle de fluctuation simple autour de $p_0$ pour chaque campagne, puis dire si chaque résultat est compatible avec le taux moyen du secteur.

3. Les deux studios affirment que leur nouvelle bannière est plus efficace que la moyenne du secteur. Cette affirmation est-elle confirmée par les calculs ? Quelle campagne fournit la conclusion la plus fiable ? Justifier.

Une chaîne de cafés lance un programme de fidélité et affirme que $60\%$ de ses clients réguliers l'utilisent (on prend $p_0=0,6$).

Partie A.

Un premier sondage, réalisé dans une seule boutique, porte sur un échantillon de $30$ clients réguliers, dont $21$ utilisent le programme.

1. Quelle est la population étudiée ? Quel est l'échantillon, et quelle est sa taille $n$ ?

2. Calculer la fréquence $f_1$ de clients utilisant le programme dans ce premier échantillon.

Partie B.

Un second sondage, mené sur l'ensemble du réseau, porte sur un échantillon de $n=625$ clients réguliers, dont $355$ utilisent le programme.

3. Calculer la fréquence $f_2$ de clients utilisant le programme dans ce second échantillon.

4. Vérifier que les conditions d'application de l'intervalle de fluctuation simple sont réunies pour ce second échantillon, puis déterminer cet intervalle au seuil de $95\%$ autour de $p_0$. Le résultat est-il compatible avec l'affirmation de la chaîne ?

5. Expliquer pourquoi $f_1$, obtenue sur seulement $30$ clients, s'écarte davantage de $p_0$ que $f_2$.

Partie C.

6. La chaîne souhaite qu'un troisième sondage, à venir sur un nouveau marché, ait une demi-largeur d'intervalle au plus égale à $0,05$. Déterminer la taille minimale d'échantillon nécessaire.

7. Même avec un échantillon de cette taille, peut-on connaître avec certitude la proportion exacte de clients utilisant le programme sur l'ensemble du réseau ? Expliquer.

À l'approche d'un référendum local, un institut interroge au hasard $1600$ habitants d'une commune. Parmi eux, $840$ se déclarent favorables au projet. On note $p$ la proportion d'habitants favorables dans l'ensemble de la commune.

1. Calculer la fréquence observée $f$ de personnes favorables dans l'échantillon.
2. Donner un intervalle qui contient $p$ dans environ $95\%$ des cas.
3. Le maire affirme : « Une majorité d'habitants est favorable, donc $p>0,5$. » Peut-on l'affirmer à partir de ce sondage ?
4. Combien de personnes faudrait-il interroger au minimum pour que l'intervalle obtenu ait une amplitude d'au plus $0,02$ ?