Exercices de Fractions, puissances, racines carrées, Seconde (page 3)

Développer et réduire les expressions suivantes.

$A=(4\sqrt{2}-3{)}^2$

$B=(\sqrt{11}+4)(\sqrt{11}-4)$

Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

$A=\frac{-5}{8}+\frac{3}{4}\times \frac{-2}{9}$

$B=\frac{-11}{12}÷\frac{-22}{9}-\frac{1}{3}$

Écrire les expressions suivantes sans racine carrée au dénominateur, puis réduire.

$A=\frac{9}{\sqrt{3}}+\sqrt{243}$

$B=\sqrt{128}-\frac{10}{\sqrt{2}}$

Calculer les expressions suivantes et donner le résultat en notation scientifique.

$A=(4\times 10^{-3}{)}^2\times (7\times 10^8)$

$B=\frac{(5\times 10^6{)}^2}{5\times 10^9}$

Factoriser les expressions suivantes.

$A=\sqrt{6}\times \sqrt{13}-7\sqrt{13}$

$B=\sqrt{320}+\sqrt{5}$

Calculer l'expression suivante et donner le résultat sous la forme d'une fraction unique.

$A={\left(\frac{1}{4}\right)}^{-2}+\sqrt{112}-\frac{6}{\sqrt{7}}$

Simplifier les fractions suivantes pour obtenir une fraction irréductible.

$A=\frac{36}{54}$

$B=\frac{75}{105}$

Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

$A=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$

$B=\frac{2}{5}-\frac{1}{4}+\frac{3}{10}$

Écrire chaque racine carrée sous la forme $a\sqrt{b}$, avec $b$ le plus petit possible.

$A=\sqrt{175}$

$B=\sqrt{242}$

Le diamètre d'un globule rouge est d'environ $0,000007$ m. La distance moyenne entre la Terre et la Lune est d'environ $384400$ km.

1) Écrire le diamètre du globule rouge, en mètres, en notation scientifique sous la forme $a\times 10^n$ avec $1\le a<10$.

2) Écrire la distance moyenne Terre-Lune, en kilomètres, en notation scientifique.

Déterminer l'entier $n$ tel que :

1) $2^n=128$

2) $5^n=\frac{1}{25}$

3) $10^n=0,001$

Un élève affirme que $\sqrt{16}+\sqrt{9}=\sqrt{25}$.

1) Calculer $\sqrt{16}+\sqrt{9}$ d'une part, et $\sqrt{25}$ d'autre part.

2) L'affirmation de l'élève est-elle correcte ? Justifier.
3) Rappeler ce que l'on peut dire, en général, de $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ et de $\sqrt{a+b}$ lorsque $a$ et $b$ sont positifs.

Une clé USB a une capacité de $2^{34}$ octets. On donne l'approximation $2^{10}\approx 10^3$.

1) En utilisant cette approximation, donner un ordre de grandeur de $2^{34}$ en notation scientifique (en octets).

2) Un gigaoctet vaut environ $10^9$ octets. En déduire un ordre de grandeur de cette capacité en gigaoctets.

Ranger les nombres suivants par ordre croissant.

$A=4,2\times 10^5$ ; $B=3,9\times 10^6$ ; $C=7,8\times 10^4$ ; $D=5\times 10^5$

Un jardinier consacre les $\frac{3}{5}$ de la surface de son terrain à la culture de légumes. Il réserve ensuite $\frac{2}{9}$ de cette partie « légumes » à la culture de tomates.

1) Quelle fraction de la surface totale du terrain est consacrée aux tomates ? Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
2) Le reste de la partie « légumes » est partagé également entre courgettes et carottes. Quelle fraction de la surface totale du terrain est consacrée aux courgettes ?

Réduire l'expression suivante.

$A=2\sqrt{45}-\sqrt{80}+3\sqrt{20}-\sqrt{5}$

Calculer l'expression suivante et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

$A=3^{-2}\times 2^3-5\times 2^{-1}$

Calculer l'expression suivante en écrivant le résultat le plus simplement possible.

$A=\frac{\sqrt{14}\times \sqrt{21}}{\sqrt{6}}$

Calculer l'expression suivante et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

$A=\frac{-2}{3}\times \frac{5}{-8}+\frac{7}{6}÷\frac{-14}{9}$

Calculer l'expression suivante et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

$A={\left(\frac{2}{5}\right)}^{-2}+{\left(\frac{3}{4}\right)}^{-1}$

Écrire les expressions suivantes sans racine carrée au dénominateur.

$A=\frac{4}{\sqrt{13}}$

$B=\frac{15}{5\sqrt{2}}$

$C=\frac{7}{3\sqrt{5}}$

Développer et réduire l'expression suivante.

$A=(\sqrt{5}+2{)}^2-(\sqrt{5}-2{)}^2$

Simplifier l'expression suivante.

$A=\sqrt{3}\times \sqrt{12}+\sqrt{3}\times \sqrt{27}-\sqrt{48}$

La lumière parcourt environ $3\times 10^8$ mètres par seconde. La distance moyenne entre le Soleil et la planète Neptune est d'environ $4,5\times 10^{12}$ mètres.

1) Calculer, en secondes, la durée que met la lumière du Soleil pour atteindre Neptune. Donner le résultat en notation scientifique.
2) Sachant qu'une heure compte $3600$ secondes, convertir cette durée en heures (arrondir au dixième).

Écrire l'expression suivante sans racine carrée au dénominateur, puis réduire.

$A=\sqrt{75}-\frac{12}{\sqrt{3}}+\frac{4}{\sqrt{12}}$

Calculer les expressions suivantes.

1) Donner le résultat de $A$ sous la forme d'une fraction unique.$$A={\left(\frac{3}{2}\right)}^{-2}+\sqrt{18}-\frac{4}{\sqrt{2}}$$2) Donner le résultat de $B$ en notation scientifique.$$B=\frac{(3\times 10^4{)}^2\times 2\times 10^{-5}}{6\times 10^5}$$

On trace deux cercles $\mathcal{C}$ et ${\mathcal{C}}^{\prime }$ de centres respectifs $O$ et $O^{\prime }$. Ils se touchent en un seul point $T$, situé sur le segment $[O{O}^{\prime }]$. On place sur le cercle $\mathcal{C}$ un point $A$ tel que les droites $(OA)$ et $(O{O}^{\prime })$ soient perpendiculaires.
1) Sachant que les deux cercles ont pour rayon $1$, démontrer que $AT=\sqrt{2}$ et $A{O}^{\prime }=\sqrt{5}$.
2) À l'aide d'un compas et d'une règle non graduée, construire sur la même figure un segment de longueur $\sqrt{6}$.