Exercices de Les vecteurs en maths Seconde

1. $Bonhomme heureux et triste$

Le quadrillage est muni d'un repère dont l'unité est le côté d'un carreau. On y a placé les points :

K (1; 8)

L (5; 9)

G (9; 6)

H (11; 9)

A (3; 5)

F (6; 5)

E (3; 3)

C (1; 4)

S (11; 7)

T (7; 10)

U (1; 6)

V (5; 3)

.
Le bonhomme heureux est dessiné autour du point

P (1; 1)

, centre de son visage, et le bonhomme triste autour du point

R (11; 1)

, centre de son visage.
Une translation fait glisser toute la figure de la même façon : pour déplacer un bonhomme, il suffit de suivre le centre de son visage.

1. Déplacer le bonhomme heureux selon les translations de vecteurs

K L

G H

A F

A E

puis

A C

, chaque translation partant de la position obtenue à la précédente. Donner les positions successives du point

P

.
2. Déplacer de même le bonhomme triste selon les translations de vecteurs

S T

puis

U V

. Donner les positions successives du point

R

. Que remarque-t-on ?

2. $Dromadaire heureux et triste$

Le quadrillage est muni d'un repère d'origine

O

, dont l'unité est le côté d'un carreau. On y a placé les points :

I (2; 11)

J (7; 11)

A (8; 7)

B (9; 10)

F (11; 3)

D (6; 10)

Q (10; 2)

R (6; 1)

M (3; 4)

N (3; 1)

P (1; 3)

O (0; 0)

.
Le dromadaire heureux est dessiné autour du point

H (1; 2)

, sommet de sa bosse, et le dromadaire triste autour du point

T (13; 12)

, sommet de sa bosse.
Une translation fait glisser toute la figure de la même façon : pour déplacer un dromadaire, il suffit de suivre le sommet de sa bosse.

1. Déplacer le dromadaire heureux selon les translations de vecteurs

I J

A B

A F

puis

A D

, chaque translation partant de la position obtenue à la précédente. Donner les positions successives du point

H

.
2. Déplacer de même le dromadaire triste selon les translations de vecteurs

QR

M N

M P

puis

M O

. Donner les positions successives du point

T

Voir le corrigé

Pour chaque vecteur

X Y

, on lit le déplacement qui mène de

X

Y

: l'abscisse de

Y

moins celle de

X

donne le nombre de carreaux vers la droite (vers la gauche si elle est négative), l'ordonnée de

Y

moins celle de

X

le nombre de carreaux vers le haut (vers le bas si elle est négative). On applique ce déplacement au sommet de la bosse, puis on redessine le dromadaire autour de sa nouvelle position : la translation respecte la direction, le sens et la longueur du vecteur, et le dromadaire garde sa forme et ses dimensions.

1. Le dromadaire heureux part de

H (1; 2)

I J

: de

I (2; 11)

J (7; 11)

7 - 2 = 5

11 - 11 = 0

, soit

5

carreaux vers la droite.

H

vient en

H_{1} (6; 2)

A B

: de

A (8; 7)

B (9; 10)

9 - 8 = 1

10 - 7 = 3

, soit

1

carreau vers la droite et

3

vers le haut.

H_{1}

vient en

H_{2} (7; 5)

A F

: de

A (8; 7)

F (11; 3)

11 - 8 = 3

3 - 7 = - 4

, soit

3

carreaux vers la droite et

4

vers le bas.

H_{2}

vient en

H_{3} (10; 1)

A D

: de

A (8; 7)

D (6; 10)

6 - 8 = - 2

10 - 7 = 3

, soit

2

carreaux vers la gauche et

3

vers le haut.

H_{3}

vient en

H_{4} (8; 4)

.
Le dromadaire heureux termine autour de

H_{4} (8; 4)

: au total, il s'est déplacé de

7

carreaux vers la droite et de

2

carreaux vers le haut.

2. Le dromadaire triste part de

T (13; 12)

QR

: de

Q (10; 2)

R (6; 1)

6 - 10 = - 4

1 - 2 = - 1

, soit

4

carreaux vers la gauche et

1

vers le bas.

T

vient en

T_{1} (9; 11)

M N

: de

M (3; 4)

N (3; 1)

3 - 3 = 0

1 - 4 = - 3

, soit

3

carreaux vers le bas.

T_{1}

vient en

T_{2} (9; 8)

M P

: de

M (3; 4)

P (1; 3)

1 - 3 = - 2

3 - 4 = - 1

, soit

2

carreaux vers la gauche et

1

vers le bas.

T_{2}

vient en

T_{3} (7; 7)

M O

: de

M (3; 4)

O (0; 0)

0 - 3 = - 3

0 - 4 = - 4

, soit

3

carreaux vers la gauche et

4

vers le bas.

T_{3}

vient en

T_{4} (4; 3)

.
Le dromadaire triste termine autour de

T_{4} (4; 3)

: au total, il s'est déplacé de

9

carreaux vers la gauche et de

9

carreaux vers le bas.

3. $Construction par étapes$

Pour construire la figure 1, tracez un rectangle

A B C D

tel que

A B = 4

cm et

B C = 10

cm.
Construisez la médiatrice

(D)

[A B]

.
Soit

I

un point de

[A B]

tel que

I B = 1, 5

cm.
Menez par

I

la perpendiculaire à

(I B)

et placez-y le point

J

1, 5

cm de

I

, tracez

[J B]

.
Construisez

[J E]

tel que

J E = 3, 5

cm et

I J E = 7 0^{\circ}

.
Soit

F

le point de

[B C]

tel que

B F = 9

cm.
Construisez le point

G

tel que

(E G) // (B F)

(F G) // (J E)

.
(Remarque

GF C = 7 0^{\circ}

).
Terminez en faisant une symétrie d'axe

(D)

.

La figure 2 est l'image de la figure 1 par la translation qui envoie

E^{'}

sur

E_{2}^{'}

E_{2}^{'}

étant situé sur

[E G]

5, 5

cm de

E

.
La figure 3 est l'image de la figure 1 par la translation qui envoie

E

sur

E_{3}

E_{3}

étant situé sur

[E^{'} G^{'}]

3, 5

cm de

E^{'}

.
La figure 4 est l'image de la figure 3 par la translation qui envoie

J_{3}

sur

J_{4}

J_{4}

étant situé sur

(B_{3} C_{3})

5, 5

cm de

B_{3}

.
La figure 5 est l'image de la figure 2 par la translation qui envoie

J_{2}^{'}

sur

J_{5}^{'}

J_{5}^{'}

étant situé sur

[E G]

8

cm de

E

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4. $Itinéraire vectoriel$

Dans un repère orthonormé d'origine

P

(unité : un carreau), la rose des vents de la carte a pour centre

P (0; 0)

et pour pointes les huit points

N (0; 1)

(nord),

H (1; 1)

E (1; 0)

(est),

K (1; - 1)

S (0; - 1)

(sud),

L (- 1; - 1)

O (- 1; 0)

(ouest) et

M (- 1; 1)

.
Vous êtes en

A (6; 7)

.
Pour rejoindre l'arrivée, suivez le programme de construction :
1) Construire le point

B

tel que

A B = P E

.
2) Construire le point

C

image du point

B

par la translation de vecteur

P L

.
3) Construire le point

D

tel que

C D = P K + P S

.
4) Construire le point

F

tel que

D F = P S + P M

.
5) Construire le point

G

tel que

F G = P G + GE

.
6) Construire le point

I

tel que

G I = P N - K P

.
7) Construire le point

J

tel que

I J = P I + P E + I H

.
8) Construire le point

Q

image du point

J

par la translation de vecteur

P S

.
9) Construire le point

R

tel que

QR = P L + P O + P S

.
10) Construire le point

T

image du point

R

par la translation de vecteur

P O

suivie de la translation de vecteur

P M

.
11) Construire le point

U

tel que

T U = P H + P N

.
12) Construire le point

V

tel que

U V = 2 P H

.
13) Construire le point

W

tel que

V W = P V + P W + V S + W L

.
14) Construire le point

X

tel que

W X = X M - X P

.
15) Construire le point

Y

tel que

Y X = 2 L P

.
16) Construire le point

Z

tel que

Y Z = P E + P K + P E

.
17) Construire le point

A^{'}

tel que

A^{'} Z = N P + L P

.
18) Construire le point

B^{'}

tel que

A^{'} B^{'} = P M + P O + P L

.
19) Construire le point

C^{'}

tel que

B^{'} C^{'} = P O + P M

.
20) Construire le point

D^{'}

tel que

C^{'} D^{'} = P H + P O + P S

.
21) Construire le point

E^{'}

image de

D^{'}

par la translation de vecteur

3 P E

.
22) Construire le point

F^{'}

tel que

E^{'} F^{'} = P K - L P

.
L'arrivée se trouve en

F^{'}

. Construire le parcours sur un quadrillage et donner les coordonnées du point d'arrivée

F^{'}

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5. $Vecteur nul et points confondus$

On considère un point

M

du plan.
a) Que vaut le vecteur

M M

?
b) Deux points

P

Q

sont tels que

P Q = 0

. Que peut-on en conclure sur

P

Q

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6. $Vecteurs opposés$

Deux vecteurs

u

v

ont la même direction et la même norme, mais des sens contraires.
a) Comment appelle-t-on de tels vecteurs ?
b) Écrire une relation entre

u

v

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7. $Vecteurs égaux et parallélogramme$

A B C D

est un parallélogramme. Que peut-on dire des vecteurs

A B

D C

? Justifier.

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8. $Translation et parallélogramme$

On considère la translation qui transforme le point

A

en un point

B

. Un point

C

a pour image le point

D

par cette même translation.
a) Quelle relation lie les vecteurs

A B

C D

?
b) Que peut-on en déduire pour le quadrilatère

A B D C

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9. $Vrai ou faux sur les vecteurs$

Répondre par vrai ou faux, en justifiant :
a) Le vecteur nul a une direction bien définie.
b) Deux vecteurs égaux ont nécessairement la même norme.
c) Un vecteur et son opposé ont la même direction.

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10. $Simplifier une somme de deux vecteurs$

Simplifier l'écriture

R S + S T

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11. $Chasles avec trois vecteurs$

Simplifier l'écriture

A B + B C + C D

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12. $Somme nulle sur un quadrilatère$

E F G H

est un quadrilatère quelconque. Montrer que

E F + F G + G H + H E = 0

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13. $Réordonner une somme de vecteurs$

Simplifier l'écriture

M P + N M + P N

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14. $Milieu défini par une égalité vectorielle$

I

est un point tel que

A I = I B

. Que représente le point

I

pour le segment

[A B]

? Justifier.

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15. $Construire un point par combinaison de vecteurs$

u

v

sont deux vecteurs donnés et

O

est un point du plan. Décrire la construction du point

M

tel que

O M = 2 u - v

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16. $Colinéarité à partir d'une relation$

Deux vecteurs

u

v

vérifient

2 u - 5 v = 0

. Montrer que

u

v

sont colinéaires.

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17. $Vecteur opposé dans une somme$

Soit

u

un vecteur non nul. Simplifier l'expression

u + (- u) + 3 u

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18. $Diagonale d'un parallélogramme$

A B C D

est un parallélogramme. Montrer que

A B + A D = A C

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19. $Milieu obtenu par deux parallélogrammes$

M N P Q

M R N Q

sont deux parallélogrammes. Montrer que

N

est le milieu du segment

[P R]

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20. $Parallélisme de deux droites$

A

B

C

sont trois points du plan.

D

est le point tel que

A D = 3 A B

E

est le point tel que

A E = 3 A C

. Montrer que les droites

(D E)

(B C)

sont parallèles.

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21. $Construire un point avec trois vecteurs$

A B C

est un triangle et

O

un point du plan. Décrire la construction du point

N

tel que

O N = O A + O B - O C

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22. $Égalité de vecteurs et parallélogramme$

A

B

C

D

sont quatre points du plan tels que

A B = D C

. Montrer que

A D = B C

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23. $Théorème des milieux avec les vecteurs$

I

est le milieu du segment

[A B]

J

est le milieu du segment

[A C]

. Montrer que les vecteurs

I J

B C

sont colinéaires.

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24. $Quadrilatère des milieux$

A B C D

est un quadrilatère quelconque (les points ne sont pas alignés).

I

J

K

L

sont respectivement les milieux des segments

[A B]

[B C]

[C D]

[D A]

. Montrer que le quadrilatère

I J K L

est un parallélogramme.

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25. $Simplifier une longue somme de vecteurs$

A

B

C

D

E

sont cinq points du plan. Simplifier l'écriture

A B + B C - D C + D E - A E

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26. $Alignement par décomposition vectorielle$

A B C

est un triangle.

I

est le milieu de

[B C]

G

est le point tel que

A G = \frac{2}{3} A I

J

est le milieu de

[A C]

. Montrer que les points

B

G

J

sont alignés.

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27. $Symétrique d'un point et parallélogramme$

A B C D

est un parallélogramme.

E

est le symétrique du point

A

par rapport au point

C

. Exprimer le vecteur

D E

en fonction des vecteurs

A B

A D

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28. $Alignement et milieu dans un triangle$

A B C

est un triangle.

D

est le point tel que

A D = \frac{1}{4} A B

E

est le point tel que

A E = \frac{1}{4} A C

F

est le milieu de

[B C]

G

est le milieu de

[D E]

. Montrer que les points

A

G

F

sont alignés.

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29. $Comparer deux vecteurs de même norme et direction$

Deux vecteurs

u

v

ont la même norme et la même direction, mais on ne connaît pas leurs sens respectifs. Que peut-on affirmer sur les vecteurs

u

v

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30. $Translation et égalité de vecteurs$

On considère une translation de vecteur

u

non nul. Un point

A

a pour image

A^{'}

et un point

B

a pour image

B^{'}

.
a) Que valent les vecteurs

A A^{'}

B B^{'}

?
b) Montrer que

A B = A^{'} B^{'}

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31. $Colinéarité et points alignés$

A

B

C

sont trois points du plan tels que les vecteurs

A B

A C

sont colinéaires et non nuls. Que peut-on dire des points

A

B

C

? Justifier.

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32. $Produit d'un vecteur par un réel négatif$

Soit

u

un vecteur non nul. Comparer les vecteurs

2 u

- 2 u

: ont-ils la même direction ? le même sens ? la même norme ?

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33. $Translation et points distincts$

Un point

A

a pour image le point

B

par une translation de vecteur

u

non nul. Les points

A

B

peuvent-ils être confondus ? Justifier.

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34. $Simplifier une somme sur un triangle$

F

G

H

sont trois points du plan. Simplifier l'écriture

F G + G H + H F

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35. $Colinéarité et sens de deux vecteurs$

Deux vecteurs

u

v

non nuls vérifient

3 u + 6 v = 0

.
a) Montrer que

u

v

sont colinéaires.
b) Ont-ils le même sens ou des sens contraires ?

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36. $Milieu défini par un coefficient$

A

B

M

sont trois points du plan tels que

2 A M = A B

. Montrer que

M

est le milieu du segment

[A B]

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37. $Simplifier une combinaison de vecteurs$

A

B

C

sont trois points du plan. Simplifier l'écriture

2 A B + B C - A B

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38. $Deux translations successives$

On applique à un point

A

une translation de vecteur

u

, qui donne un point

B

, puis on applique à

B

une translation de vecteur

v

, qui donne un point

C

. Exprimer le vecteur

A C

en fonction de

u

v

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39. $Diagonale et vecteurs opposés$

A B C D

est un parallélogramme. Montrer que

C A = B A + D A

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40. $Position d'un point sur une droite$

A

B

I

sont trois points tels que

A I = 3 A B

.
a) Que peut-on dire des points

A

B

I

?
b) Le point

I

est-il situé entre

A

B

, ou en dehors du segment

[A B]

? Justifier.

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1.Bonhomme heureux et triste

2.Dromadaire heureux et triste

3.Construction par étapes

4.Itinéraire vectoriel

5.Vecteur nul et points confondus

6.Vecteurs opposés

7.Vecteurs égaux et parallélogramme

8.Translation et parallélogramme

9.Vrai ou faux sur les vecteurs

10.Simplifier une somme de deux vecteurs

11.Chasles avec trois vecteurs

12.Somme nulle sur un quadrilatère

13.Réordonner une somme de vecteurs

14.Milieu défini par une égalité vectorielle

15.Construire un point par combinaison de vecteurs

16.Colinéarité à partir d'une relation

17.Vecteur opposé dans une somme

18.Diagonale d'un parallélogramme

19.Milieu obtenu par deux parallélogrammes

20.Parallélisme de deux droites

21.Construire un point avec trois vecteurs

22.Égalité de vecteurs et parallélogramme

23.Théorème des milieux avec les vecteurs

24.Quadrilatère des milieux

25.Simplifier une longue somme de vecteurs

26.Alignement par décomposition vectorielle

27.Symétrique d'un point et parallélogramme

28.Alignement et milieu dans un triangle

29.Comparer deux vecteurs de même norme et direction

30.Translation et égalité de vecteurs

31.Colinéarité et points alignés

32.Produit d'un vecteur par un réel négatif

33.Translation et points distincts

34.Simplifier une somme sur un triangle

35.Colinéarité et sens de deux vecteurs

36.Milieu défini par un coefficient

37.Simplifier une combinaison de vecteurs

38.Deux translations successives

39.Diagonale et vecteurs opposés

40.Position d'un point sur une droite

1. $Bonhomme heureux et triste$

2. $Dromadaire heureux et triste$

3. $Construction par étapes$

4. $Itinéraire vectoriel$

5. $Vecteur nul et points confondus$

6. $Vecteurs opposés$

7. $Vecteurs égaux et parallélogramme$

8. $Translation et parallélogramme$

9. $Vrai ou faux sur les vecteurs$

10. $Simplifier une somme de deux vecteurs$

11. $Chasles avec trois vecteurs$

12. $Somme nulle sur un quadrilatère$

13. $Réordonner une somme de vecteurs$

14. $Milieu défini par une égalité vectorielle$

15. $Construire un point par combinaison de vecteurs$

16. $Colinéarité à partir d'une relation$

17. $Vecteur opposé dans une somme$

18. $Diagonale d'un parallélogramme$

19. $Milieu obtenu par deux parallélogrammes$

20. $Parallélisme de deux droites$

21. $Construire un point avec trois vecteurs$

22. $Égalité de vecteurs et parallélogramme$

23. $Théorème des milieux avec les vecteurs$

24. $Quadrilatère des milieux$

25. $Simplifier une longue somme de vecteurs$

26. $Alignement par décomposition vectorielle$

27. $Symétrique d'un point et parallélogramme$

28. $Alignement et milieu dans un triangle$

29. $Comparer deux vecteurs de même norme et direction$

30. $Translation et égalité de vecteurs$

31. $Colinéarité et points alignés$

32. $Produit d'un vecteur par un réel négatif$

33. $Translation et points distincts$

34. $Simplifier une somme sur un triangle$

35. $Colinéarité et sens de deux vecteurs$

36. $Milieu défini par un coefficient$

37. $Simplifier une combinaison de vecteurs$

38. $Deux translations successives$

39. $Diagonale et vecteurs opposés$

40. $Position d'un point sur une droite$