Exercices de Les vecteurs, Seconde (page 2)

$ABCD$ et $DCEF$ sont deux parallélogrammes. Montrer que $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{BE}$.

$ABCD$ est un parallélogramme non aplati. $I$ est le milieu de la diagonale $[AC]$. Montrer que $I$ est aussi le milieu de la diagonale $[BD]$.

$ABC$ est un triangle. $I$ est le milieu de $[BC]$. Montrer que $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}$.

$A$ et $B$ sont deux points du plan. $D$ est le symétrique du point $A$ par rapport au point $B$. $C$ est un troisième point quelconque du plan. Exprimer le vecteur $\overrightarrow{CD}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{CA}$ et $\overrightarrow{CB}$.

$ABCD$ est un quadrilatère quelconque. Montrer que $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$.

$ABC$ est un triangle. $J$ est le milieu de $[AC]$. $K$ est le point tel que $\overrightarrow{BK}=2\overrightarrow{BJ}$.
a) Montrer que $\overrightarrow{BJ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})$.
b) En déduire que $\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$.
c) Montrer que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{KC}$, puis que le quadrilatère $ABCK$ est un parallélogramme.

$ABC$ est un triangle. $I$ est le milieu de $[AB]$. $J$ est le milieu de $[BC]$. $G$ est le point tel que $\overrightarrow{CG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CI}$.
a) Montrer que $\overrightarrow{CI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$.
b) Montrer que $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AJ}$.
c) Que peut-on en conclure pour les points $A$, $G$ et $J$ ?

$A$ et $B$ sont deux points distincts du plan. Trouver, en le caractérisant par une égalité du type $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$, le point $M$ tel que $3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}$.

$ABCD$ est un parallélogramme. $E$ est le point tel que $C$ soit le milieu du segment $[BE]$. Montrer que $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AC}$.

$ABC$ est un triangle. $I$ est le milieu de $[BC]$. $D$ est le symétrique du point $A$ par rapport à $I$.
a) Montrer que $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.
b) En déduire que $ABDC$ est un parallélogramme.

$ABCD$ est un quadrilatère quelconque (non croisé, points non alignés). $I$, $J$, $K$, $L$ sont les milieux respectifs des côtés $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[DA]$. On admet que le quadrilatère $IJKL$ est un parallélogramme. $M$ est le milieu de la diagonale $[IK]$ et $N$ est le milieu de la diagonale $[JL]$. Montrer que les points $M$ et $N$ sont confondus.

Soit $\vec{u}$ un vecteur quelconque du plan. En utilisant la définition de la colinéarité, justifier que le vecteur nul $\vec{0}$ est colinéaire à $\vec{u}$.

Soit $\vec{u}$ un vecteur non nul et $\vec{v}=-\frac{2}{3}\vec{u}$.
a) Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils colinéaires ? Justifier.
b) Ont-ils le même sens ou des sens contraires ?
c) Comparer les normes de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

Répondre par vrai ou faux, en justifiant :
a) Deux vecteurs colinéaires sont toujours égaux.
b) Un vecteur et son double ont la même direction.
c) Si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$, alors $B=C$.

Soit $\vec{u}$ un vecteur non nul. On pose $\vec{v}=4\vec{u}$ et $\vec{w}=-6\vec{u}$.
a) Exprimer $\vec{w}$ en fonction de $\vec{v}$.
b) Les vecteurs $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont-ils colinéaires ? Ont-ils le même sens ?

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs. On considère trois points $O$, $P$, $Q$ tels que $\overrightarrow{OP}=\vec{u}$ et $\overrightarrow{PQ}=\vec{v}$.
a) Exprimer $\overrightarrow{OQ}$ en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
b) Exprimer $\overrightarrow{QO}$ en fonction de $\overrightarrow{QP}$ et $\overrightarrow{PO}$, puis en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
c) En déduire que $-(\vec{u}+\vec{v})=(-\vec{u})+(-\vec{v})$.

$A$ et $B$ sont deux points distincts. $C$ est le symétrique du point $B$ par rapport au point $A$.
a) Exprimer $\overrightarrow{AC}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$.
b) En déduire une expression de $\overrightarrow{BC}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$.

Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ vérifient $\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\vec{0}$. On considère trois points $A$, $B$, $C$ tels que $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$ et $\overrightarrow{BC}=\vec{v}$.
a) Exprimer $\overrightarrow{AC}$ en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
b) Montrer que $\overrightarrow{CA}=\vec{w}$.

Un anneau situé en un point $O$ est maintenu par trois câbles exerçant des forces représentées par les vecteurs $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$ et $\overrightarrow{F_3}$. L'anneau étant à l'équilibre, on admet que $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}$. On sait de plus que $\overrightarrow{F_1}=2\overrightarrow{F_3}$.
a) Exprimer $\overrightarrow{F_2}$ en fonction de $\overrightarrow{F_3}$.
b) Les vecteurs $\overrightarrow{F_2}$ et $\overrightarrow{F_3}$ sont-ils colinéaires ? Ont-ils le même sens ?

Un drone part d'un point $A$. Il effectue un premier déplacement représenté par le vecteur $\vec{u}$ jusqu'à un point $B$, puis un second déplacement représenté par le vecteur $2\vec{u}$ jusqu'à un point $C$, puis un dernier déplacement représenté par le vecteur $-3\vec{u}$ jusqu'à un point $D$.
a) Exprimer le vecteur $\overrightarrow{AD}$ en fonction de $\vec{u}$.
b) Que peut-on dire de la position du point $D$ par rapport au point $A$ ? Justifier.

Un randonneur part d'un point $A$, passe successivement par les points $B$, $C$, $D$, $E$, puis revient à son point de départ $A$. Montrer que la somme des déplacements successifs vérifie $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EA}=\vec{0}$.

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non nuls vérifient $5\vec{u}+4\vec{v}=3\vec{v}-2\vec{u}$. Montrer que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires et préciser s'ils ont le même sens.

$\vec{b}$ et $\vec{c}$ sont deux vecteurs non colinéaires. On considère le vecteur $\vec{w}=(x-2)\vec{b}+3\vec{c}$, où $x$ est un réel. Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle $\vec{w}$ est colinéaire à $\vec{c}$.

$ABC$ est un triangle. On pose $\vec{b}=\overrightarrow{AB}$ et $\vec{c}=\overrightarrow{AC}$. Le point $P$ vérifie à la fois $\overrightarrow{AP}=2\vec{b}-\vec{c}$ et $\overrightarrow{AP}=(m+1)\vec{b}+(n-2)\vec{c}$, où $m$ et $n$ sont deux réels. Déterminer les valeurs de $m$ et $n$.

$A$, $B$, $J$ sont trois points tels que $\overrightarrow{AJ}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
a) Montrer que les points $A$, $B$, $J$ sont alignés.
b) Le point $J$ appartient-il au segment $[AB]$ ? Préciser la position de $A$ par rapport à $J$ et $B$.

$ABC$ est un triangle. On pose $\vec{b}=\overrightarrow{AB}$ et $\vec{c}=\overrightarrow{AC}$. $M$ est le point tel que $\overrightarrow{AM}=3\vec{b}-2\vec{c}$. $N$ est le point tel que $\overrightarrow{AN}=x\vec{b}-\vec{c}$, où $x$ est un réel. Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle les points $A$, $M$, $N$ sont alignés.

$ABCD$ est un quadrilatère (non aplati) dont les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu $O$. Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme.

$ABCD$ et $ABEF$ sont deux parallélogrammes de côté commun $[AB]$. Montrer que le quadrilatère $DCEF$ est un parallélogramme.

$ABC$ est un triangle et $O$ un point quelconque du plan. $A^{\prime }$ est le symétrique de $A$ par rapport à $O$, et $B^{\prime }$ est le symétrique de $B$ par rapport à $O$. Montrer que $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}$.

$ABCD$ est un parallélogramme. $E$ est le symétrique du point $D$ par rapport au point $A$. Exprimer le vecteur $\overrightarrow{CE}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$.

$A$ est un point du plan et $\vec{u}$, $\vec{v}$ sont deux vecteurs. $M$ est le point tel que $\overrightarrow{AM}=\vec{u}$. $N$ est l'image de $M$ par la translation de vecteur $\vec{v}$. $P$ est l'image de $N$ par la translation de vecteur $-\vec{u}$. Exprimer le vecteur $\overrightarrow{AP}$ en fonction de $\vec{v}$ uniquement. Que peut-on en conclure ?

$A$, $B$, $C$ sont trois points non alignés. Déterminer, en le nommant par une propriété géométrique simple, le point $M$ défini par $2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.

$ABCD$ est un trapèze tel que les droites $(AB)$ et $(DC)$ sont parallèles, avec $\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{AB}$. $M$ est le milieu de la diagonale $[AC]$ et $N$ est le milieu de la diagonale $[BD]$.
a) Montrer que $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$.
b) En déduire que $\overrightarrow{MN}=-\overrightarrow{AB}$.
c) Que peut-on en conclure pour les droites $(MN)$ et $(AB)$ ?

$ABC$ est un triangle. $I$, $J$, $K$ sont les milieux respectifs des côtés $[BC]$, $[CA]$ et $[AB]$.
a) Montrer que $\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$.
b) Montrer de même que $\overrightarrow{JK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$ et $\overrightarrow{KI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.
c) Que peut-on en déduire sur le périmètre du triangle $IJK$ par rapport à celui du triangle $ABC$ ?

$ABCD$ est un parallélogramme. $M$ est le point de la diagonale $[AC]$ tel que $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$. $N$ est le point de la diagonale $[BD]$ tel que $\overrightarrow{BN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$. Montrer que $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$, puis en déduire que les droites $(MN)$ et $(AB)$ sont parallèles.

On considère un vecteur $\vec{u}=\overrightarrow{RS}$ non nul.
a) Citer les trois caractéristiques qui définissent entièrement un vecteur.
b) Comparer la norme du vecteur $\overrightarrow{SR}$ à celle de $\vec{u}$. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\overrightarrow{SR}$ ont-ils le même sens ?

$EFGH$ est un parallélogramme (non aplati).
a) Que peut-on dire des vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{HG}$ ?
b) En déduire l'égalité vérifiée par les vecteurs $\overrightarrow{EH}$ et $\overrightarrow{FG}$.

Soit $\vec{u}$ un vecteur non nul du plan.
a) Rappeler la définition du vecteur opposé de $\vec{u}$, noté $-\vec{u}$.
b) Justifier que $-(-\vec{u})=\vec{u}$.

$I$ est le milieu du segment $[PQ]$.
a) Écrire l'égalité vectorielle traduisant que $I$ est le milieu de $[PQ]$.
b) En utilisant la relation de Chasles, exprimer $\overrightarrow{PQ}$ en fonction de $\overrightarrow{PI}$.