Exercices de Information chiffrée, Seconde (page 3)

a) Le coefficient multiplicateur de la hausse de la première année est $C{M}_1=1+\frac{15}{100}=1,15$. Une hausse globale de $3,5\%$ sur les deux années correspond au coefficient multiplicateur global :$$C{M}_{\text{global}}=1+\frac{3,5}{100}=1,035$$b) Le coefficient multiplicateur global est le produit des deux coefficients annuels : $C{M}_1\times C{M}_2=C{M}_{\text{global}}$. On en déduit le coefficient de la deuxième année :$$C{M}_2=\frac{C{M}_{\text{global}}}{C{M}_1}=\frac{1,035}{1,15}=0,90$$Le taux d'évolution de la deuxième année est :$$t_2=(0,90-1)\times 100=-10\%$$Il s'agit donc d'une baisse de $10\%$ la deuxième année.

c) Après les deux années, le chiffre d'affaires a été multiplié par $C{M}_{\text{global}}=1,035$. Pour le ramener exactement à sa valeur initiale, on applique l'évolution réciproque, dont le coefficient est l'inverse de $C{M}_{\text{global}}$ (et non l'opposé du taux $+3,5\%$) :$$C{M}^{\prime }=\frac{1}{1,035}\approx 0,9662$$Le taux d'évolution réciproque correspondant est :$$t^{\prime }=(0,9662-1)\times 100\approx -3,4\%$$Il faudrait donc une baisse d'environ $3,4\%$ pour revenir aux $250000$ euros initiaux. On remarque que ce taux n'est pas égal à $-3,5\%$ : le taux d'une évolution réciproque n'est jamais l'opposé du taux qu'elle annule.

Le journaliste additionne les taux : $5\times 6\%=30\%$. C'est faux : chaque hausse de $6\%$ s'applique à la facture de l'année précédente, déjà augmentée, et non à la facture de départ. Des taux d'évolution successifs ne s'additionnent pas.

Première manière : avec les coefficients multiplicateurs.

Une hausse de $6\%$ correspond au coefficient multiplicateur $1,06$. Pour cinq hausses successives, les coefficients multiplicateurs se multiplient :$$C{M}_{\text{global}}=1,06\times 1,06\times 1,06\times 1,06\times 1,06=1,06^5\approx 1,338$$Le taux d'évolution global est donc $(1,338-1)\times 100\approx 33,8\%$. La facture augmenterait d'environ $33,8\%$ en 5 ans, et non de $30\%$.

Deuxième manière : en suivant la facture année par année.

On part de la facture de $693$ euros en 2012 et on la multiplie par $1,06$ chaque année (valeurs arrondies au centime) :
En 2013 : $693\times 1,06=734,58$ euros.
En 2014 : $693\times 1,06^2\approx 778,65$ euros.
En 2015 : $693\times 1,06^3\approx 825,37$ euros.
En 2016 : $693\times 1,06^4\approx 874,90$ euros.
En 2017 : $693\times 1,06^5\approx 927,39$ euros.

Avec une hausse de $6\%$ par an, la facture atteindrait donc environ $927$ euros en 2017, et non $900$ euros. Les $900$ euros annoncés correspondent en fait à une hausse de $30\%$ : $693\times 1,30=900,9$. Le journaliste a calculé comme si chaque hausse de $6\%$ portait sur les $693$ euros de départ.

Conclusion : cinq hausses successives de $6\%$ donnent une hausse globale d'environ $33,8\%$, plus que $30\%$, car chaque hausse porte sur un montant déjà augmenté.