Exercices de Nombres Réels en maths Seconde (page 2) | The Maths Tailor
Exercices de Nombres Réels, Seconde (page 2)
111 exercices de Nombres Réels pour les maths Seconde, avec tous les énoncés en accès libre. 2 corrigés sont offerts ; les autres corrigés sont réservés aux abonnés. Au programme du chapitre : Nombres entiers, Nombres décimaux, nombres rationnels, Notion de nombres réels, Classification des nombres.
51.Classer des nombres après simplification de racines
Quel est le plus petit ensemble parmi N, Z, D, Q et R auquel appartient chacun des nombres suivants ? On simplifiera chaque expression avant de conclure.
64.Démontrer l'irrationalité de la racine carrée de 5
Démontrer que 5 est un nombre irrationnel.
On pourra raisonner par l'absurde en supposant que 5=ba, avec a et b entiers naturels premiers entre eux, b non nul, et utiliser le fait que 5 est un nombre premier.
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Démonstration par l'absurde.
Supposons que 5 soit rationnel. Il existerait alors deux entiers naturels a et b, premiers entre eux, avec b non nul, tels que :5=baEn élevant au carré :5=b2a2⟹a2=5b2Donc a2 est divisible par 5. Comme a2=5b2 et que 5 est un nombre premier, 5 figure dans la décomposition en facteurs premiers de a2 (il suffit de décomposer b2 et de multiplier par 5 ; cette décomposition est unique). Or la décomposition de a2=a×a est formée de celle de a écrite deux fois : 5 figure donc dans la décomposition de a, c'est-à-dire que a lui-même est divisible par 5. Il existe donc un entier naturel k tel que a=5k.
En substituant dans a2=5b2 :(5k)2=5b2⟹25k2=5b2⟹b2=5k2Donc b2 est également divisible par 5, et pour la même raison, b est divisible par 5.
Ainsi, a et b sont tous les deux divisibles par 5 : ils admettent 5 comme diviseur commun, ce qui contredit l'hypothèse selon laquelle a et b sont premiers entre eux.
On aboutit à une contradiction : l'hypothèse de départ est fausse.
Donc 5 n'est pas rationnel : 5 est irrationnel.
65.Valeur absolue et plage de température acceptable
Un thermostat est réglé pour maintenir une température de 20°C, avec une tolérance de 1,5°C. On note t la température réelle, en °C.
Q1-Traduire la condition de tolérance à l'aide d'une inégalité contenant une valeur absolue.
Q2-En déduire, sous forme d'intervalle, l'ensemble des températures acceptables.
Q3-La température mesurée est 21,8°C. Est-elle acceptable ?
Pour chacun des nombres suivants, déterminer le plus petit ensemble parmi N, Z, D, Q et R auquel il appartient, en justifiant (on simplifiera si nécessaire).
71.Écritures décimales et caractère décimal de fractions
Pour chacune des fractions suivantes, donner son écriture décimale si elle est finie (ou une valeur approchée sinon), puis préciser si le nombre est décimal, en justifiant à l'aide de la décomposition du dénominateur (on admet qu'une fraction irréductible est décimale si, et seulement si, son dénominateur s'écrit 2a×5b) :
Quel est le plus petit ensemble parmi N, Z, D, Q et R auquel appartient chacun des nombres suivants ? On simplifiera chaque expression avant de conclure.
