Exercices de Les fonctions de référence, Seconde (page 3)

Un rectangle a pour largeur $x$ centimètres (avec $x>0$) et pour longueur $x+3$ centimètres. On note $A(x)$ l'aire de ce rectangle, en ${\text{cm}}^2$.

1. Exprimer $A(x)$ en fonction de $x$, puis développer l'expression obtenue.
2. Calculer $A(2)$ et $A(5)$.
3. Vérifier que pour tout $x$, $x^2+3x-40=(x-5)(x+8)$.
4. En déduire la solution positive de l'équation $A(x)=40$.

On souhaite comparer, pour $x\ge 0$, les nombres $\sqrt{x}$ et $x^3$.

1. Calculer $\sqrt{x}$ et $x^3$ pour $x=0$, $x=1$ et $x=4$. Que remarque-t-on pour $x=0$ et $x=1$ ?
2. Sur l'intervalle $[0;1]$, comparer $\sqrt{0,25}$ et $0,25^3$.
3. Sur l'intervalle $[1;+\infty [$, comparer $\sqrt{4}$ et $4^3$.
4. Conjecturer, selon la position de $x$ par rapport à $0$ et $1$, lequel de $\sqrt{x}$ ou de $x^3$ est le plus grand.

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt{x-2}+3$.

1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$.
2. Donner le sens de variation de $f$ sur son ensemble de définition, en justifiant à l'aide du sens de variation de la fonction racine carrée.
3. Calculer $f(2)$, $f(6)$ et $f(11)$.
4. Résoudre l'inéquation $f(x)\le 5$.

On considère le système suivant, d'inconnue $x$ réelle :$$\{\begin{array}{l}{x}^2\le 16\\ \sqrt{x}\ge 2\end{array}$$1. Résoudre l'inéquation $x^2\le 16$.
2. Déterminer l'ensemble de définition de $\sqrt{x}$, puis résoudre l'inéquation $\sqrt{x}\ge 2$.
3. En déduire l'ensemble des solutions du système.

Lors d'une expérience, la distance parcourue par une bille en chute libre, en mètres, après $t$ secondes ($t\ge 0$), est modélisée par $d(t)=5t^2$.

1. Quelle fonction de référence reconnaît-on dans l'expression de $d(t)$, restreinte à $t\ge 0$ ?
2. Calculer $d(2)$ et $d(4)$.
3. Au bout de combien de temps la bille a-t-elle parcouru $45$ mètres ? On résoudra l'équation $d(t)=45$.
4. Sans calculer $d(3)$ ni $d(3,5)$, comparer ces deux valeurs à l'aide du sens de variation de $d$.

Dans un repère, on rappelle que l'image du point $M(x;y)$ par la translation de vecteur $\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ est le point $M^{\prime }(x+a;y+b)$, puisque le vecteur $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}$ doit avoir pour coordonnées $\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$. Dire qu'une courbe ${\mathcal{C}}_2$ s'obtient à partir d'une courbe ${\mathcal{C}}_1$ par une translation signifie que l'image de tout point de ${\mathcal{C}}_1$ est un point de ${\mathcal{C}}_2$, et que tout point de ${\mathcal{C}}_2$ est l'image d'un point de ${\mathcal{C}}_1$.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, et justifier.

1. La courbe de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=(x-3{)}^2$ s'obtient à partir de la courbe de la fonction carré par la translation de vecteur $\vec{u}\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)$, c'est-à-dire une translation de $3$ unités vers la droite.
2. La courbe de la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=x^2+4$ s'obtient à partir de la courbe de la fonction carré par la translation de vecteur $\vec{v}\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\end{array}\right)$, c'est-à-dire une translation de $4$ unités vers la gauche.
3. La courbe de la fonction $k$ définie sur $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ par $k(x)=\frac{1}{x+1}$ s'obtient à partir de la courbe de la fonction inverse par la translation de vecteur $\vec{w}\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right)$, c'est-à-dire une translation de $1$ unité vers la gauche.
4. La fonction $m$ définie sur $\mathbb{R}$ par $m(x)=(x+2{)}^3$ a le même sens de variation que la fonction cube sur $\mathbb{R}$.

On considère la fonction affine $f(x)=-3x+1$, définie sur $\mathbb{R}$. On sait que $2\le x\le 5$.

1. Le coefficient directeur de $f$ est-il positif ou négatif ? Qu'en déduit-on sur le sens de variation de $f$ ?
2. En déduire un encadrement de $-3x$, puis de $f(x)=-3x+1$, à partir de l'encadrement $2\le x\le 5$.
3. Vérifier l'encadrement obtenu en calculant $f(2)$ et $f(5)$.

On considère le système suivant, d'inconnue $x$ réelle :$$\{\begin{array}{l}(x-1{)}^2\le 9\\ x^3\ge -1\end{array}$$1. Résoudre l'inéquation $(x-1{)}^2\le 9$.
2. Résoudre l'inéquation $x^3\ge -1$, en utilisant le sens de variation de la fonction cube.
3. En déduire l'ensemble des solutions du système.

On dispose d'une longueur totale de $24$ mètres de clôture pour délimiter un enclos rectangulaire. On note $x$ la longueur d'un des côtés, avec $0<x<12$, et $A(x)$ l'aire de l'enclos, en ${\text{m}}^2$.

1. Justifier que le côté consécutif (perpendiculaire à celui de longueur $x$) mesure $12-x$, puis exprimer $A(x)$ en fonction de $x$.
2. Vérifier que pour tout $x$, $A(x)=36-(x-6{)}^2$.
3. En utilisant le fait qu'un carré est toujours positif ou nul, déterminer la valeur maximale possible de $A(x)$, ainsi que la valeur de $x$ pour laquelle cette aire maximale est atteinte.
4. Calculer $A(4)$ et $A(8)$, et vérifier qu'elles sont bien inférieures à l'aire maximale trouvée.

On souhaite comparer, pour $x\ge 0$, les nombres $\sqrt{x+1}$ et $\sqrt{x}+1$.

1. Justifier que ces deux nombres sont positifs, puis expliquer pourquoi comparer $\sqrt{x+1}$ et $\sqrt{x}+1$ revient à comparer leurs carrés $x+1$ et $(\sqrt{x}+1{)}^2$.
2. Développer $(\sqrt{x}+1{)}^2$, sachant que $(\sqrt{x}{)}^2=x$.
3. Comparer $x+1$ et $(\sqrt{x}+1{)}^2$ pour $x\ge 0$.
4. En déduire une comparaison entre $\sqrt{x+1}$ et $\sqrt{x}+1$, valable pour tout $x\ge 0$.
5. Vérifier ce résultat pour $x=3$ (valeurs arrondies au centième).

On sait que $2\le x\le 5$.

1. Rappeler le sens de variation de la fonction inverse sur $]0;+\infty [$.
2. En déduire un encadrement de $\frac{1}{x}$.
3. En déduire un encadrement de $\frac{3}{x}+1$.

Sur l'intervalle $]0;+\infty [$, on compare les courbes des fonctions $f(x)=x^2$ et $g(x)=\frac{8}{x}$.

1. Justifier que, pour $x>0$, l'inégalité $x^2<\frac{8}{x}$ équivaut à $x^3<8$.
2. En utilisant le sens de variation de la fonction cube, résoudre $x^3<8$ pour $x>0$.
3. En déduire, pour $x>0$, la position relative de la courbe de $f$ par rapport à celle de $g$ selon les valeurs de $x$.
4. Vérifier le résultat en calculant $f(1)$, $g(1)$, $f(4)$ et $g(4)$.

On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=x^2-4$.

1. Calculer $h(0)$, $h(2)$ et $h(3)$.
2. Déterminer les antécédents de $0$ par $h$.
3. En utilisant les variations de la fonction carré, résoudre l'inéquation $h(x)>0$.

Sans calculer leur valeur exacte, comparer les nombres suivants en utilisant uniquement leur signe (sans utiliser le sens de variation).

1. $\frac{1}{-3}$ et $\frac{1}{5}$
2. $(-3{)}^2$ et $\frac{1}{-2}$
3. $\frac{1}{-0,5}$ et $0$
4. $\sqrt{2}$ et $\frac{1}{-4}$

On considère la fonction carré $f(x)=x^2$, définie sur $\mathbb{R}$, et la fonction inverse $g(x)=\frac{1}{x}$, définie sur $\mathbb{R}\setminus \{0\}$. On pose $h(x)=f(x)\times g(x)$.

1. Simplifier l'expression de $h(x)$ et préciser son domaine de définition.
2. Rappeler si $f$ est paire ou impaire, puis si $g$ est paire ou impaire.
3. Calculer $h(-x)$ en fonction de $h(x)$, et en déduire si $h$ est paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre.
4. Vérifier ce résultat en calculant $h(2)$ et $h(-2)$.

Le cours donne les positions relatives des courbes $y=x$ et $y=x^2$ uniquement pour $x\ge 0$. On s'intéresse ici au cas où $x$ est strictement négatif.

1. Justifier que, pour tout réel $x$ non nul, on a $x^2>0$.
2. Rappeler le signe de $x$ lorsque $x<0$.
3. En déduire que, pour tout $x<0$, on a $x<x^2$.
4. Vérifier ce résultat pour $x=-3$ et $x=-0,5$.

On considère la fonction $g$ définie par $g(x)=-\frac{1}{x}$.

1. Déterminer le domaine de définition de $g$.
2. Calculer $g(-x)$ en fonction de $x$, et en déduire si $g$ est paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre.
3. On admet que multiplier une fonction par $-1$ inverse son sens de variation sur chaque intervalle. Sachant que la fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty [$, quel est le sens de variation de $g$ sur $]0;+\infty [$ ?
4. En utilisant ce sens de variation, comparer $g(3)$ et $g(7)$, puis vérifier par le calcul.

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt{x^2-16}$.

1. Rappeler la condition que doit vérifier une expression pour être sous une racine carrée.
2. En déduire que le domaine de définition de $f$ est l'ensemble des solutions de l'inéquation $x^2\ge 16$.
3. Résoudre l'inéquation $x^2\ge 16$.
4. Donner le domaine de définition de $f$, puis vérifier que $f(5)$ et $f(-5)$ sont bien définis, mais que $f(0)$ ne l'est pas.

On donne l'encadrement $1\le x\le 4$.

1. La fonction racine carrée étant croissante sur $[0;+\infty [$, en déduire un encadrement de $\sqrt{x}$.
2. La fonction carré étant croissante sur $[0;+\infty [$, en déduire un encadrement de $x^2$.
3. En additionnant membre à membre les deux encadrements précédents, en déduire un encadrement de $\sqrt{x}+x^2$.
4. Vérifier la cohérence du résultat pour $x=4$.

On souhaite comparer, pour $x\ge 0$, les nombres $x^2$ et $\sqrt{x}$, en réutilisant des résultats déjà connus.

1. Pour $x\ge 0$, expliquer pourquoi comparer $x$ et $\sqrt{x}$ (deux nombres positifs ou nuls) revient à comparer $x^2$ et $(\sqrt{x}{)}^2=x$.
2. Sur l'intervalle $[0;1]$, rappeler la comparaison entre $x^2$ et $x$ donnée par le cours. En déduire une comparaison entre $x$ et $\sqrt{x}$ sur $[0;1]$.
3. En combinant les inégalités $x^2\le x$ et $x\le \sqrt{x}$ sur $[0;1]$, conclure sur la comparaison entre $x^2$ et $\sqrt{x}$ sur cet intervalle.
4. Sur l'intervalle $[1;+\infty [$, le cours donne $x\le x^2$. En procédant de manière analogue, montrer que $\sqrt{x}\le x^2$ sur cet intervalle.
5. Vérifier les deux résultats pour $x=0,25$ et $x=9$.

On veut résoudre dans $\mathbb{R}$ le système formé des deux conditions suivantes : $\sqrt{x}\le 3$ et $x^2\ge 4$.

1. Déterminer le domaine de définition de $\sqrt{x}$, puis résoudre l'inéquation $\sqrt{x}\le 3$.
2. Résoudre l'inéquation $x^2\ge 4$ en utilisant les variations de la fonction carré.
3. En déduire l'ensemble des réels $x$ vérifiant les deux conditions à la fois.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentant la fonction carré $f(x)=x^2$ dans un repère, et on considère la droite horizontale d'équation $y=k$, où $k$ est un réel quelconque.

1. Expliquer pourquoi résoudre l'équation $x^2=k$ revient à chercher les abscisses des points communs à $\mathcal{C}$ et à la droite $y=k$.
2. En utilisant les variations de la fonction carré (décroissante sur $]-\infty ;0]$, croissante sur $[0;+\infty [$, de minimum $0$), discuter, selon le signe de $k$, le nombre de points d'intersection de $\mathcal{C}$ avec la droite $y=k$.
3. Retrouver ce résultat par le calcul pour $k=-4$, $k=0$ et $k=9$.
4. Comparer avec le nombre de points d'intersection de l'hyperbole d'équation $y=\frac{1}{x}$ avec une droite horizontale $y=m$, selon les valeurs de $m$.

On considère une fonction $f$ de la forme $f(x)=a+\frac{b}{x}$, définie sur $\mathbb{R}\setminus \{0\}$, où $a$ et $b$ sont deux réels à déterminer. On sait que $f(1)=5$ et $f(2)=3$.

1. Traduire les données $f(1)=5$ et $f(2)=3$ par deux équations d'inconnues $a$ et $b$.
2. Résoudre ce système et en déduire l'expression de $f(x)$.
3. On admet que multiplier la fonction inverse par un réel positif, puis lui ajouter une constante, ne change pas son sens de variation. En déduire le sens de variation de $f$ sur $]0;+\infty [$.
4. Résoudre l'équation $f(x)=-1$.

On considère une fonction $g$ de la forme $g(x)=a{x}^2$ (la fonction carré multipliée par un réel $a$ non nul), définie sur $\mathbb{R}$. On sait que la courbe de $g$ passe par le point de coordonnées $(2;-12)$.

1. En utilisant ce point, déterminer la valeur de $a$.
2. En déduire l'expression de $g(x)$, puis calculer $g(1)$ et $g(-3)$.
3. On admet que multiplier une fonction par un réel négatif inverse son sens de variation. En déduire le sens de variation de $g$ sur $\mathbb{R}$, ainsi que son extremum et la valeur en laquelle il est atteint.
4. Résoudre l'équation $g(x)=-27$.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant.

1. L'équation $\frac{1}{x}=x$ admet une unique solution réelle.
2. La fonction carré est strictement décroissante sur l'intervalle $[-5;-1]$.
3. Pour tout réel $x$, on a $x^2\ge x$.
4. Sur l'intervalle $[0;1]$, on a $\sqrt{x}\ge x$.
5. Si $f$ est une fonction impaire définie en $0$, alors nécessairement $f(0)=1$.

L'intensité d'un signal, mesurée en unités arbitraires, décroît avec la distance $d$ (en mètres, $d>0$) à l'antenne qui l'émet, selon la loi $P(d)=\frac{100}{d^2}$.

1. Calculer $P(2)$, $P(5)$ et $P(10)$.
2. On veut justifier que $P$ est décroissante sur $]0;+\infty [$, sans calculer d'autres valeurs. La fonction carré étant croissante sur $]0;+\infty [$, comment évolue $d^2$ lorsque $d$ augmente ? La fonction inverse étant décroissante sur $]0;+\infty [$, comment évolue $\frac{1}{d^2}$ lorsque $d^2$ augmente ? Conclure sur le sens de variation de $P$.
3. Résoudre l'équation $P(d)=4$.
4. Résoudre l'inéquation $P(d)>25$, et interpréter le résultat en termes de distance à l'antenne.

On souhaite résoudre l'inéquation $(I):\frac{1}{x}\le x$.

1. Déterminer le domaine sur lequel cette inéquation a un sens.
2. Étudier le cas $x>0$ : montrer que $(I)$ équivaut à $x^2\ge 1$, puis résoudre.
3. Étudier le cas $x<0$ : montrer que $(I)$ équivaut à $x^2\le 1$ (attention au sens de l'inégalité lorsqu'on multiplie par un nombre négatif), puis résoudre.
4. En réunissant les deux cas, donner l'ensemble des solutions de $(I)$, puis vérifier avec $x=2$ et $x=0,5$.