Exercices de Les fonctions de référence, Seconde

On considère la fonction racine carrée $f(x)=\sqrt{x}$, définie sur $[0;+\infty [$.

1. Calculer $f(0)$, $f(1)$, $f(4)$, $f(9)$, $f(\frac{1}{4})$.
2. Résoudre l'équation $\sqrt{x}=3$.
3. Résoudre l'inéquation $\sqrt{x}\le 4$.
4. Simplifier les expressions suivantes (pour $x\ge 0$) : $\sqrt{9x}$ et $\sqrt{x^2+2x+1}$.

On considère la fonction inverse $f(x)=\frac{1}{x}$, définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$.

1. Calculer $f(2)$, $f(-3)$, $f\left(\frac{1}{5}\right)$, $f(-\frac{1}{2})$.
2. Résoudre l'équation $\frac{1}{x}=-4$.
3. Résoudre l'inéquation $\frac{1}{x}>2$.
4. On sait que $f$ est décroissante sur $]0;+\infty [$ et sur $]-\infty ;0[$. En utilisant cette propriété, comparer $\frac{1}{7}$ et $\frac{1}{3}$.

On considère les quatre fonctions de référence suivantes :

1. La fonction carré $f(x)=x^2$, définie sur $\mathbb{R}$.
2. La fonction racine carrée $g(x)=\sqrt{x}$, définie sur $[0;+\infty [$.
3. La fonction inverse $h(x)=\frac{1}{x}$, définie sur $\mathbb{R}\setminus \{0\}$.
4. La fonction cube $k(x)=x^3$, définie sur $\mathbb{R}$.

Pour chacune, préciser si elle est paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre, en justifiant.

Étudier la parité de chacune des fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$.

1. $f(x)=4x^2-7$
2. $g(x)=x^3-2x$
3. $h(x)=x^2+x^3$
4. $k(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$

On considère la fonction carré $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$.

1. Rappeler le sens de variation de $f$ sur $]-\infty ;0]$ et sur $[0;+\infty [$.
2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-3;3]$.
3. En déduire le minimum de $f$ sur $[-3;3]$ et la valeur en laquelle il est atteint.

Soit $f(x)=\sqrt{x}$, définie sur $[0;+\infty [$.

1. Quel est le sens de variation de $f$ sur son domaine de définition ?
2. Dresser le tableau de variations de $f$ pour $x\in [0;9]$, en indiquant les valeurs de $f$ en $0$, $1$, $4$ et $9$.
3. En déduire une comparaison entre $\sqrt{2}$ et $\sqrt{5}$, sans calculer ces racines carrées.

On considère $f(x)=\frac{1}{x}$, définie sur $\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

1. Sur quels intervalles $f$ est-elle décroissante ? Peut-on affirmer que $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ tout entier ? Justifier à l'aide d'un exemple numérique.
2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

Soit $f(x)=x^3$, définie sur $\mathbb{R}$.

1. Donner le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-2;2]$, en précisant les valeurs de $f$ aux bornes et en $x=0$.
3. La fonction cube est-elle paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre ? Justifier rapidement à l'aide du cours, sans nouveau calcul.

On considère la fonction carré $f(x)=x^2$.

1. Comparer $f(3)$ et $f(5)$.
2. Comparer $f(-3)$ et $f(-5)$.
3. Comparer $f(-2)$ et $f(4)$.
4. Peut-on comparer $f(a)$ et $f(b)$ uniquement à partir de la relation $a<b$, sans autre information sur $a$ et $b$ ? Illustrer la réponse par un exemple.

Soit $f(x)=\sqrt{x}$, définie sur $[0;+\infty [$.

1. Sans calculer les racines carrées, comparer $\sqrt{7}$ et $\sqrt{11}$.
2. Comparer $\sqrt{0,5}$ et $\sqrt{0,2}$.
3. On donne $2\le x\le 5$. En déduire un encadrement de $\sqrt{x}$ (valeurs exactes, sans arrondi).
4. Résoudre l'inéquation $\sqrt{x}<3$.

Soit $f(x)=\frac{1}{x}$, définie sur $\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

1. Comparer $f(2)$ et $f(5)$.
2. Comparer $f(-2)$ et $f(-5)$.
3. Comparer $f(-3)$ et $f(4)$ (attention : les deux nombres ne sont pas dans le même intervalle).
4. Ranger dans l'ordre croissant les quatre nombres $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{-2}$, $\frac{1}{10}$ et $\frac{1}{-7}$.

Soit $f(x)=x^3$, définie sur $\mathbb{R}$.

1. Comparer $f(-2)$ et $f(3)$.
2. Comparer $f(-5)$ et $f(-1)$.
3. Sachant que $-1\le x\le 2$, donner un encadrement de $x^3$.
4. La fonction cube est-elle croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier, y compris pour comparer un nombre négatif et un nombre positif ? Justifier avec un exemple numérique.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes.

On considère la fonction $f(x)=\sqrt{x}$, définie sur $[0;+\infty [$.

1. Résoudre l'équation $\sqrt{x}=5$.
2. Résoudre l'équation $\sqrt{x}=-2$ (justifier sans calcul).
3. Résoudre l'inéquation $\sqrt{x}\ge 4$.
4. Résoudre l'inéquation $\sqrt{x}\le 2,5$.

Soit $f(x)=\frac{1}{x}$, définie sur $\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

Soit $f(x)=x^3$, définie sur $\mathbb{R}$.

1. Résoudre l'équation $x^3=27$.
2. Résoudre l'équation $x^3=-8$.
3. Résoudre l'équation $x^3=0$.
4. La fonction cube étant strictement croissante sur $\mathbb{R}$, combien de solutions possède l'équation $x^3=k$ pour un réel $k$ quelconque ? Justifier, puis comparer avec le cas de l'équation $x^2=k$.

On note $\mathcal{C}$ la parabole représentant la fonction carré $f(x)=x^2$ dans un repère. On s'intéresse aux points d'intersection de $\mathcal{C}$ avec la droite horizontale d'équation $y=m$, où $m$ est un réel.

1. Expliquer pourquoi résoudre l'équation $x^2=m$ revient à chercher les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}$ et de la droite $y=m$.
2. Discuter, selon les valeurs de $m$, du nombre de points d'intersection (donc du nombre de solutions de $x^2=m$).
3. Retrouver ce résultat par le calcul pour $m=-1$, $m=0$ et $m=16$.

On note $\mathcal{H}$ l'hyperbole représentant la fonction inverse $f(x)=\frac{1}{x}$ dans un repère. On considère la droite horizontale d'équation $y=k$.

1. Expliquer pourquoi résoudre l'équation $\frac{1}{x}=k$ revient à chercher les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{H}$ et de la droite $y=k$.
2. Discuter, selon la valeur de $k$, du nombre de points d'intersection entre $\mathcal{H}$ et la droite $y=k$.
3. Retrouver ce résultat par le calcul pour $k=0$, $k=2$ et $k=-5$.

On donne l'encadrement $2,9\le x\le 3,1$.

Un carré a un côté de longueur $x$ centimètres, avec $x>0$. On note $A(x)$ l'aire de ce carré, en ${\text{cm}}^2$.

1. Exprimer $A(x)$ en fonction de $x$. Quelle fonction de référence reconnaît-on, restreinte à $x>0$ ?
2. Calculer l'aire d'un carré de côté $3,5$ cm.
3. Un carré a une aire de $64{\text{cm}}^2$. Déterminer la longueur de son côté.
4. Sans calculer les deux aires, comparer $A(4,2)$ et $A(5,1)$, en justifiant à l'aide du sens de variation de $A$.
5. On veut que l'aire du carré soit strictement supérieure à $100{\text{cm}}^2$. Déterminer, par le calcul, l'ensemble des longueurs de côté $x$ possibles.

On considère les fonctions $f(x)=x^2$, $g(x)=x^3$ et $h(x)=\frac{1}{x}$ (cette dernière définie sur $\mathbb{R}\setminus \{0\}$).

1. Calculer $f(4)$, $f(-6)$ et $f(0,1)$.
2. Calculer $g(2)$, $g(-3)$ et $g(0)$.
3. Calculer $h(5)$, $h(-4)$ et $h(0,2)$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ par $f(x)=4+\frac{6}{x}$.

a) Calculer les images de $2$ et de $-3$ par $f$.

b) Calculer l'antécédent de $10$ par $f$.

Déterminer le domaine de définition de chacune des fonctions suivantes.

1. $f(x)=\sqrt{2x+5}$
2. $g(x)=\frac{3}{x-4}$
3. $h(x)=x^2-7$
4. $k(x)=\sqrt{9-x}$

On considère la fonction affine $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-3x+7$.

1. Calculer $f(0)$, $f(2)$ et $f(-1)$.
2. La fonction $f$ est-elle croissante ou décroissante sur $\mathbb{R}$ ? Justifier à l'aide du coefficient de $x$.
3. Résoudre l'équation $f(x)=1$.

On considère $f(x)=x^2$ et $g(x)=2x+3$, toutes deux définies sur $\mathbb{R}$.

1. Calculer $f(x)$ et $g(x)$ pour $x\in \{-2;-1;0;1;2;3;4\}$, et indiquer à chaque fois laquelle des deux images est la plus grande.
2. D'après ces résultats, sur quel intervalle semble-t-on avoir $f(x)<g(x)$ ?
3. Vérifier par le calcul que $f(3)=g(3)$ et que $f(-1)=g(-1)$.

On donne quatre courbes ${\mathcal{C}}_1$, ${\mathcal{C}}_2$, ${\mathcal{C}}_3$, ${\mathcal{C}}_4$, représentant dans le désordre les fonctions carré, cube, inverse et racine carrée. On sait que :

- ${\mathcal{C}}_1$ est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier et symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- ${\mathcal{C}}_2$ n'est définie que pour les abscisses positives ou nulles.
- ${\mathcal{C}}_3$ est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier, symétrique par rapport à l'origine du repère, et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier.
- ${\mathcal{C}}_4$ n'est jamais définie en $0$ et est composée de deux branches distinctes.

Associer chaque courbe à sa fonction, en justifiant à partir des propriétés du cours.

On note $\mathcal{C}$ la courbe de la fonction racine carrée $f(x)=\sqrt{x}$, définie sur $[0;+\infty [$, et on considère la droite horizontale d'équation $y=k$.

1. Expliquer pourquoi résoudre l'équation $\sqrt{x}=k$ revient à chercher les abscisses des points communs à $\mathcal{C}$ et à la droite $y=k$.
2. Discuter, selon le signe de $k$, du nombre de solutions de l'équation $\sqrt{x}=k$.
3. Retrouver ce résultat par le calcul pour $k=-1$, $k=0$ et $k=6$.

On considère les courbes d'équations $y=x$, $y=x^2$ et $y=x^3$, pour $x\ge 0$.

1. Calculer $x$, $x^2$ et $x^3$ pour $x\in \{0;0,5;1;2;3\}$.
2. D'après le cours, comparer $x$, $x^2$ et $x^3$ lorsque $0\le x\le 1$.
3. D'après le cours, comparer $x$, $x^2$ et $x^3$ lorsque $x\ge 1$.
4. En déduire, sans calculatrice, l'ordre de $0,5;0,5^2;0,5^3$, puis celui de $2;2^2;2^3$.

On considère la fonction carré $f(x)=x^2$ et la fonction affine $g(x)=3x$, définies sur $\mathbb{R}$.

1. Factoriser l'expression $f(x)-g(x)=x^2-3x$.
2. En étudiant le signe de $x$ et de $x-3$, déterminer selon les valeurs de $x$ le signe de $f(x)-g(x)$.
3. En déduire, selon les valeurs de $x$, si la parabole représentant $f$ est au-dessus, en dessous, ou coupe la droite représentant $g$.
4. Retrouver ces résultats en calculant $f(x)$ et $g(x)$ pour $x=-1$, $x=2$ et $x=4$.

Une somme de $120$ euros doit être partagée équitablement entre $n$ amis, où $n$ est un entier naturel non nul. On note $P(n)$ la part, en euros, que reçoit chaque ami.

1. Exprimer $P(n)$ en fonction de $n$. Quelle fonction de référence reconnaît-on ?
2. Calculer $P(4)$ et $P(10)$.
3. Sans calculer, comparer $P(6)$ et $P(15)$, en justifiant à l'aide du sens de variation de $P$.
4. Combien d'amis faut-il pour que chacun reçoive exactement $8$ euros ?

Un terrain carré a une aire de $A$ m${}^2$, avec $A>0$. On note $c(A)$ la longueur du côté de ce terrain, en mètres.

1. Exprimer $c(A)$ en fonction de $A$. Quelle fonction de référence reconnaît-on ?
2. Calculer $c(25)$, puis donner la valeur exacte de $c(2)$.
3. Sans calculer les valeurs exactes, comparer $c(40)$ et $c(65)$.
4. Un terrain a un côté de $12$ m. Quelle est son aire ?

On donne l'encadrement $0\le x\le 4$.

1. En déduire un encadrement de $2x+1$.
2. La fonction carré étant croissante sur $[0;+\infty [$, en déduire un encadrement de $(2x+1{)}^2$.
3. Vérifier la cohérence du résultat pour $x=2$.

Sans calculer les valeurs exactes, comparer les nombres suivants en justifiant à chaque fois à l'aide du sens de variation d'une fonction de référence.

1. $\sqrt{48}$ et $\sqrt{51}$
2. $(-1,02{)}^3$ et $(-1{)}^3$
3. $\frac{1}{6,3}$ et $\frac{1}{6,1}$
4. $4,9^2$ et $5,1^2$

On considère la fonction carré $f(x)=x^2$.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $x^2\le 25$.
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $x^2\ge 4$.
3. Interpréter chacun des deux résultats précédents comme une comparaison entre la parabole $y=x^2$ et une droite horizontale.

On considère la fonction $f(x)=\sqrt{x-1}$.

1. Déterminer le domaine de définition de $f$.
2. Résoudre l'inéquation $\sqrt{x-1}<3$.
3. Résoudre l'inéquation $\sqrt{x-1}\ge 2$.

On considère la fonction $f(x)=\frac{5}{x+2}$, définie pour $x\ne -2$.

1. Résoudre l'équation $f(x)=4$.
2. Résoudre l'équation $f(x)=-1$.
3. La valeur $x=-2$ peut-elle être solution de l'une de ces équations ? Justifier.

On considère la fonction $f(x)=x^2-4$, définie sur $\mathbb{R}$.

1. La fonction $f$ est-elle paire ? Justifier.
2. On admet que $f$ a le même sens de variation que la fonction carré. Donner ce sens de variation.
3. Calculer $f(-3)$, $f(0)$ et $f(3)$, puis dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-3;3]$.
4. Résoudre l'équation $f(x)=0$.
5. Comparer, pour tout réel $x$, $f(x)$ et $x^2$. Que peut-on en dire sur la position des deux courbes ?

On considère la fonction $g(x)=\frac{1}{x-3}$.

1. Déterminer le domaine de définition de $g$.
2. Calculer $g(4)$, $g(2)$ et $g(5)$.
3. On admet que $g$ est décroissante sur chacun des intervalles $]-\infty ;3[$ et $]3;+\infty [$ (translation horizontale de la fonction inverse). Comparer $g(5)$ et $g(8)$.
4. Résoudre l'équation $g(x)=2$.
5. Résoudre l'inéquation $g(x)>0$.

Un bassin de $180$ m${}^3$ est rempli par une pompe de débit $d$ m${}^3$/h, avec $d>0$. On note $T(d)$ la durée nécessaire, en heures, pour remplir le bassin.

1. Exprimer $T(d)$ en fonction de $d$.
2. Calculer $T(6)$, $T(9)$ et $T(18)$.
3. Le débit double-t-il si l'on passe de $d=9$ à $d=18$ ? Que devient alors la durée $T(d)$ ? Commenter à l'aide du sens de variation de la fonction inverse.
4. Quel débit faut-il choisir pour remplir le bassin en $4$ heures exactement ?