Exercices de Notion de fonction, Seconde (page 3)

Soit la fonction $h$ définie par $h(x)=x^2-6$.

a) Calculer l'image de $5$ par la fonction $h$.

b) Calculer l'image de $-2$ par la fonction $h$.

On donne le tableau de valeurs suivant d'une fonction $m$ :$$\begin{array}{cccccc}x& -3& -1& 0& 2& 5\\ m(x)& 8& 2& 1& 3& 12\end{array}$$a) Donner l'image de $-1$ par la fonction $m$.

b) Donner un antécédent de $3$ par la fonction $m$.

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\frac{5}{x-7}$.

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f$.

On donne le programme de calcul suivant :

- Choisir un nombre
- Le multiplier par $5$
- Soustraire $2$

a) Appliquer ce programme en prenant $3$ comme nombre de départ.

b) On prend $x$ comme nombre de départ. Donner le résultat du programme en fonction de $x$.

On donne le programme de calcul suivant :

- Choisir un nombre
- Ajouter $7$
- Multiplier par $2$
- Soustraire $5$

a) On appelle $f$ la fonction qui, à un nombre $x$, associe le résultat du programme. Montrer que $f(x)=2x+9$.

b) Calculer $f(4)$ à l'aide de cette expression.

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=-5x+3$.

Calculer l'image de $1,5$ par la fonction $f$.

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=7x-4$.

Déterminer un antécédent de $24$ par la fonction $f$.

Soit la fonction $g$ définie par $g(x)=x^2$.

Déterminer les deux antécédents de $81$ par la fonction $g$.

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=3x^2-4$.

Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant :$$\begin{array}{ccccc}x& -2& -1& 0& 2\\ f(x)& & & & \end{array}$$

On donne le tableau de valeurs suivant de la fonction $c$, qui donne le nombre de clients présents dans un magasin selon l'heure $x$ de la journée :$$\begin{array}{cccccc}x& 9& 11& 13& 15& 17\\ c(x)& 20& 35& 20& 50& 35\end{array}$$a) Donner l'image de $13$ par la fonction $c$.

b) Donner les deux heures pour lesquelles le nombre de clients est de $35$.

c) La valeur $20$ possède-t-elle plusieurs antécédents par la fonction $c$ ? Si oui, lesquels ?

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=2x^2-5x$.

a) Vérifier que le point $A(3;3)$ appartient à la courbe représentative de $f$.

b) Le point $B(-1;5)$ appartient-il à la courbe représentative de $f$ ? Justifier.

On donne ci-dessous quelques points de la courbe représentative d'une fonction $f$ tracée dans un repère :$$\begin{array}{ccccccc}x& -4& -2& 0& 1& 3& 5\\ f(x)& 3& -1& -3& -2& -1& 3\end{array}$$a) Donner graphiquement l'image de $3$ par la fonction $f$.

b) Donner graphiquement les deux antécédents de $-1$ par la fonction $f$.

c) La valeur $3$ possède-t-elle un seul antécédent parmi les abscisses données ? Justifier.

On considère le programme de calcul suivant :

- Choisir un nombre $x$
- Ajouter $4$
- Élever le résultat au carré
- Soustraire $10$

a) Montrer que le résultat de ce programme, en fonction de $x$, est $f(x)=x^2+8x+6$.

b) Calculer $f(2)$ à l'aide de cette expression, puis vérifier en appliquant directement le programme avec $2$ comme nombre de départ.

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x)=5x-3$ et $g(x)=x^2-9$.

a) Calculer $f(4)$ et $g(4)$. Comparer les résultats.

b) Calculer $f(-3)$ et $g(-3)$. Comparer les résultats.

On donne le tableau de valeurs suivant de la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2-2x-8$, qui correspond à sa courbe représentative :$$\begin{array}{cccccccc}x& -3& -2& -1& 0& 2& 4& 5\\ f(x)& 7& 0& -5& -8& -8& 0& 7\end{array}$$a) Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=0$.

b) Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=7$.

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt{x-9}+1$.

a) Calculer l'image de $25$ par la fonction $f$.

b) Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f$.

Un parking propose le tarif suivant : $3$ euros de forfait, puis $2,5$ euros par heure de stationnement.

On note $x$ le nombre d'heures de stationnement et $f(x)$ le prix payé, en euros.

a) Justifier que $f(x)=2,5x+3$.

b) Calculer le prix payé pour un stationnement de $4$ heures.

c) Un automobiliste a payé $18$ euros. Déterminer, par le calcul, la durée de son stationnement.

d) Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant :$$\begin{array}{ccccc}x& 0& 2& 4& 6\\ f(x)& & & & \end{array}$$

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x)=x^2-4$ et $g(x)=-x+2$.

On donne le tableau de valeurs suivant, qui correspond aux courbes représentatives de $f$ et de $g$ :$$\begin{array}{ccccccc}x& -3& -2& -1& 0& 1& 2\\ f(x)& 5& 0& -3& -4& -3& 0\\ g(x)& 5& 4& 3& 2& 1& 0\end{array}$$a) Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=g(x)$ à l'aide des abscisses données.

b) Comparer $f(x)$ et $g(x)$ pour $x=0$. En déduire, parmi les abscisses données, celles pour lesquelles $f(x)<g(x)$.

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\frac{18}{x-7}$.

a) Calculer l'image de $16$ par la fonction $f$.

b) Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f$.

c) Déterminer, par le calcul, un antécédent de $-3$ par la fonction $f$.

On considère le programme de calcul suivant :

- Choisir un nombre $x$
- Soustraire $4$
- Élever le résultat au carré
- Soustraire $25$

a) Montrer que le résultat de ce programme, noté $f(x)$, vérifie $f(x)=x^2-8x-9$.

b) Calculer $f(0)$ et $f(8)$. Que remarque-t-on ?

c) Déterminer, par le calcul, les deux antécédents de $-9$ par la fonction $f$.

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=-x^2+2x+8$.

On donne son tableau de valeurs sur $[-3;5]$ :$$\begin{array}{cccccccccc}x& -3& -2& -1& 0& 1& 2& 3& 4& 5\\ f(x)& -7& 0& 5& 8& 9& 8& 5& 0& -7\end{array}$$a) Vérifier par le calcul que $f(2)=8$.

b) Donner l'ensemble de définition de $f$.

c) Résoudre graphiquement, à l'aide du tableau, l'équation $f(x)=0$.

d) Résoudre graphiquement, à l'aide du tableau, l'inéquation $f(x)\ge 8$ (parmi les abscisses données).

e) Quelle semble être la valeur maximale de $f(x)$ parmi les valeurs du tableau, et pour quelle valeur de $x$ est-elle atteinte ?

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2-6x+5$.

On donne son tableau de valeurs sur $[-1;7]$ :$$\begin{array}{cccccccccc}x& -1& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7\\ f(x)& 12& 5& 0& -3& -4& -3& 0& 5& 12\end{array}$$a) Vérifier par le calcul que $f(3)=-4$.

b) Donner l'ensemble de définition de $f$ sur cet intervalle.

c) Résoudre graphiquement, à l'aide du tableau, l'équation $f(x)=0$.

d) Résoudre graphiquement, à l'aide du tableau, l'inéquation $f(x)\le 0$ (parmi les abscisses données).

e) Donner, à l'aide du tableau, les deux antécédents de $12$ par la fonction $f$.

On donne la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ d'une fonction $f$ définie sur $[-3;5]$.La courbe passe par les points de coordonnées $(-1;0)$ et $(3;0)$, son point le plus bas est $(1;-2)$ et ses deux extrémités ont pour ordonnée $6$.

Dresser le tableau de signes de $f(x)$ sur $[-3;5]$.

La courbe ${\mathcal{C}}_f$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie sur $[-3;4]$.La courbe passe par les points de coordonnées $(-2;0)$, $(1;0)$ et $(3;0)$ et ne coupe l'axe des abscisses nulle part ailleurs ; elle passe aussi par $(-3;6)$ et $(4;-4,5)$.

1. Dresser le tableau de signes de $f(x)$ sur $[-3;4]$.
2. En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x)<0$.

On donne la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ d'une fonction $f$ définie sur $[-3;3]$.La courbe coupe l'axe des abscisses au point $(-2;0)$ et touche l'axe des abscisses au point $(1;0)$ sans le traverser ; elle passe par $(-3;-4)$ et par $(3;5)$.

Dresser le tableau de signes de $f(x)$ sur $[-3;3]$ et expliquer ce qui se passe en $x=1$.

La courbe ${\mathcal{C}}_f$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie sur $[-2;4]$. La droite d'équation $y=3$ est tracée en pointillés.La courbe passe par les points $(0;3)$ et $(2;3)$, son sommet est $(1;4)$ et ses extrémités sont $(-2;-5)$ et $(4;-5)$.

1. Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)>3$.
2. Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)<3$.

On donne la courbe ${\mathcal{C}}_f$ d'une fonction $f$ définie sur $[-2;4]$ ainsi que la droite d'équation $y=2$.La courbe passe par les points $(-1;2)$ et $(3;2)$, son point le plus bas est $(1;-2)$ et elle a pour ordonnée $7$ en $x=-2$ comme en $x=4$.

1. Résoudre graphiquement $f(x)>2$.
2. Résoudre graphiquement $f(x)\le 2$.

Une entreprise fabrique chaque jour $x$ centaines d'objets, avec $0\le x\le 8$. Son bénéfice quotidien, en centaines d'euros, est noté $B(x)$ et représenté par la courbe ${\mathcal{C}}_B$ ci-dessous. Les droites d'équations $y=5$ et $y=8$ sont tracées en pointillés.La courbe passe par les points $(0;-7)$, $(2;5)$, $(3;8)$, $(5;8)$, $(6;5)$ et $(8;-7)$ ; son sommet est $(4;9)$.

1. Pour quelles quantités le bénéfice est-il strictement supérieur à $500$ euros, c'est-à-dire $B(x)>5$ ?
2. Résoudre graphiquement $B(x)<8$ et interpréter le résultat.

La courbe ${\mathcal{C}}_f$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie sur $[-1;5]$.La courbe passe par les points $(-1;-6)$, $(2;3)$ et $(5;-6)$.

Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-1;5]$, puis donner le maximum et le minimum de $f$.

On donne la courbe ${\mathcal{C}}_f$ d'une fonction $f$ définie sur $[-2;2]$.La courbe passe par les points $(-2;-2)$, $(-1;2)$, $(1;-2)$ et $(2;2)$, et ne change de sens qu'en $x=-1$ et en $x=1$.

Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-2;2]$ et donner ses extremums.

On considère un rectangle $ABCD$ d'aire $1$.
L'objectif du problème est de déterminer les dimensions d'un tel rectangle tel que son périmètre soit minimum.

1) a) Prouver que $AB=2$ et $BC=0,5$ conviennent.
b) Calculer le périmètre de $ABCD$ dans ce cas.

2) Faire quelques essais pour d'autres valeurs de $AB$ : dans chaque cas, donner la longueur $AB$, la longueur $BC$ et la valeur du périmètre correspondante.

3) a) On pose maintenant $x=AB$. Démontrer que $BC=\frac{1}{x}$.
b) Exprimer le périmètre $P$ de $ABCD$ en fonction de $x$.
c) Recopier et compléter le tableau de valeurs :d) À l'aide du tableau, tracer sur une feuille de papier millimétrée la courbe représentative de la fonction $P$.

4) Déterminer graphiquement la valeur de $x$ pour laquelle le périmètre est minimum et conclure.
Sur le graphique, on laissera apparents les traits de construction.

Indice n°1 : Fonction $f$
$f:1,6\mapsto 4,5$ / $f:-3,4\mapsto 2,3$ / $f:-2,4\mapsto -4,1$ / $f:3,5\mapsto 0$
$f:0\mapsto -3,1$ / $f:2,4\mapsto -4,2$ / $f:-1,5\mapsto -2$ / $f:-5,7\mapsto 2,6$

Indice n°2 : Fonction $m$
$m(-2,8)=1,7$ / $m(1,1)=-7,2$ / $m(0,7)=-4,3$
$m(-8,1)=6,9$ / $m(-0,4)=5,9$

Indice n°3 : Fonction $g$
Tableau de valeurs de la fonction $g$ :Indice n°4 : Fonction $h$
Sur la courbe représentative de la fonction $h$, on lit que les points de coordonnées $(-3;2,5)$, $(-1;0)$, $(1,5;-3)$ et $(4;1,2)$ appartiennent à cette courbe.

Indice n°5 : Fonctions $i,j$ et $k$
$i:x\mapsto 2x^2-1$
$j:x\mapsto 5-3x^2$
$k:x\mapsto 1+\frac{3x}{4}$

Indice n°6 : Coordonnées de points
Les points suivants appartiennent à la courbe représentative d'une fonction $p$ :
$A(1,4;-4,9)$ / $B(-1,7;2,8)$ / $C(-0,15;2,81)$
$D(-4,7;-1,3)$ / $E(1,2;-8,7)$

Consignes
À l'aide des indices ci-dessus, déterminer chacune des informations suivantes.
1) L'image de $1,6$ par $f$.
2) Un antécédent de $-2$ par $f$.
3) L'image de $-8,1$ par $m$.
4) Un antécédent de $-4,3$ par $m$.
5) $g(-2,5)$.
6) Les nombres du tableau de l'indice n°3 qui ont pour image $0,8$ par $g$.
7) L'image de $1,5$ par $h$.
8) Un antécédent de $0$ par $h$.
9) Les antécédents de $1$ par $i$.
10) L'image de $-2$ par $j$.
11) L'antécédent de $4$ par $k$.
12) L'image de $1,2$ par $p$.