Exercices de Les fonctions de référence, Seconde (page 2)

On souhaite déterminer, sans étudier de dérivée, l'ensemble des réels $x$ tels que $x^3\ge x^2$.

1. Vérifier que l'inéquation $x^3\ge x^2$ équivaut à $x^2(x-1)\ge 0$.
2. Étudier le signe de $x^2$ pour tout réel $x$, puis le signe de $x-1$ selon les valeurs de $x$.
3. En déduire le signe de $x^2(x-1)$ selon les valeurs de $x$, puis l'ensemble des solutions de l'inéquation $x^3\ge x^2$.
4. Retrouver ce résultat, pour $x\ge 0$, à l'aide du cours sur les positions relatives des courbes $y=x^2$ et $y=x^3$.

Une entreprise fabrique $x$ objets par jour ($x\ge 0$). Le coût de fabrication, en euros, est $C(x)=15x+100$ et la recette est $R(x)=x^2$.

1. Calculer $C(x)$ et $R(x)$ pour $x=5$, $x=10$, $x=20$ et $x=30$, et présenter les résultats dans un tableau.
2. D'après ce tableau, pour quelles valeurs de $x$ l'entreprise semble-t-elle en perte (c'est-à-dire $R(x)<C(x)$) ? Pour quelle valeur semble-t-elle en bénéfice ?
3. Vérifier par le calcul que $R(20)=C(20)$.
4. En admettant que, pour $x\ge 0$, la différence $R(x)-C(x)$ ne change de signe qu'en cette valeur $x=20$, conclure sur l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles l'entreprise réalise un bénéfice strict.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant.

1. La fonction carré est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
2. La fonction racine carrée est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier.
3. La fonction cube est impaire.
4. Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, $a<b$ entraîne $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$.
5. L'équation $x^2=-9$ n'admet aucune solution réelle.

On souhaite résoudre dans $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ l'inéquation $\frac{1}{x}\le x$.

1. Expliquer pourquoi on ne peut pas multiplier directement les deux membres par $x$ sans étudier son signe au préalable.
2. On étudie le cas $x>0$. Montrer que l'inéquation équivaut alors à $x^2\ge 1$, puis résoudre ce cas.
3. On étudie le cas $x<0$. Montrer que l'inéquation équivaut alors à $x^2\le 1$, puis résoudre ce cas en tenant compte de la condition $x<0$.
4. Conclure en donnant l'ensemble des solutions sur $\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

On considère les fonctions $f(x)=2x+1$, $g(x)=x^2$ et $h(x)=x^3$, toutes trois définies sur $\mathbb{R}$.

1. Calculer $f(3)$ et $f(-2)$.
2. Calculer $g(6)$ et $g(-4)$.
3. Calculer $h(2)$ et $h(-3)$.

Déterminer le domaine de définition de chacune des fonctions suivantes.

1. $f(x)=\sqrt{2x+8}$
2. $g(x)=\frac{1}{x-5}$
3. $h(x)=x^2-3x+1$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ par $f(x)=5-\frac{2}{x}$.

a) Calculer les images de $1$ et de $-4$ par $f$.

b) Calculer l'antécédent de $7$ par $f$.

On considère la fonction affine $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-5x+2$.

1. La fonction $f$ est-elle croissante ou décroissante sur $\mathbb{R}$ ? Justifier à l'aide du coefficient de $x$.
2. En déduire, sans les calculer, une comparaison entre $f(1)$ et $f(6)$.
3. Vérifier ce résultat en calculant $f(1)$ et $f(6)$.
4. Résoudre l'équation $f(x)=-13$.

On considère la fonction $f(x)=x^2+3$, définie sur $\mathbb{R}$.

1. Calculer $f(-4)$, $f(0)$ et $f(4)$.
2. On admet que $f$ a le même sens de variation que la fonction carré. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-4;4]$.
3. Résoudre l'équation $f(x)=12$.
4. Comparer, pour tout réel $x$, $f(x)$ et $x^2$. Qu'en déduit-on sur la position de la courbe de $f$ par rapport à la parabole $y=x^2$ ?

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{x}$.

1. Quelle condition faut-il imposer sur $x$ pour que $\sqrt{x}$ soit défini ?
2. Quelle condition faut-il imposer sur $x$ pour que $\frac{1}{x}$ soit défini ?
3. En déduire le domaine de définition de $f$.
4. Calculer $f(4)$ et $f(1)$.

On considère la fonction cube $f(x)=x^3$, définie sur $\mathbb{R}$.

1. Rappeler le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$ tout entier.
2. Sans calculer les puissances, ranger dans l'ordre croissant les quatre réels $-3$, $0,5$, $2$ et $-0,5$.
3. En déduire, sans calculer, l'ordre croissant des quatre images $(-3{)}^3$, $0,5^3$, $2^3$ et $(-0,5{)}^3$.
4. Vérifier ce résultat en calculant les quatre images.

On considère la fonction racine carrée $f(x)=\sqrt{x}$, définie sur $[0;+\infty [$.

1. Ranger dans l'ordre croissant les quatre réels $3$, $0$, $10$ et $0,5$.
2. En déduire, sans calculer les racines carrées, l'ordre croissant de $\sqrt{3}$, $\sqrt{0}$, $\sqrt{10}$ et $\sqrt{0,5}$.

Étudier la parité de chacune des fonctions suivantes.

1. $f(x)=x^4-3x^2$, définie sur $\mathbb{R}$.
2. $g(x)=2x^3-x$, définie sur $\mathbb{R}$.
3. $h(x)=x^2-x^3$, définie sur $\mathbb{R}$.
4. $k(x)=\frac{3}{x^2+2}$, définie sur $\mathbb{R}$.

On considère la fonction $g(x)=\sqrt{x-4}$.

1. Déterminer le domaine de définition de $g$.
2. Calculer $g(4)$, $g(8)$ et $g(13)$.
3. On admet que $g$ a le même sens de variation que la fonction racine carrée (translation horizontale). Donner ce sens de variation sur le domaine de $g$.
4. Résoudre l'équation $g(x)=5$.
5. Résoudre l'inéquation $g(x)\le 3$.

On considère la fonction carré $f(x)=x^2$ et on donne l'encadrement $-4\le x\le -1$.

1. Sur quel intervalle de référence ($]-\infty ;0]$ ou $[0;+\infty [$) se trouvent les valeurs de $x$ données ? Quel est le sens de variation de $f$ sur cet intervalle ?
2. Calculer $f(-4)$ et $f(-1)$.
3. En utilisant le sens de variation de $f$, en déduire un encadrement de $x^2$ (attention au sens des inégalités).

Un cube a une arête de longueur $x$ centimètres, avec $x>0$. On note $V(x)$ le volume de ce cube, en ${\text{cm}}^3$.

1. Exprimer $V(x)$ en fonction de $x$. Quelle fonction de référence reconnaît-on, restreinte à $x>0$ ?
2. Calculer $V(4)$ et $V(0,5)$.
3. Un cube a un volume de $125{\text{cm}}^3$. Déterminer la longueur de son arête.
4. Sans calculer les deux volumes, comparer $V(2,5)$ et $V(3,1)$, en justifiant à l'aide du sens de variation de $V$.
5. On veut que le volume du cube soit strictement supérieur à $64{\text{cm}}^3$. Déterminer, par le calcul, l'ensemble des longueurs d'arête $x$ possibles.

Un trajet de $240$ km est parcouru à une vitesse constante $v$ km/h, avec $v>0$. On note $T(v)$ la durée du trajet, en heures.

1. Exprimer $T(v)$ en fonction de $v$. Quelle fonction de référence reconnaît-on ?
2. Calculer $T(60)$ et $T(80)$.
3. Sans calculer, comparer $T(40)$ et $T(120)$, en justifiant à l'aide du sens de variation de $T$.
4. Quelle vitesse faut-il choisir pour effectuer le trajet en exactement $2$ heures ?

Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes, en utilisant la stricte croissance de la fonction cube sur $\mathbb{R}$.

1. $(x-2{)}^3=-27$
2. $(x+1{)}^3=8$
3. $(x-5{)}^3=0$

On considère la fonction $h(x)=(x+1{)}^3-2$, définie sur $\mathbb{R}$.

1. On admet que $h$ a le même sens de variation que la fonction cube (translation). Quel est ce sens de variation sur $\mathbb{R}$ ?
2. Calculer $h(-1)$ et $h(1)$.
3. Résoudre l'équation $h(x)=6$.
4. Résoudre l'inéquation $h(x)\ge -2$.

On considère les fonctions $f(x)=x^2$ et $g(x)=-x^2+8$, définies sur $\mathbb{R}$.

1. Vérifier que $f(x)-g(x)=2(x-2)(x+2)$.
2. Étudier le signe de $(x-2)(x+2)$ selon les valeurs de $x$.
3. En déduire les intervalles sur lesquels la courbe de $f$ est au-dessus de celle de $g$, ceux où elle est en dessous, et les points où les deux courbes se coupent.
4. Vérifier la cohérence de ce résultat en calculant $f(0)$, $g(0)$, $f(3)$ et $g(3)$.

On veut qu'un carré ait une aire strictement inférieure à $50{\text{cm}}^2$. On note $x$ la longueur, en cm, du côté de ce carré, avec $x>0$.

1. Écrire l'inéquation vérifiée par $x$.
2. On admet que, pour $x>0$, $x^2<50⟺x<\sqrt{50}$. Résoudre l'inéquation obtenue à la question 1.
3. Donner un encadrement de $\sqrt{50}$ par deux entiers consécutifs, sans calculatrice.
4. En déduire si un côté de $7$ cm convient.

On souhaite comparer, pour $x\ge 0$, les nombres $\sqrt{x}$ et $x$.

1. Justifier que, pour $x\ge 0$, comparer $\sqrt{x}$ et $x$ revient à comparer $x$ et $x^2$ (on pourra élever au carré les deux membres, tous deux positifs ou nuls).
2. Résoudre l'inéquation $x\le x^2$ pour $x\ge 0$, en factorisant $x^2-x$.
3. En déduire l'ensemble des $x\ge 0$ pour lesquels $\sqrt{x}\le x$, puis celui pour lequel $\sqrt{x}\ge x$.
4. Vérifier ces résultats pour $x=0,25$ et $x=4$.

On veut résoudre dans $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ le système formé des deux conditions suivantes : $x^2\le 25$ et $\frac{1}{x}>0$.

1. Résoudre l'inéquation $x^2\le 25$.
2. Résoudre l'inéquation $\frac{1}{x}>0$.
3. En déduire l'ensemble des réels $x$ vérifiant les deux conditions à la fois.

On veut résoudre dans $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ le système formé des deux conditions suivantes : $x^2\ge 9$ et $\frac{1}{x}<0$.

1. Résoudre l'inéquation $x^2\ge 9$.
2. Résoudre l'inéquation $\frac{1}{x}<0$.
3. En déduire l'ensemble des réels $x$ vérifiant les deux conditions à la fois.

La courbe d'une fonction $f$ est une hyperbole. On sait qu'elle passe par le point de coordonnées $(2;5)$, et on écrit $f(x)=3+\frac{a}{x-1}$ pour un certain réel $a$.

1. En utilisant le point $(2;5)$, déterminer la valeur de $a$.
2. En déduire l'expression complète de $f(x)$, puis calculer $f(3)$ et $f(0)$.
3. Résoudre l'équation $f(x)=7$.
4. Résoudre l'inéquation $f(x)>3$.

On souhaite comparer, sur $\mathbb{R}$, les nombres $x$ et $x^3$, sans utiliser de dérivée.

1. Vérifier que $x^3-x=x(x-1)(x+1)$.
2. Étudier le signe de $x$, de $x-1$ et de $x+1$ selon les valeurs de $x$.
3. En déduire le signe du produit $x(x-1)(x+1)$, puis l'ensemble des solutions de l'inéquation $x^3\ge x$.
4. Vérifier la cohérence de ce résultat pour $x=-2$, $x=-0,5$, $x=0,5$ et $x=2$.

On considère les fonctions $f(x)=x^2$ et $g(x)=5x-4$, définies sur $\mathbb{R}$.

1. Vérifier que $f(x)-g(x)=(x-1)(x-4)$.
2. Étudier le signe de $(x-1)(x-4)$ selon les valeurs de $x$.
3. En déduire les intervalles sur lesquels la courbe de $f$ est au-dessus de celle de $g$, ceux où elle est en dessous, et les points où les deux courbes se coupent.
4. Vérifier la cohérence de ce résultat en calculant $f(0)$, $g(0)$, $f(2)$ et $g(2)$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $(x-3{)}^2\le 16$.

1. Justifier que $(x-3{)}^2\le 16$ équivaut à $-4\le x-3\le 4$.
2. En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation.
3. Vérifier le résultat pour $x=-1$, $x=3$ et $x=7$.

On considère la fonction carré $f(x)=x^2$, définie sur $\mathbb{R}$.

1. Compléter le tableau de valeurs suivant :$$\begin{array}{cccccccc}x& -3& -2& -1& 0& 1& 2& 3\\ f(x)& & & & & & & \end{array}$$2. Que remarque-t-on en comparant $f(-3)$ et $f(3)$, puis $f(-2)$ et $f(2)$ ?
3. Comment s'appelle la propriété observée à la question précédente ?

On considère la fonction carré $f(x)=x^2$, définie sur $\mathbb{R}$.

1. Déterminer les deux antécédents de $16$ par $f$.
2. Déterminer les deux antécédents de $0,25$ par $f$.
3. La fonction $f$ admet-elle un antécédent pour le nombre $-9$ ? Justifier.

On considère la fonction cube $f(x)=x^3$, définie sur $\mathbb{R}$.

1. Rappeler la règle donnant le signe de $x^3$ en fonction du signe de $x$.
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $x^3=0$.
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $x^3>0$.
4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $x^3<0$.

On considère la fonction affine $f(x)=-2x+5$, définie sur $\mathbb{R}$.

1. Justifier, sans calculer les images, que $f(1)>f(4)$.
2. Calculer $f(1)$ et $f(4)$ pour vérifier ce résultat.

On considère la fonction inverse $f(x)=\frac{1}{x}$, définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$.

1. Calculer $f(-2)$ et $f(4)$.
2. En déduire le signe de la somme $f(-2)+f(4)$.
3. Calculer $f(-2)+f(4)$ pour vérifier.

On considère la fonction racine carrée $f(x)=\sqrt{x}$, définie sur $[0;+\infty [$.

1. Écrire $8$ sous la forme $4\times 2$, puis en déduire une écriture simplifiée de $\sqrt{8}$.
2. Simplifier de la même façon $\sqrt{12}$ et $\sqrt{20}$.
3. Calculer $f(8)$, $f(12)$ et $f(20)$ à l'aide des résultats précédents (valeurs arrondies au centième).

On considère la fonction $h$ définie par $h(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{x-1}$.

1. Pour quelles valeurs de $x$ l'expression $\sqrt{x}$ est-elle définie ?
2. Pour quelles valeurs de $x$ l'expression $\frac{1}{x-1}$ est-elle définie ?
3. En déduire l'ensemble de définition de $h$.
4. Calculer $h(4)$ et $h(9)$.

On considère la fonction carré $f(x)=x^2$, définie sur $\mathbb{R}$.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $x^2\ge 1$.
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $x^2\le 9$.
3. En déduire l'ensemble des solutions de l'encadrement $1\le x^2\le 9$.

On considère la fonction cube, strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $(x+1{)}^3\ge 0$.
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $(x-2{)}^3<-8$.

Soit $f$ une fonction paire définie sur $\mathbb{R}$ telle que $f(3)=7$. Soit $g$ une fonction impaire définie sur $\mathbb{R}$ telle que $g(5)=-2$.

1. Rappeler la définition d'une fonction paire, puis en déduire la valeur de $f(-3)$.
2. Rappeler la définition d'une fonction impaire, puis en déduire la valeur de $g(-5)$.
3. On sait de plus que $g(0)$ existe. Que peut-on dire de sa valeur ? Justifier à l'aide de la parité de $g$.

On souhaite comparer les nombres $2\sqrt{5}$ et $\sqrt{18}$.

1. Écrire $2\sqrt{5}$ sous la forme d'une unique racine carrée $\sqrt{k}$, où $k$ est un entier.
2. En utilisant le sens de variation de la fonction racine carrée, comparer $\sqrt{20}$ et $\sqrt{18}$.
3. En déduire une comparaison entre $2\sqrt{5}$ et $\sqrt{18}$.