Exercices de Nombres Réels en maths Seconde

1.Exercice 1

Démontrer que

2

est irrationnel.

On raisonnera par l'absurde en supposant que

2 = \frac{p}{q}

avec

p \in Z

q \in Z^{*}

\frac{p}{q}

une fraction irréductible (c'est-à-dire

p

q

sans facteur commun autre que 1).

2.Exercice 2

Déterminer les ensembles suivants, en donnant le résultat sous forme d'intervalle (ou en indiquant s'il est vide) :

1.

A = [- 3; 5] \cap [1; 8]

B = [- 2; 3] \cup [3; 7]

C =] - \infty; 4 [\cap [2; + \infty [

D = [0; 2] \cap] 3; 5]

Voir le corrigé

1. Calcul de $A$ : On garde les réels appartenant aux deux intervalles simultanément. L'intersection commence au plus grand des deux bornes gauches et finit au plus petit des deux bornes droites.

A = [- 3; 5] \cap [1; 8] = [1; 5]

2. Calcul de $B$ : Les deux intervalles se rejoignent en

3

(borne commune), donc leur réunion est :

B = [- 2; 3] \cup [3; 7] = [- 2; 7]

3. Calcul de $C$ : L'intersection contient les réels

x

vérifiant à la fois

x < 4

x \geq 2

, soit

2 \leq x < 4

C =] - \infty; 4 [\cap [2; + \infty [= [2; 4 [

4. Calcul de $D$ : Il faut

0 \leq x \leq 2

3 < x \leq 5

simultanément. Or aucun réel ne vérifie à la fois

x \leq 2

x > 3

, donc :

D = \emptyset

3.Exercice 3

Résoudre dans

R

les inéquations suivantes :

1.

∣ x - 3∣ \leq 2

∣2 x + 1∣ > 5

∣ x + 4∣ < 1

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

4. $Appartenance aux ensembles de nombres$

Pour chacun des nombres suivants, déterminer le plus petit ensemble parmi

N

Z

D

Q

R

auquel il appartient, en justifiant.

Q1-a)

12

Q2-b)

- 7

Q3-c)

0

Q4-d)

2, 5

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

5. $Écriture décimale de fractions$

Donner l'écriture décimale de chacune des fractions suivantes, puis préciser si le nombre obtenu est décimal :

Q1-a)

\frac{3}{8}

Q2-b)

\frac{7}{2}

Q3-c)

\frac{5}{4}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

6. $Traduire une inégalité par un intervalle$

Traduire chacune des inégalités suivantes par un intervalle :

Q1-a)

x \geq - 3

Q2-b)

x < 5

Q3-c)

- 2 < x \leq 1

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

7. $Calculer une valeur absolue$

Calculer les valeurs absolues suivantes :

Q1-a)

∣ - 9∣

Q2-b)

∣6∣

Q3-c)

∣0∣

Q4-d)

∣3 - 8∣

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

8. $Appartenance à un intervalle$

On considère l'intervalle

I = [- 2; 3 [

. Pour chacun des nombres suivants, dire s'il appartient à

I

Q1-a)

- 2

Q2-b)

3

Q3-c)

1, 5

Q4-d)

- 5

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

9. $Classer des nombres nécessitant un calcul préalable$

Quel est le plus petit ensemble parmi

N

Z

D

Q

R

auquel appartient chacun des nombres suivants ? On simplifiera chaque expression avant de conclure.

Q1-a)

49

Q2-b)

- \frac{3}{4}

Q3-c)

\frac{5}{6}

Q4-d)

7

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

10. $Reconnaître si une fraction est décimale$

Pour chacune des fractions suivantes, indiquer si elle représente un nombre décimal ou non, en donnant si possible son écriture décimale :

Q1-a)

\frac{7}{8}

Q2-b)

\frac{1}{6}

Q3-c)

\frac{3}{20}

Q4-d)

\frac{2}{7}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

11. $Intervalles et inégalités dans les deux sens$

Traduire chacune des inégalités suivantes par un intervalle :

a)

- 4 \leq x < 1

x > 6

Traduire ensuite chacun des intervalles suivants par une inégalité :

c)

] - \infty; 3]

] 1; 7 [

Q1-a)

- 4 \leq x < 1

Q2-b)

x > 6

Q3-c)

] - \infty; 3]

Q4-d)

] 1; 7 [

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

12. $Intersection et réunion de deux intervalles qui se chevauchent$

On donne les intervalles

A = [- 5; 2]

B = [- 1; 6]

.

Déterminer

A \cap B

A \cup B

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

13. $Intersection et réunion de deux intervalles disjoints$

On donne les intervalles

I =] - \infty; - 2]

J = [0; + \infty [

.

Déterminer

I \cap J

I \cup J

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

14. $Distance entre deux nombres$

Q1-Calculer la distance entre les nombres

- 3, 2

5, 7

Q2-Calculer la distance entre les nombres

4

4

Q3-Écrire, à l'aide d'une valeur absolue, la distance entre deux réels

a

b

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

15. $Résoudre une équation avec valeur absolue$

Résoudre dans

R

les équations suivantes :

Q1-a)

∣ x + 2∣ = 6

Q2-b)

∣ x - 1∣ = 0

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

16. $Montrer qu'une fraction est un nombre décimal$

Montrer que le nombre

\frac{9}{16}

est décimal, en l'écrivant explicitement sous la forme du quotient d'un entier par une puissance de

10

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

17. $Démontrer qu'un nombre n'est pas décimal$

Démontrer, par un raisonnement par l'absurde, que le nombre

\frac{1}{6}

n'est pas un nombre décimal.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

18. $Résoudre des inéquations avec valeur absolue$

Résoudre dans

R

les inéquations suivantes, en donnant l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle :

Q1-a)

∣2 x - 3∣ \leq 5

Q2-b)

∣ x + 4∣ > 3

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

19. $Combiner intersection et réunion d'intervalles$

On donne les intervalles

A =] - \infty; 4]

B = [- 1; 7 [

C =] 2; + \infty [

Q1-Déterminer

A \cap B

Q2-Déterminer

(A \cap B) \cup C

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

20. $Démontrer l'irrationalité d'une racine carrée$

Démontrer que

3

est un nombre irrationnel.

On pourra raisonner par l'absurde en supposant que

3 = \frac{a}{b}

, avec

a

b

entiers naturels premiers entre eux,

b

non nul, et utiliser le fait que

3

est un nombre premier.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

21. $Encadrement, valeur approchée et intervalle$

On donne l'encadrement à

1 0^{- 2}

suivant, obtenu à la calculatrice :

2, 64 < 7 < 2, 65

Q1-En déduire un encadrement de

7 + 5

Q2-On pose

u = 2, 645

. Montrer que

∣ u - 7 ∣ < 1 0^{- 2}

(on pourra d'abord encadrer

u - 7

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

22. $Classer des nombres entiers et décimaux$

Pour chacun des nombres suivants, déterminer le plus petit ensemble parmi

N

Z

D

Q

R

auquel il appartient, en justifiant.

Q1-a)

- 20

Q2-b)

100

Q3-c)

0

Q4-d)

6, 125

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

23. $Écritures décimales de fractions simples$

Donner l'écriture décimale de chacune des fractions suivantes, puis préciser si le nombre obtenu est décimal :

Q1-a)

\frac{9}{8}

Q2-b)

\frac{11}{4}

Q3-c)

\frac{7}{5}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

24. $Traduire des inégalités par des intervalles$

Traduire chacune des inégalités suivantes par un intervalle :

Q1-a)

x \leq - 6

Q2-b)

x > 2

Q3-c)

- 5 \leq x < 0

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

25. $Calculs de valeurs absolues$

Calculer les valeurs absolues suivantes :

Q1-a)

∣ - 14∣

Q2-b)

∣20∣

Q3-c)

∣0∣

Q4-d)

∣6 - 11∣

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

26. $Tester l'appartenance à un intervalle semi-ouvert$

On considère l'intervalle

I =] - 4; 2]

. Pour chacun des nombres suivants, dire s'il appartient à

I

Q1-a)

- 4

Q2-b)

2

Q3-c)

- 1

Q4-d)

5

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

27. $Classer des nombres après simplification$

Quel est le plus petit ensemble parmi

N

Z

D

Q

R

auquel appartient chacun des nombres suivants ? On simplifiera chaque expression avant de conclure.

Q1-a)

64

Q2-b)

- \frac{5}{8}

Q3-c)

\frac{7}{12}

Q4-d)

11

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

28. $Fractions décimales selon le dénominateur$

Pour chacune des fractions suivantes, indiquer si elle représente un nombre décimal ou non, en donnant si possible son écriture décimale :

Q1-a)

\frac{9}{40}

Q2-b)

\frac{1}{12}

Q3-c)

\frac{11}{25}

Q4-d)

\frac{3}{11}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

29. $Intervalles et inégalités dans les deux sens$

1) Traduire chacune des inégalités suivantes par un intervalle :
a)

- 7 \leq x < 2

x > 4

2) Traduire chacun des intervalles suivants par une inégalité :
c)

] - \infty; - 3]

] 0; 5 [

Q1-a)

- 7 \leq x < 2

Q2-b)

x > 4

Q3-c)

] - \infty; - 3]

Q4-d)

] 0; 5 [

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

30. $Réunir et intersecter deux intervalles superposés$

On donne les intervalles

A = [- 6; 3]

B = [- 2; 8]

.

Déterminer

A \cap B

A \cup B

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

31. $Intervalles sans partie commune$

On donne les intervalles

I =] - \infty; - 5]

J = [- 1; + \infty [

.

Déterminer

I \cap J

I \cup J

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

32. $Calculer une distance sur la droite graduée$

Q1-Calculer la distance entre les nombres

- 6, 4

2, 9

Q2-Calculer la distance entre les nombres

7

7

Q3-Écrire, à l'aide d'une valeur absolue, la distance entre deux réels

a

b

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

33. $Équations du type valeur absolue égale une constante$

Résoudre dans

R

les équations suivantes :

Q1-a)

∣ x - 3∣ = 8

Q2-b)

∣ x + 5∣ = 0

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

34. $Prouver qu'une fraction est décimale$

Montrer que le nombre

\frac{11}{32}

est décimal, en l'écrivant explicitement sous la forme du quotient d'un entier par une puissance de

10

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

35. $Prouver par l'absurde qu'une fraction n'est pas décimale$

Démontrer, par un raisonnement par l'absurde, que le nombre

\frac{1}{7}

n'est pas un nombre décimal.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

36. $Inéquations du type valeur absolue$

Résoudre dans

R

les inéquations suivantes, en donnant l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle :

Q1-a)

∣3 x - 2∣ \leq 7

Q2-b)

∣ x - 6∣ > 4

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

37. $Enchaîner intersection puis réunion d'intervalles$

On donne les intervalles

A =] - \infty; 6]

B = [- 3; 9 [

C =] 1; + \infty [

Q1-Déterminer

A \cap B

Q2-Déterminer

(A \cap B) \cup C

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

38. $Encadrement d'une expression contenant une racine carrée$

On donne l'encadrement à

1 0^{- 2}

suivant, obtenu à la calculatrice :

2, 23 < 5 < 2, 24

En déduire un encadrement de

25 - 1

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

39. $Valeur absolue et encadrement d'un réel inconnu$

On sait qu'un réel

x

vérifie

∣ x - 4∣ \leq 0, 3

Q1-Traduire cette condition par un encadrement de

x

Q2-Le nombre

3, 65

vérifie-t-il cette condition ?

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

40. $Classer des nombres construits avec des racines carrées$

Quel est le plus petit ensemble parmi

N

Z

D

Q

R

auquel appartient chacun des nombres suivants ?

Q1-a)

\frac{5 \times 3 ^{2}}{15}

Q2-b)

0, 16

Q3-c)

- \frac{18}{24}

Q4-d)

2 \times 8

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

1.Exercice 1

2.Exercice 2

3.Exercice 3

4.Appartenance aux ensembles de nombres

5.Écriture décimale de fractions

6.Traduire une inégalité par un intervalle

7.Calculer une valeur absolue

8.Appartenance à un intervalle

9.Classer des nombres nécessitant un calcul préalable

10.Reconnaître si une fraction est décimale

11.Intervalles et inégalités dans les deux sens

12.Intersection et réunion de deux intervalles qui se chevauchent

13.Intersection et réunion de deux intervalles disjoints

14.Distance entre deux nombres

15.Résoudre une équation avec valeur absolue

16.Montrer qu'une fraction est un nombre décimal

17.Démontrer qu'un nombre n'est pas décimal

18.Résoudre des inéquations avec valeur absolue

19.Combiner intersection et réunion d'intervalles

20.Démontrer l'irrationalité d'une racine carrée

21.Encadrement, valeur approchée et intervalle

22.Classer des nombres entiers et décimaux

23.Écritures décimales de fractions simples

24.Traduire des inégalités par des intervalles

25.Calculs de valeurs absolues

26.Tester l'appartenance à un intervalle semi-ouvert

27.Classer des nombres après simplification

28.Fractions décimales selon le dénominateur

29.Intervalles et inégalités dans les deux sens

30.Réunir et intersecter deux intervalles superposés

31.Intervalles sans partie commune

32.Calculer une distance sur la droite graduée

33.Équations du type valeur absolue égale une constante

34.Prouver qu'une fraction est décimale

35.Prouver par l'absurde qu'une fraction n'est pas décimale

36.Inéquations du type valeur absolue

37.Enchaîner intersection puis réunion d'intervalles

38.Encadrement d'une expression contenant une racine carrée

39.Valeur absolue et encadrement d'un réel inconnu

40.Classer des nombres construits avec des racines carrées

4. $Appartenance aux ensembles de nombres$

5. $Écriture décimale de fractions$

6. $Traduire une inégalité par un intervalle$

7. $Calculer une valeur absolue$

8. $Appartenance à un intervalle$

9. $Classer des nombres nécessitant un calcul préalable$

10. $Reconnaître si une fraction est décimale$

11. $Intervalles et inégalités dans les deux sens$

12. $Intersection et réunion de deux intervalles qui se chevauchent$

13. $Intersection et réunion de deux intervalles disjoints$

14. $Distance entre deux nombres$

15. $Résoudre une équation avec valeur absolue$

16. $Montrer qu'une fraction est un nombre décimal$

17. $Démontrer qu'un nombre n'est pas décimal$

18. $Résoudre des inéquations avec valeur absolue$

19. $Combiner intersection et réunion d'intervalles$

20. $Démontrer l'irrationalité d'une racine carrée$

21. $Encadrement, valeur approchée et intervalle$

22. $Classer des nombres entiers et décimaux$

23. $Écritures décimales de fractions simples$

24. $Traduire des inégalités par des intervalles$

25. $Calculs de valeurs absolues$

26. $Tester l'appartenance à un intervalle semi-ouvert$

27. $Classer des nombres après simplification$

28. $Fractions décimales selon le dénominateur$

29. $Intervalles et inégalités dans les deux sens$

30. $Réunir et intersecter deux intervalles superposés$

31. $Intervalles sans partie commune$

32. $Calculer une distance sur la droite graduée$

33. $Équations du type valeur absolue égale une constante$

34. $Prouver qu'une fraction est décimale$

35. $Prouver par l'absurde qu'une fraction n'est pas décimale$

36. $Inéquations du type valeur absolue$

37. $Enchaîner intersection puis réunion d'intervalles$

38. $Encadrement d'une expression contenant une racine carrée$

39. $Valeur absolue et encadrement d'un réel inconnu$

40. $Classer des nombres construits avec des racines carrées$