Exercices de Les vecteurs, Seconde (page 3)

Répondre par vrai ou faux, en justifiant :
a) Si deux vecteurs ont la même norme, ils sont égaux.
b) Le vecteur $3\vec{u}$ et le vecteur $\vec{u}$ ont le même sens, pour tout vecteur $\vec{u}$ non nul.
c) Un vecteur et son opposé ont la même direction.

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ vérifient $5\vec{u}-2\vec{v}=\vec{0}$. Montrer que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

Soit $\vec{u}$ un vecteur non nul. On pose $\vec{v}=-\frac{5}{2}\vec{u}$.
a) Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont-ils le même sens ou des sens contraires ?
b) Comparer les normes de $\vec{u}$ et de $\vec{v}$.

$A$, $B$, $C$ sont trois points. Simplifier l'expression $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}$.

$A$ et $B$ sont deux points distincts, et $I$ est le milieu de $[AB]$. $C$ est le symétrique de $A$ par rapport à $I$.
a) Exprimer $\overrightarrow{IC}$ en fonction de $\overrightarrow{IA}$.
b) En déduire que $C=B$.

Un skieur part d'un point $A$. Il descend une première piste, ce qui correspond au vecteur déplacement $\overrightarrow{AB}$, puis une seconde piste correspondant au vecteur $\overrightarrow{BC}$. On donne $\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AB}$.
a) Exprimer $\overrightarrow{AC}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$.
b) Les points $A$, $B$, $C$ sont-ils alignés ? Justifier.

$ABC$ est un triangle. On considère le point $D$ tel que $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$.
a) Écrire $\overrightarrow{AD}$ comme une somme de deux vecteurs, en faisant apparaître $\overrightarrow{CB}$.
b) En déduire une construction possible du point $D$.

$ABC$ est un triangle et $M$ est le milieu de $[BC]$. Montrer que $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.

$ABCD$ est un quadrilatère tel que $\overrightarrow{AB}=\frac{3}{2}\overrightarrow{DC}$.
a) Que peut-on dire des droites $(AB)$ et $(DC)$ ?
b) Sachant de plus que $AB=6$ cm, calculer la longueur $DC$.

$A$, $B$, $C$ sont trois points non alignés. $D$ est le point tel que $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.
a) Montrer que $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}$.
b) En déduire que les droites $(BD)$ et $(AC)$ sont parallèles et que $BD=AC$.

$A$, $B$, $C$ sont trois points et $G$ est le point tel que $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+2\overrightarrow{GC}=\vec{0}$. Soit $J$ le milieu de $[AB]$.
a) Montrer que $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GJ}$.
b) En déduire que les points $G$, $J$, $C$ sont alignés.

$A$, $B$, $D$ sont trois points tels que $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AC}$. Soit $M$ le milieu de $[BD]$.
a) Montrer que $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}$ (on pourra d'abord exprimer $\overrightarrow{AM}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$).
b) Que peut-on en conclure pour les points $M$ et $C$ ?

$ABC$ est un triangle et $G$ est son centre de gravité, caractérisé par $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$. Soit $M$ un point quelconque du plan. Montrer que $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.

$ABCD$ est un parallélogramme. On note $I$ le milieu de $[AC]$.
a) Montrer que $I$ est aussi le milieu de $[BD]$.
b) En déduire une expression de $\overrightarrow{AI}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$.

$A$, $B$, $C$ sont trois points tels que $\overrightarrow{AC}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}$. Soit $D$ le point tel que $\overrightarrow{BD}=\frac{5}{2}\overrightarrow{AB}$.
a) Montrer que les points $A$, $B$, $C$ sont alignés, et préciser la position de $A$ par rapport à $B$ et $C$.
b) Exprimer $\overrightarrow{AD}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$, et en déduire que $A$, $B$, $C$, $D$ sont alignés.

$ABCD$ est un quadrilatère quelconque (pas nécessairement un parallélogramme). $P$ est le milieu de $[AB]$ et $Q$ est le milieu de $[CD]$.
a) Montrer que $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)$ (on pourra exprimer $\overrightarrow{PQ}$ de deux façons différentes, en passant par $A$ et $D$ d'une part, par $B$ et $C$ d'autre part, puis additionner les deux égalités).
b) On suppose de plus que $ABCD$ est un parallélogramme, ce qui donne $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Montrer qu'alors $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AD}$, et en déduire que $PQDA$ est un parallélogramme.

$ABCD$ est un parallélogramme. On pose $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$ et $\vec{b}=\overrightarrow{AD}$ (ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, car $A$, $B$, $D$ ne sont pas alignés). Le point $S$ vérifie à la fois $\overrightarrow{AS}=\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b}$ et $\overrightarrow{AS}=(2x-1)\vec{a}+(1-2y)\vec{b}$, où $x$ et $y$ sont deux réels. Déterminer $x$ et $y$.

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan. La translation de vecteur $\vec{u}$ transforme un point $M$ quelconque en un point $M_1$ tel que $\overrightarrow{M{M}_1}=\vec{u}$. La translation de vecteur $\vec{v}$ transforme ensuite $M_1$ en un point $M_2$ tel que $\overrightarrow{M_1{M}_2}=\vec{v}$.
a) Exprimer $\overrightarrow{M{M}_2}$ en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
b) On note $N$ le point obtenu en appliquant à $M$ directement la translation de vecteur $\vec{u}+\vec{v}$. Montrer que $N=M_2$.
c) Que peut-on en conclure sur la composée de deux translations ?

$ABC$ est un triangle. $E$ est le point tel que $\overrightarrow{AE}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$, et $F$ est le point du segment $[CB]$ tel que $\overrightarrow{CF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{CB}$.
a) Exprimer $\overrightarrow{AF}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ (on exprimera d'abord $\overrightarrow{CB}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$).
b) Montrer que les points $A$, $E$, $F$ ne sont pas alignés.

Votre bateau est mouillé par l'étrave (la pointe avant) au moyen d'une ancre. Vous n'êtes pas à bord, mais vous pouvez surveiller la position de votre bateau sur un écran GPS déporté sur votre téléphone portable.
L'écran affiche une carte munie d'un repère orthonormé gradué en mètres : l'axe des abscisses est orienté vers l'Est, l'axe des ordonnées vers le Nord. Le bateau y est dessiné vu de dessus :

• la poupe (l'arrière) est le segment $[AB]$, avec $A(18;18)$ et $B(22;18)$ ;
• les deux flancs sont les segments $[AD]$ et $[BC]$, avec $C(22;27)$ et $D(18;27)$ ;
• l'avant est formé des segments $[CE]$ et $[DE]$, qui se rejoignent en pointe à l'étrave $E$, située $3$ m au Nord du milieu du segment $[DC]$.

1. À quelles coordonnées se trouve l'étrave $E$ de votre bateau dans le repère de l'écran ?
2. Quelle est la longueur totale du bateau ? Quelle est la largeur du bateau ?

On reprend le bateau de la question 1, dessiné vu de dessus dans le repère orthonormé de l'écran GPS, gradué en mètres (axe des abscisses orienté vers l'Est, axe des ordonnées vers le Nord) : sa poupe est le segment $[AB]$, ses flancs sont $[AD]$ et $[BC]$, et son avant se termine en pointe à l'étrave $E$, avec $A(18;18)$, $B(22;18)$, $C(22;27)$, $D(18;27)$ et $E(20;30)$.

Malheureusement vous avez mal fixé la chaîne de l'ancre, qui se détache, et votre navire se met à dériver sous l'action conjuguée du vent et du courant.
On admettra que le bateau dérive à vitesse constante, avec un mouvement de translation, sans rotation.
Quand vous vous apercevez que votre bateau a rompu son amarre, une minute s'est déjà écoulée. Pendant cette minute, le déplacement du bateau est représenté :

• pour l'action du vent, par le vecteur $\overrightarrow{\text{Vent}}\left(\begin{array}{c}6\\ 12\end{array}\right)$ ;
• pour l'action du courant, par le vecteur $\overrightarrow{\text{Courant}}\left(\begin{array}{c}10\\ 0\end{array}\right)$.

Autrement dit, en une minute, le vent déplace chaque point du bateau de $6$ m vers l'Est et de $12$ m vers le Nord, et le courant le déplace de $10$ m vers l'Est.

1. Déterminer la nouvelle position du bateau que vous montre votre GPS : calculer les coordonnées des points $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ et $E_1$, positions de $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ au bout de cette minute. Quelles sont la forme et les dimensions du bateau dans cette nouvelle position ?
2. L'action conjuguée du vent et du courant peut être représentée par un vecteur unique, que l'on nomme $\overrightarrow{\text{Deˊrive}}$. Donner les coordonnées de ce vecteur et expliquer comment le tracer sur la carte, puis vérifier que $\overrightarrow{E{E}_1}=\overrightarrow{\text{Deˊrive}}$.

On reprend la situation des questions 1 et 2, dans le repère orthonormé de l'écran GPS, gradué en mètres (axe des abscisses orienté vers l'Est, axe des ordonnées vers le Nord).

• Au moment où l'ancre s'est détachée, le bateau, vu de dessus, avait pour sommets $A(18;18)$, $B(22;18)$, $C(22;27)$, $D(18;27)$ et pour étrave (sa pointe avant) le point $E(20;30)$.
• Chaque minute, le bateau subit la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{Deˊrive}}=\overrightarrow{\text{Vent}}+\overrightarrow{\text{Courant}}$, avec $\overrightarrow{\text{Vent}}\left(\begin{array}{c}6\\ 12\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{\text{Courant}}\left(\begin{array}{c}10\\ 0\end{array}\right)$.
• La côte, rectiligne, est la droite horizontale formée des points d'ordonnée $50$ : au Nord de cette droite, c'est la terre.

Une minute s'est déjà écoulée depuis la rupture de l'amarre, et vous estimez qu'une autre minute vous est encore nécessaire pour pouvoir rejoindre votre navire.

1. Calculer les coordonnées du point théorique $E_2$ où se trouverait l'étrave du bateau au bout de cette minute supplémentaire, c'est-à-dire deux minutes après la rupture de l'amarre.
2. Arriverez-vous à temps pour éviter que votre bateau soit échoué sur la côte ?

On reprend la situation des questions 1 à 3, dans le repère orthonormé de l'écran GPS, gradué en mètres (axe des abscisses orienté vers l'Est, axe des ordonnées vers le Nord) :

• au moment où l'ancre s'est détachée, le bateau, vu de dessus, avait pour sommets $A(18;18)$, $B(22;18)$, $C(22;27)$, $D(18;27)$ et pour étrave (sa pointe avant) le point $E(20;30)$ ;
• pendant une minute, l'action du vent est représentée par $\overrightarrow{\text{Vent}}\left(\begin{array}{c}6\\ 12\end{array}\right)$ et celle du courant par $\overrightarrow{\text{Courant}}\left(\begin{array}{c}10\\ 0\end{array}\right)$ ;
• la côte, rectiligne, est la droite horizontale formée des points d'ordonnée $50$ : au Nord de cette droite, c'est la terre ;
• vous ne pouvez rejoindre votre bateau que deux minutes après la rupture de l'amarre.

Reprendre les questions 2 et 3 en remplaçant le vecteur $\overrightarrow{\text{Vent}}$ par le vecteur $\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{Vent}}$ (un vent deux fois moins fort), le courant étant inchangé :

1. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{{\text{Deˊrive}}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{Vent}}+\overrightarrow{\text{Courant}}$, puis celles des points $A_1^{\prime }$, $B_1^{\prime }$, $C_1^{\prime }$, $D_1^{\prime }$ et $E_1^{\prime }$, positions de $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ au bout d'une minute.
2. Calculer les coordonnées du point $E_2^{\prime }$ où se trouverait l'étrave au bout de deux minutes. Arriverez-vous à temps pour éviter que votre bateau soit échoué sur la côte ?

On travaille sur un quadrillage dont chaque nœud est repéré par ses coordonnées (abscisse ; ordonnée), l'unité étant le carreau : les abscisses augmentent vers la droite et les ordonnées vers le haut.

Acte 1. Un télésiège est représenté par la ligne brisée $AHKL$ : la perche $[AH]$, l'assise $[HK]$ et le garde-corps $[KL]$, avec $A(2;9)$, $H(2;4)$, $K(5;4)$ et $L(5;6)$. Le point $A$ est la pince qui accroche le télésiège au câble. Le câble monte en ligne droite de $A$ jusqu'au point $B(14;14)$ ; le télésiège glisse le long du câble jusqu'à ce que la pince arrive en $B$, en restant suspendu à la verticale (il ne se penche pas).

Acte 2. La cabine d'un téléphérique est représentée par le rectangle $MNPQ$, avec $M(20;15)$, $N(24;15)$, $P(24;10)$ et $Q(20;10)$. Elle descend en ligne droite, sans tourner, jusqu'à ce que le sommet $M$ arrive au point $M^{\prime }(12;9)$.

Acte 3. Une luge est représentée par le triangle $UVW$, avec $U(3;20)$, $V(7;20)$ et $W(3;22)$. Elle glisse en ligne droite sur la piste, sans tourner, jusqu'à ce que le sommet $U$ arrive au point $U^{\prime }(9;12)$.

1. Dessiner à main levée le télésiège après son déplacement en $B$ : pour cela, donner les coordonnées des points $H^{\prime }$, $K^{\prime }$ et $L^{\prime }$, positions de $H$, $K$ et $L$ quand la pince est en $B$.
2. Faire de même pour les actes 2 et 3 : donner les coordonnées des sommets de la cabine et de la luge après leur déplacement.

Sur un quadrillage, chaque nœud est repéré par ses coordonnées (abscisse ; ordonnée), l'unité étant le carreau : les abscisses augmentent vers l'Est et les ordonnées vers le Nord.
On a dessiné six figures, données par leurs sommets :

• $F_1$ : le triangle de sommets $(0;0)$, $(2;0)$ et $(0;3)$ ;
• $F_2$ : le quadrilatère de sommets $(10;8)$, $(13;8)$, $(14;10)$ et $(11;10)$ ;
• $F_3$ : le triangle de sommets $(7;1)$, $(9;1)$ et $(9;4)$ ;
• $F_4$ : le triangle de sommets $(5;6)$, $(7;6)$ et $(5;9)$ ;
• $F_5$ : le quadrilatère de sommets $(2;12)$, $(5;12)$, $(6;14)$ et $(3;14)$ ;
• $F_6$ : le triangle de sommets $(1;-5)$, $(3;-5)$ et $(3;-2)$.

1. Grouper les figures deux par deux de façon que l'on passe de l'une à l'autre par glissement en suivant les lignes du quadrillage.
2. Dans chaque cas, préciser le glissement de la façon suivante.
Exemple : déplacement « 2 carreaux vers l'Est et 3 carreaux vers le Nord ».

On considère la flotte suivante, sur un quadrillage dont chaque nœud est repéré par ses coordonnées (abscisse ; ordonnée), l'unité étant le carreau ; les abscisses augmentent vers l'Est et les ordonnées vers le Nord.

• $C$ = cuirassé, au point $C(6;3)$ ;
• $T$ = torpilleur, au point $T(9;6)$ ;
• $P$ = porte-avions, au point $P(13;4)$ ;
• $S$ = sous-marin, au point $S(10,5;7,5)$. ATTENTION : $S$ n'est pas sur un nœud du quadrillage.

Chaque bateau de la flotte se déplace de « 3 carreaux Est et 2 carreaux Nord ».

1. Placer les points $C^{\prime }$, $T^{\prime }$ et $P^{\prime }$, positions des trois bateaux après le déplacement, et donner leurs coordonnées.
2. Calculer une valeur approchée des distances $C{C}^{\prime }$, $T{T}^{\prime }$ et $P{P}^{\prime }$.
3. Expliquer comment construire à la règle et au compas le point $S^{\prime }$, position du sous-marin après le déplacement, à partir des points $C$, $C^{\prime }$ et $S$. Vérifier ensuite les coordonnées de $S^{\prime }$ par le calcul.
4. Recommencer les questions 1 et 3 avec le déplacement « 5 carreaux Ouest et 4 carreaux Nord ». On note $C_2$, $T_2$, $P_2$ et $S_2$ les nouvelles positions.
5. Recommencer les questions 1 et 3 avec le déplacement « 6 carreaux Est et 3 carreaux Sud ». On note $C_3$, $T_3$, $P_3$ et $S_3$ les nouvelles positions.

Sur un quadrillage, on repère chaque nœud par ses coordonnées dans un repère dont l'unité est le côté d'un carreau : l'axe des abscisses est orienté vers l'Est et l'axe des ordonnées vers le Nord.
Chaque figure est schématisée par un polygone dont les sommets sont donnés dans un tableau ; on la trace en reliant ses sommets dans l'ordre.

Tracer chaque figure, puis la déplacer sur le quadrillage selon les indications qui suivent son tableau. Donner les coordonnées des sommets de la figure obtenue.

Acte 1 : Les deux bonhommes
Le premier bonhomme est le quadrilatère $ABCD$ :Déplacement : $5$ carreaux vers l'Est et $1$ carreau vers le Nord. On obtient le second bonhomme $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Acte 2 : Les deux dromadaires
Le premier dromadaire est le quadrilatère $EFGH$ :Déplacement : $3$ carreaux vers l'Ouest et $4$ carreaux vers le Nord. On obtient le second dromadaire $E^{\prime }{F}^{\prime }{G}^{\prime }{H}^{\prime }$.

Acte 3 : Chien et chat
Le chien est le triangle $KLM$ :Déplacement du chien : $4$ carreaux vers l'Est et $3$ carreaux vers le Sud. On obtient le triangle $K^{\prime }{L}^{\prime }{M}^{\prime }$.

Le chat est le triangle $NPQ$ :Déplacement du chat : $2$ carreaux vers l'Est et $2$ carreaux vers le Sud. On obtient le triangle $N^{\prime }{P}^{\prime }{Q}^{\prime }$.