Exercices de Fractions, puissances, racines carrées en maths Seconde

1. $Première partie$

La formule qui permet de calculer les mensualités à rembourser lorsqu'on souscrit un crédit est la suivante :

m = C \times \frac{\frac{t}{1200}}{1 - ( 1 + \frac{t}{1200} ) ^{- N}}

où

m

= mensualité en €,

C

= capital emprunté en €,

t

= taux de l'emprunt en %,

N

= nombre de mensualités.

Tu souhaites acheter un scooter à crédit car tu ne disposes pas de la somme nécessaire pour le payer. Son prix est de

1600

€. Ce nombre est le capital

C

emprunté.

1) Tu souhaites effectuer ce remboursement sur

5

ans. Cela correspond à

N = 60

mois.
Pourquoi ?
2) a) Si le taux de l'emprunt est de

3

%, les mensualités

m

à rembourser seront de

28, 75

€ par mois (arrondi au centième). Écris les calculs qui retrouvent ce résultat.
b) Calcule maintenant les mensualités

m

dans les cas suivants en écrivant tous les calculs :

t = 4

% ;

t = 5

% ;

t = 6

% ;

t = 7

% et

t = 8

%.
(Donne un arrondi au centième)
3) a) Un crédit n'est pas gratuit ! Quand on emprunte de l'argent, on en rembourse toujours plus que l'on en a emprunté !
Si l'on emprunte

C

euros, alors on remboursera à la fin au total

N \times m

euros. Explique pourquoi ?
b) Si le taux

t

de l'emprunt est de

3

%, la somme totale à rembourser sera de

1725

€. Écris le calcul qui retrouve ce résultat.
c) Calcule maintenant la somme totale à rembourser dans les cas suivants en écrivant les calculs effectués :

t = 4

% ;

t = 5

% ;

t = 6

% ;

t = 7

% et

t = 8

%.
d) Commente les résultats. Dans quels cas est-il plus intéressant de faire un emprunt ?
e) Représente les résultats précédents sur un graphique en prenant :

t

en abscisse avec

2

cm pour

1

% et

N \times m

en ordonnée avec

1

cm pour

10

€.

2. $Deuxième partie$

Tu souhaites acheter un appartement à crédit car tu ne disposes évidemment pas (!) de la somme nécessaire pour le payer. La banque te propose un taux de

t = 4, 5

%.

1) Choisis le prix de l'appartement (un nombre compris entre

80000

€ et

150000

€). Ce nombre est le capital

C

emprunté.
2) a) Calcule maintenant les mensualités

m

dans les cas suivants : (Écris tous tes calculs)

N = 96

mois ;

N = 120

mois ;

N = 144

mois ;

N = 180

mois ;

N = 240

mois et

N = 360

mois (Donne un arrondi au centième)
b) Commente les résultats. Dans quels cas est-il plus intéressant de faire un emprunt ?
3) a) Calcule maintenant la somme totale à rembourser

N \times m

dans chacun des cas.
b) Commente les résultats en comparant ta conclusion à celle de la question 2) b). Que peux-tu en dire ? Dans quels cas est-il plus intéressant de faire un emprunt ?
Les mensualités à rembourser reflètent-elles la réalité de la somme totale à rembourser ?
La durée du prêt te semble-t-elle importante ?
c) Tu avais emprunté

C

euros, calcule combien te coûte le crédit dans chaque cas en appliquant la formule :

N \times m - C

.
Ces sommes te semblent-t-elles importantes comparées au capital emprunté ?
d) Représente les résultats sur un graphique en prenant

N

en abscisse avec

1

cm pour

2

ans et

N \times m

en ordonnée avec

1

cm pour

5000

€.

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Dans tous les calculs,

t = 4, 5

, donc

\frac{t}{1200} = \frac{4 , 5}{1200} = 0, 00375

1 + \frac{t}{1200} = 1, 00375

. La formule devient :

m = C \times \frac{0 , 00375}{1 - 1 , 0037 5 ^{- N}}

1. Chacun choisit son prix entre

80000

€ et

150000

€. Dans cette correction, on prend

C = 100000

€.
La mensualité est proportionnelle à

C

: avec un autre prix, on refait les mêmes calculs en remplaçant

100000

par ce prix, et les commentaires restent les mêmes.

2. a) Pour

N = 96

1, 0037 5^{- 96} \approx 0, 698146

, donc

1 - 1, 0037 5^{- 96} \approx 0, 301854

m \approx 100000 \times \frac{0 , 00375}{0 , 301854} \approx 1242, 32

On procède de même pour chaque durée (les valeurs intermédiaires sont arrondies ; à la calculatrice, on garde toutes les décimales jusqu'au résultat final) :

$N$ (en mois)	$1, 0037 5^{- N}$	$m$ (en €)
$96$	$0, 698146$	$1242, 32$
$120$	$0, 638165$	$1036, 38$
$144$	$0, 583337$	$900, 01$
$180$	$0, 509800$	$764, 99$
$240$	$0, 407255$	$632, 65$
$360$	$0, 259896$	$506, 69$

2. b) Plus la durée

N

est longue, plus la mensualité est faible : elle passe d'environ

1242

€ par mois sur

8

ans à environ

507

€ par mois sur

30

ans. Si l'on ne regarde que la mensualité, emprunter sur une longue durée paraît plus intéressant, car on rembourse moins chaque mois.

3. a) On multiplie chaque mensualité arrondie par le nombre

N

de mensualités :

N = 96

96 \times 1242, 32 = 119262, 72

€

N = 120

120 \times 1036, 38 = 124365, 60

€

N = 144

144 \times 900, 01 = 129601, 44

€

N = 180

180 \times 764, 99 = 137698, 20

€

N = 240

240 \times 632, 65 = 151836

€

N = 360

360 \times 506, 69 = 182408, 40

€

3. b) La conclusion est l'inverse de celle de la question 2. b) : plus la durée est longue, plus la somme totale à rembourser est grande. Du point de vue de la somme totale, il est plus intéressant d'emprunter sur une durée courte, à condition de pouvoir payer des mensualités plus élevées.
Les mensualités ne reflètent donc pas la somme totale à rembourser : une petite mensualité cache un remboursement total plus élevé.
La durée du prêt est très importante : sur

30

ans, on rembourse environ

182408

€, contre environ

119263

€ sur

8

ans, soit plus de

63000

€ d'écart.

3. c) Le coût du crédit est

N \times m - C

, avec

C = 100000

€ :

$N$ (en mois)	$N \times m - C$ (en €)	Part du capital emprunté
$96$	$19262, 72$	environ $19$ %
$120$	$24365, 60$	environ $24$ %
$144$	$29601, 44$	environ $30$ %
$180$	$37698, 20$	environ $38$ %
$240$	$51836$	environ $52$ %
$360$	$82408, 40$	environ $82$ %

Par exemple, pour

N = 96

119262, 72 - 100000 = 19262, 72

€.
Ces sommes sont importantes : même sur

8

ans, le crédit coûte près d'un cinquième du capital emprunté, et sur

30

ans il coûte plus des quatre cinquièmes du prix de l'appartement.

3. d) On place les points de coordonnées

(N; N \times m)

, en convertissant les durées en années :

96

mois font

8

ans,

120

mois

10

ans,

144

mois

12

ans,

180

mois

15

ans,

240

mois

20

ans et

360

mois

30

ans.
En abscisse,

1

cm pour

2

ans : les points sont à

4

cm,

5

cm,

6

cm,

7, 5

cm,

10

cm et

15

cm de l'origine.
En ordonnée,

1

cm pour

5000

€ : en partant de

0

, il faudrait plus de

36

cm. On commence donc l'axe des ordonnées au capital emprunté,

100000

€ : les points sont alors à environ

3, 9

cm,

4, 9

cm,

5, 9

cm,

7, 5

cm,

10, 4

cm et

16, 5

cm de hauteur, et cette hauteur représente directement le coût du crédit.
La somme totale à rembourser augmente avec la durée, et un peu plus vite pour les longues durées.

3. $Partie 1$

En Inde, une légende raconte... Le Brahmane Sessa demanda la quantité de grains de blé qu'il serait nécessaire pour remplir les

64

cases d'un échiquier en respectant la condition suivante, chaque case doit contenir deux fois plus de grains de blé que la précédente sachant que la première case ne contient qu'un seul grain.

1) a) Sur quelle case devrait-il y avoir

2^{3}

grains ?

2^{8}

grains ?

2^{31}

grains ?
b) Quelle quantité de grains est-il nécessaire pour remplir tout l'échiquier ? Donner le résultat comme somme de puissances de

2

. On pourra utiliser des « ... » pour ne pas écrire tous les termes.

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4. $Partie 2$

a) Vérifier que les expressions suivantes sont vraies :

1 + 2 = 2^{2} - 1

1 + 2 + 2^{2} = 2^{3} - 1

1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} = 2^{4} - 1

b) En fait, cette formule est vraie pour tout entier

n

1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{n - 1} = 2^{n} - 1

Appliquer la pour écrire le plus simplement possible le résultat de la question 1) b).

c) En utilisant la calculatrice, en déduire une valeur approchée du nombre de grains pour tout l'échiquier. Donner le résultat en écriture scientifique.
d) La calculatrice ne permet pas de calculer la valeur exacte

2^{64}

. Mais il est possible d'obtenir celle de

2^{32}

.
A l'aide de ce résultat et d'une « belle » multiplication à poser, prouver que la quantité exacte de grains de blé est :

18446744073709551615

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5. $Partie 3$

Dans

1

^{3}

, on peut ranger environ

1, 5

million de grains de blé. Le roi dispose d'un grand grenier de

5

mètres de large sur

10

mètres de long. Quelle hauteur faut-il prévoir si l'on désire stocker la quantité de grains de blé que recevra Sessa ? Exprimer le résultat en km.
Comparer cette longueur à la distance de la Terre au Soleil !!!

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6. $Partie 4$

Mais l'histoire finit mal pour le brahmane. L'arithméticien du roi conseille d'enfermer Sessa dans son propre piège en lui demandant de compter lui-même les grains de blé.

Sachant qu'il faudra

6

mois pour compter

1

^{3}

, combien d'années lui faudrait-il pour dénombrer l'ensemble de sa récompense ?

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7. $Précision de la calculatrice$

1) Saisir

2

sur la calculatrice. Combien de décimales de

2

la calculatrice peut-elle afficher ?
2) a) Après avoir affiché une valeur approchée de

2

sur la calculatrice, saisir :
- sur TI : `partDéc(Rep)*10`
- sur Casio : `Frac (Ans) x10`
Puis appuyer plusieurs fois sur ENTER ou EXE. Que se passe-t-il ?
b) En déduire une valeur approchée plus précise de

2

.
c) Combien de décimales d'un nombre la calculatrice semble-t-elle être capable de stocker ?
3) Déterminer de même des valeurs approchées de

3

puis

5

les plus précises possibles.

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8. $Calculs avec des puissances$

1) a) À l'aide de la calculatrice, effectuer le calcul suivant :

A = \frac{1 0 ^{5} + 1 0 ^{- 5} - 1 0 ^{5}}{1 0 ^{- 5}}

b) Effectuer ce calcul « à la main » et comparer avec le résultat obtenu à la calculatrice.
2) a) Reprendre les questions précédentes avec :

B = \frac{1 0 ^{8} + 1 0 ^{- 8} - 1 0 ^{8}}{1 0 ^{- 8}}

.
b) Avec combien de décimales d'un nombre la calculatrice semble-t-elle être capable d'effectuer des calculs justes avec ce nombre ?

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9. $Séquences de calculs$

1) À l'aide de la calculatrice, effectuer successivement les séquences de calculs suivantes :

1 0^{8} + 1

puis `Rep`

- 1 0^{8}

(sur TI) ou `Ans`

- 1 0^{8}

(sur Casio)
Le résultat est-il juste ? Justifier.
2) a) Reprendre la question précédente en remplaçant

1 0^{8}

par

1 0^{9}

, puis

1 0^{10}

...
b) Pour quelles puissances de

10

, le résultat affiché par la calculatrice est-il juste ?
3) Avec combien de décimales d'un nombre la calculatrice semble-t-elle être capable d'effectuer des calculs justes avec ce nombre ?

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10. $Identités remarquables$

1) À l'aide de la calculatrice, effectuer le calcul suivant :

D = 92892376 1^{2} - 92892376 0^{2}

.
2) Effectuer ce calcul « à la main » en appliquant une identité remarquable. Comparer avec le résultat obtenu à la calculatrice.

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11. $Identités remarquables (suite)$

1) À l'aide de la calculatrice, effectuer le calcul suivant :

E = 12345678 9^{2} - 123456787 \times 123456791

2) a) Poser

x = 123456789

et exprimer

E

en fonction de

x

.
b) Développer et réduire l'expression trouvée dans la question précédente.
c) Comparer avec le résultat de la question 1 et conclure.

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12. $Problèmes de virgule flottante$

1) À l'aide de la calculatrice, effectuer le calcul suivant :

F = \frac{3033388 , 158}{1515 , 1789}

.
2) a) Sans utiliser le résultat de la question 1, effectuer à l'aide de la calculatrice :

\frac{3033388 , 158}{1515 , 1789} - 2002

.
b) Calculer

2002 \times 1515, 1789

, puis en déduire la valeur exacte de

F

.
c) Expliquer l'erreur commise par la calculatrice dans le calcul de la question 1.

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13. $Problèmes de virgule flottante (suite)$

1) À l'aide de la calculatrice, effectuer le calcul suivant :

G = \frac{123456 \times 1 0 ^{7} - 1}{1 0 ^{12}}

.
2) a) Sans utiliser le résultat de la question 1, effectuer à l'aide de la calculatrice :

\frac{123456 \times 1 0 ^{7} - 1}{1 0 ^{12}} - 1, 23456

.
b) En déduire la valeur exacte de

G

.
c) Expliquer l'erreur commise par la calculatrice dans le calcul de la question 1.

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14. $Une expression piégeuse$

1) À l'aide de la calculatrice, effectuer le calcul suivant :

H = 1 0^{16} + 4 \times 1 0^{- 16} - (1 0^{8} - 2 \times 1 0^{- 8})^{2}

2) a) En appliquant une identité remarquable, développer

(1 0^{8} - 2 \times 1 0^{- 8})^{2}

b) En déduire le calcul « à la main » de

H

.
c) Comparer avec le résultat de la question 1 et conclure.

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15. $Calcul infaisable$

Calculer la valeur exacte du nombre :

I = 7^{12}

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16. $Additionner et soustraire des fractions$

Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

A = \frac{2}{3} + \frac{5}{6}

B = \frac{5}{9} - \frac{1}{6}

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17. $Multiplier et diviser des fractions$

Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

C = \frac{4}{9} \times \frac{3}{8}

D = \frac{7}{5} \div \frac{14}{15}

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18. $Calculer des puissances simples$

Calculer les puissances suivantes.

A = 2^{5}

B = (- 3)^{3}

C = (- 2)^{4}

D = - 2^{4}

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19. $Simplifier des racines carrées$

Écrire chaque racine carrée sous la forme

a b

, avec

b

le plus petit possible.

A = 50

B = 75

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20. $Calculer un produit de racines carrées$

Calculer les expressions suivantes en écrivant le résultat le plus simplement possible.

A = 3 \times 12

B = 5 \times 5

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21. $Calculer avec des fractions négatives$

Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

A = \frac{- 3}{4} \times \frac{5}{- 9}

B = \frac{- 8}{3} \div \frac{4}{- 9}

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22. $Calculer une expression avec priorités (fractions)$

Calculer les expressions suivantes en respectant les priorités opératoires. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

A = \frac{5}{6} - \frac{1}{4} \times \frac{2}{3}

B = (\frac{2}{5} + \frac{1}{10}) \times \frac{4}{9}

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23. $Simplifier une expression avec des puissances$

Écrire les expressions suivantes sous la forme d'une seule puissance ou d'un nombre.

A = \frac{5 ^{3} \times 5 ^{- 6}}{5 ^{- 4}}

B = (2^{- 3})^{2} \times 2^{7}

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24. $Écrire des nombres en notation scientifique$

Écrire les nombres suivants en notation scientifique, sous la forme

a \times 1 0^{n}

avec

1 \leq a < 10

A = 0, 0000452

B = 67800000

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25. $Calculer avec des notations scientifiques$

Calculer les expressions suivantes et donner le résultat en notation scientifique.

A = (3 \times 1 0^{4}) \times (2 \times 1 0^{- 9})

B = \frac{8 \times 1 0 ^{6}}{4 \times 1 0 ^{- 2}}

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26. $Réduire une somme de racines carrées$

Réduire les expressions suivantes.

A = 52 - 32 + 8

B = 27 + 23 - 12

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27. $Simplifier un quotient de racines carrées$

Calculer les expressions suivantes en écrivant le résultat le plus simplement possible.

A = \frac{180}{5}

B = \frac{6 \times 15}{10}

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28. $Utiliser des fractions dans un contexte de pâtisserie$

Un pâtissier utilise

\frac{3}{4}

kg de farine pour une première préparation, puis

\frac{2}{5}

kg pour une seconde préparation.

1) Quelle quantité totale de farine a-t-il utilisée ? Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
2) Avant de commencer, il disposait de

\frac{31}{20}

kg de farine. Quelle quantité de farine lui reste-t-il, sous forme de fraction irréductible ?

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29. $Comparer des écritures de puissances avec signe$

1) Calculer

(- 2)^{6}

- 2^{6}

. Que remarque-t-on ?
2) Calculer

(- 2)^{5}

- 2^{5}

. Que remarque-t-on ?
3) Expliquer, à l'aide de la parité de l'exposant, pourquoi les résultats des questions 1) et 2) sont différents.

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30. $Calculer une puissance d'une fraction$

Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

A = (\frac{2}{3})^{- 2}

B = (\frac{3}{5})^{3} \times (\frac{5}{3})^{2}

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31. $Rendre un dénominateur rationnel (cas simple)$

Écrire les fractions suivantes sans racine carrée au dénominateur.

A = \frac{1}{7}

B = \frac{6}{2}

C = \frac{5}{2 3}

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32. $Simplifier une expression avec plusieurs racines carrées$

Simplifier l'expression suivante.

A = 200 + 18 - 32

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33. $Calculer une expression complexe en notation scientifique$

Calculer l'expression suivante et donner le résultat en notation scientifique.

A = \frac{6 \times 1 0 ^{- 4} \times 5 \times 1 0 ^{9}}{15 \times 1 0 ^{2}}

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34. $Développer une expression avec des racines carrées$

Développer et réduire les expressions suivantes.

A = (23 - 1)^{2}

B = (5 + 3) (5 - 3)

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35. $Calculer une expression avec des fractions relatives$

Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

A = \frac{- 3}{4} + \frac{5}{6} \times \frac{- 2}{5}

B = \frac{- 7}{10} \div \frac{- 14}{5} - \frac{1}{4}

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36. $Rationaliser des dénominateurs et réduire$

Écrire les expressions suivantes sans racine carrée au dénominateur, puis réduire.

A = \frac{6}{3} + 75

B = 98 - \frac{7}{2}

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37. $Combiner puissances de dix et notation scientifique$

Calculer les expressions suivantes et donner le résultat en notation scientifique.

A = (2 \times 1 0^{3})^{2} \times (5 \times 1 0^{- 4})

B = \frac{( 4 \times 1 0 ^{5} ) ^{2}}{2 \times 1 0 ^{7}}

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38. $Factoriser des expressions avec des racines carrées$

Factoriser les expressions suivantes.

A = 2 \times 7 - 37

B = 50 + 2

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39. $Synthèse : puissances, fractions et racines carrées$

Calculer l'expression suivante et donner le résultat sous la forme d'une fraction unique.

A = (\frac{1}{2})^{- 3} + 45 - \frac{3}{5}

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40. $Additionner des fractions de dénominateurs différents$

Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

A = \frac{3}{8} + \frac{1}{6}

B = \frac{7}{10} - \frac{2}{15}

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$t$ (en %)	$\frac{t}{1200}$	$(1 + \frac{t}{1200})^{- 60}$	$m$ (en €)
$4$	$0, 0033333$	$0, 81900$	$29, 47$
$5$	$0, 0041667$	$0, 77921$	$30, 19$
$6$	$0, 005$	$0, 74137$	$30, 93$
$7$	$0, 0058333$	$0, 70541$	$31, 68$
$8$	$0, 0066667$	$0, 67121$	$32, 44$

1.Première partie

2.Deuxième partie

3.Partie 1

4.Partie 2

5.Partie 3

6.Partie 4

7.Précision de la calculatrice

8.Calculs avec des puissances

9.Séquences de calculs

10.Identités remarquables

11.Identités remarquables (suite)

12.Problèmes de virgule flottante

13.Problèmes de virgule flottante (suite)

14.Une expression piégeuse

15.Calcul infaisable

16.Additionner et soustraire des fractions

17.Multiplier et diviser des fractions

18.Calculer des puissances simples

19.Simplifier des racines carrées

20.Calculer un produit de racines carrées

21.Calculer avec des fractions négatives

22.Calculer une expression avec priorités (fractions)

23.Simplifier une expression avec des puissances

24.Écrire des nombres en notation scientifique

25.Calculer avec des notations scientifiques

26.Réduire une somme de racines carrées

27.Simplifier un quotient de racines carrées

28.Utiliser des fractions dans un contexte de pâtisserie

29.Comparer des écritures de puissances avec signe

30.Calculer une puissance d'une fraction

31.Rendre un dénominateur rationnel (cas simple)

32.Simplifier une expression avec plusieurs racines carrées

33.Calculer une expression complexe en notation scientifique

34.Développer une expression avec des racines carrées

35.Calculer une expression avec des fractions relatives

36.Rationaliser des dénominateurs et réduire

37.Combiner puissances de dix et notation scientifique

38.Factoriser des expressions avec des racines carrées

39.Synthèse : puissances, fractions et racines carrées

40.Additionner des fractions de dénominateurs différents

1. $Première partie$

2. $Deuxième partie$

3. $Partie 1$

4. $Partie 2$

5. $Partie 3$

6. $Partie 4$

7. $Précision de la calculatrice$

8. $Calculs avec des puissances$

9. $Séquences de calculs$

10. $Identités remarquables$

11. $Identités remarquables (suite)$

12. $Problèmes de virgule flottante$

13. $Problèmes de virgule flottante (suite)$

14. $Une expression piégeuse$

15. $Calcul infaisable$

16. $Additionner et soustraire des fractions$

17. $Multiplier et diviser des fractions$

18. $Calculer des puissances simples$

19. $Simplifier des racines carrées$

20. $Calculer un produit de racines carrées$

21. $Calculer avec des fractions négatives$

22. $Calculer une expression avec priorités (fractions)$

23. $Simplifier une expression avec des puissances$

24. $Écrire des nombres en notation scientifique$

25. $Calculer avec des notations scientifiques$

26. $Réduire une somme de racines carrées$

27. $Simplifier un quotient de racines carrées$

28. $Utiliser des fractions dans un contexte de pâtisserie$

29. $Comparer des écritures de puissances avec signe$

30. $Calculer une puissance d'une fraction$

31. $Rendre un dénominateur rationnel (cas simple)$

32. $Simplifier une expression avec plusieurs racines carrées$

33. $Calculer une expression complexe en notation scientifique$

34. $Développer une expression avec des racines carrées$

35. $Calculer une expression avec des fractions relatives$

36. $Rationaliser des dénominateurs et réduire$

37. $Combiner puissances de dix et notation scientifique$

38. $Factoriser des expressions avec des racines carrées$

39. $Synthèse : puissances, fractions et racines carrées$

40. $Additionner des fractions de dénominateurs différents$