Exercices de Probabilités, Seconde (page 2)

On lance simultanément deux dés équilibrés à six faces et on multiplie les deux nombres obtenus. Le tableau à double entrée suivant présente le produit obtenu pour chaque couple de résultats.$$\begin{array}{ccccccc}x& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 1& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 2& 2& 4& 6& 8& 10& 12\\ 3& 3& 6& 9& 12& 15& 18\\ 4& 4& 8& 12& 16& 20& 24\\ 5& 5& 10& 15& 20& 25& 30\\ 6& 6& 12& 18& 24& 30& 36\end{array}$$a) Calculer la probabilité d'obtenir un produit égal à 12.
b) Calculer la probabilité que le produit obtenu soit impair.
c) En déduire la probabilité que le produit obtenu soit pair.

Une urne contient cinq boules numérotées de 1 à 5, indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise deux boules de l'urne, en notant à chaque fois le numéro obtenu (l'ordre des tirages est pris en compte).

a) Justifier que cette expérience comporte 20 issues équiprobables.
b) Soit $E$ l'évènement : « Les deux numéros obtenus sont impairs ». Dénombrer les issues favorables à $E$, puis calculer $P(E)$.

On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On considère les évènements :

$A$ : « Tirer une carte rouge (cœur ou carreau) »

$B$ : « Tirer une figure (Roi, Dame ou Valet) »

a) Calculer $P(A)$ et $P(B)$.

b) Décrire par une phrase l'évènement $A\cap B$, puis calculer $P(A\cap B)$.

c) Calculer $P(A\cup B)$.

On dispose d'une roue de loterie truquée à cinq secteurs colorés, dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant, où $P(\text{bleu})$ est une valeur inconnue.$$\begin{array}{cccccc}\text{Couleur}& \text{rouge}& \text{bleu}& \text{vert}& \text{jaune}& \text{orange}\\ P& 0,2& ?& 0,15& 0,25& 0,1\end{array}$$a) Déterminer $P(\text{bleu})$.

b) Les secteurs rouge et bleu étant disjoints, calculer $P(\text{rouge ou bleu})$.

c) En déduire la probabilité de n'obtenir ni rouge, ni bleu.

Un sac contient 24 jetons numérotés de 1 à 24, indiscernables au toucher. On tire un jeton au hasard. On considère les évènements :

$A$ : « Obtenir un multiple de 3 »

$B$ : « Obtenir un multiple de 8 »

a) Déterminer les issues des évènements $A$, $B$ et $A\cap B$, puis calculer $P(A)$, $P(B)$ et $P(A\cap B)$.

b) Calculer $P(A\cup B)$.

c) On note $C$ l'évènement : « N'obtenir ni un multiple de 3, ni un multiple de 8 ». Expliquer pourquoi $C$ est l'évènement contraire de $A\cup B$, puis calculer $P(C)$.

On lance un dé tétraédrique équilibré à quatre faces, numérotées de 1 à 4, et on note le numéro obtenu sur la face posée contre la table. On considère les évènements :

$A$ : « Obtenir un nombre pair »

$B$ : « Obtenir un nombre premier »

a) Déterminer les issues de l'évènement $A$, puis calculer $P(A)$.

b) Déterminer les issues de l'évènement $B$, puis calculer $P(B)$.

On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes (les cartes de 2 à As, dans les quatre couleurs pique, cœur, carreau, trèfle). On considère les évènements :

$A$ : « Tirer un roi »

$B$ : « Tirer une carte de trèfle »

a) Combien y a-t-il d'issues possibles ? Calculer $P(A)$.

b) Calculer $P(B)$.

Une urne contient 6 boules oranges, 9 boules violettes et 5 boules roses, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard et on note sa couleur.

a) Combien de boules l'urne contient-elle en tout ?
b) Calculer la probabilité de tirer une boule orange, une boule violette, puis une boule rose.
c) Vérifier que la somme de ces trois probabilités est égale à 1.

Une roue de loterie est partagée en cinq secteurs identiques, numérotés de 1 à 5. On fait tourner la roue et on note le numéro du secteur désigné par la flèche. Soit $A$ l'évènement : « Obtenir un multiple de 2 ».

a) Déterminer les issues de $A$, puis calculer $P(A)$.

b) Décrire par une phrase l'évènement contraire $\overline{A}$, puis calculer $P(\overline{A})$.

Un sac contient douze jetons numérotés de 1 à 12, indiscernables au toucher. On tire un jeton au hasard. Soit $A$ l'évènement : « Le jeton tiré porte un multiple de 5 ».

a) Déterminer les issues de $A$, puis calculer $P(A)$.

b) Calculer $P(\overline{A})$ de deux façons différentes : directement par dénombrement, puis en utilisant la formule de l'évènement contraire.

Un sac contient 9 billes rouges et 7 billes grises, indiscernables au toucher. On tire une bille au hasard. Soit $G$ l'évènement : « La bille tirée est grise ».

a) Calculer $P(G)$.

b) Décrire par une phrase l'évènement contraire $\overline{G}$, puis calculer $P(\overline{G})$.

On lance un dé équilibré à six faces. On considère les évènements :

$A$ : « Obtenir un multiple de 3 »

$B$ : « Obtenir 1 »

a) Calculer $P(A)$ et $P(B)$.

b) Expliquer pourquoi $A$ et $B$ sont des évènements incompatibles, puis donner la valeur de $P(A\cap B)$.

c) En déduire $P(A\cup B)$.

On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On considère les évènements :

$A$ : « Tirer un valet »

$B$ : « Tirer une dame »

a) Calculer $P(A)$ et $P(B)$.

b) Expliquer pourquoi $A$ et $B$ sont des évènements incompatibles, puis donner la valeur de $P(A\cap B)$.

c) En déduire $P(A\cup B)$.

On lance un dé équilibré à six faces. On considère les évènements :

$A$ : « Obtenir un nombre supérieur ou égal à 3 »

$B$ : « Obtenir un nombre pair »

a) Déterminer les issues des évènements $A$, $B$ et $A\cap B$.

b) Calculer $P(A)$, $P(B)$ et $P(A\cap B)$.

c) En déduire $P(A\cup B)$.

On lance simultanément deux dés équilibrés à six faces, l'un vert et l'un orange. Soit $E$ l'évènement : « Les deux dés affichent le même nombre (on obtient un double) ».

a) Justifier que cette expérience comporte 36 issues équiprobables.
b) Déterminer les issues favorables à $E$, puis calculer $P(E)$.

Un club sportif compte 40 membres. Chaque membre pratique soit la natation, soit le tennis. Le tableau à double entrée suivant croise le genre des membres et leur activité.$$\begin{array}{cccc}& \text{Natation}& \text{Tennis}& \text{Total}\\ \text{Hommes}& 12& 8& 20\\ \text{Femmes}& 10& 10& 20\\ \text{Total}& 22& 18& 40\end{array}$$On choisit un membre au hasard dans ce club. On note $H$ l'évènement : « Le membre choisi est un homme » et $N$ l'évènement : « Le membre choisi pratique la natation ».

a) Calculer $P(H)$ et $P(N)$.

b) Calculer $P(H\cap N)$.

c) En déduire $P(H\cup N)$.

Une roue de loterie est partagée en secteurs colorés : un secteur rose d'angle $45°$, un secteur cyan d'angle $135°$, un secteur kaki d'angle $90°$ et un secteur marron d'angle $90°$. On fait tourner la roue et on note la couleur du secteur désigné par la flèche.

a) Calculer $P(\text{rose})$, $P(\text{cyan})$, $P(\text{kaki})$ et $P(\text{marron})$.

b) Vérifier que la somme de ces probabilités est égale à 1.
c) Les secteurs rose et marron étant disjoints, calculer la probabilité d'obtenir rose ou marron.
d) Calculer la probabilité de ne pas obtenir cyan.

On dispose d'un dé truqué à six faces dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant, où $P(2)$ est une valeur inconnue.$$\begin{array}{ccccccc}\text{Issue}& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ P& 0,05& ?& 0,2& 0,25& 0,15& 0,1\end{array}$$a) En utilisant le fait que la somme des probabilités de toutes les issues vaut 1, déterminer $P(2)$.

b) Soit $E$ l'évènement : « Obtenir un nombre impair ». Calculer $P(E)$.

c) Décrire l'évènement contraire $\overline{E}$, puis calculer $P(\overline{E})$ de deux façons différentes.

On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes. On considère les évènements :

$A$ : « Tirer un as »

$B$ : « Tirer une carte rouge (cœur ou carreau) »

a) Calculer $P(A)$ et $P(B)$.

b) Décrire par une phrase l'évènement $A\cap B$, puis calculer $P(A\cap B)$.

c) Calculer $P(A\cup B)$ et interpréter le résultat obtenu.

Lors d'un sondage auprès de 45 lecteurs, on a relevé leur tranche d'âge (ado ou adulte) et le genre de livre qu'ils préfèrent (roman ou bande dessinée). Le tableau à double entrée suivant présente les résultats.$$\begin{array}{cccc}& \text{Roman}& \text{Bande dessineˊe}& \text{Total}\\ \text{Ado}& 6& 14& 20\\ \text{Adulte}& 15& 10& 25\\ \text{Total}& 21& 24& 45\end{array}$$On choisit un lecteur au hasard parmi les 45 sondés. On note $D$ l'évènement : « Le lecteur choisi est un ado » et $R$ l'évènement : « Le lecteur choisi préfère les romans ».

a) Calculer $P(D)$, $P(R)$ et $P(D\cap R)$.

b) Calculer $P(D\cup R)$.

c) En déduire la probabilité qu'un lecteur choisi au hasard ne soit ni un ado, ni un lecteur de romans, puis vérifier ce résultat directement à l'aide du tableau.

Un sac contient six jetons numérotés de 1 à 6, indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise deux jetons du sac, en notant à chaque fois le numéro obtenu (l'ordre des tirages est pris en compte).

a) Justifier que cette expérience comporte 30 issues équiprobables.
b) Soit $E$ l'évènement : « La somme des deux numéros obtenus est égale à 7 ». Déterminer les issues favorables à $E$, puis calculer $P(E)$.

On lance simultanément deux dés équilibrés à six faces et on relève le plus grand des deux nombres obtenus (leur maximum). Le tableau à double entrée suivant présente ce maximum pour chaque couple de résultats.$$\begin{array}{ccccccc}\max & 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 1& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 2& 2& 2& 3& 4& 5& 6\\ 3& 3& 3& 3& 4& 5& 6\\ 4& 4& 4& 4& 4& 5& 6\\ 5& 5& 5& 5& 5& 5& 6\\ 6& 6& 6& 6& 6& 6& 6\end{array}$$a) Justifier que cette expérience comporte 36 issues équiprobables.
b) Calculer la probabilité que le maximum obtenu soit égal à 6.
c) Calculer la probabilité que le maximum obtenu soit inférieur ou égal à 3, puis en déduire la probabilité que le maximum obtenu soit supérieur ou égal à 4.

On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On considère les évènements :

$A$ : « Tirer une carte de carreau »

$B$ : « Tirer un 7 »

a) Déterminer les issues de $A$, de $B$ et de $A\cap B$, puis calculer $P(A)$, $P(B)$ et $P(A\cap B)$.

b) Calculer $P(A\cup B)$.

c) On note $C$ l'évènement : « Ne tirer ni une carte de carreau, ni un 7 ». Expliquer pourquoi $C$ est l'évènement contraire de $A\cup B$, puis calculer $P(C)$.

On lance trois fois de suite un dé tétraédrique équilibré à quatre faces, numérotées de 1 à 4. On considère l'évènement $F$ : « On obtient au moins un 4 en trois lancers ».

a) Justifier que cette expérience à trois épreuves comporte 64 issues équiprobables.
b) En remarquant que $F$ est l'évènement contraire de « n'obtenir aucun 4 en trois lancers », dénombrer les issues de $\overline{F}$ puis calculer $P(\overline{F})$.

c) En déduire $P(F)$.

On lance un dé équilibré à six faces et on fait tourner une roue partagée en quatre secteurs identiques numérotés de 1 à 4. On additionne le nombre obtenu au dé et le numéro obtenu sur la roue.

a) Justifier que cette expérience comporte 24 issues équiprobables.
b) Calculer la probabilité que la somme obtenue soit égale à 6.
c) Calculer la probabilité que la somme obtenue soit paire, puis en déduire la probabilité que la somme obtenue soit impaire.

Une urne contient huit boules numérotées de 1 à 8, indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise deux boules de l'urne, en notant à chaque fois le numéro obtenu (l'ordre des tirages est pris en compte).

a) Justifier que cette expérience comporte 56 issues équiprobables.
b) Soit $E$ l'évènement : « Les deux numéros obtenus sont pairs ». Dénombrer les issues favorables à $E$, puis calculer $P(E)$.

Lors d'une enquête auprès de 200 clients d'un magasin, on a relevé s'ils possèdent la carte de fidélité et s'ils ont déjà effectué un achat en ligne. Les résultats sont résumés dans le tableau à double entrée suivant.$$\begin{array}{cccc}& \text{Achat en ligne}& \text{Pas d’achat en ligne}& \text{Total}\\ \text{Carte de fideˊliteˊ}& 45& 55& 100\\ \text{Sans carte de fideˊliteˊ}& 30& 70& 100\\ \text{Total}& 75& 125& 200\end{array}$$On choisit un client au hasard parmi les 200 sondés. On note $F$ l'évènement : « Le client possède la carte de fidélité » et $L$ l'évènement : « Le client a déjà acheté en ligne ».

a) Calculer $P(F)$, $P(L)$ et $P(F\cap L)$.

b) Calculer $P(F\cup L)$.

c) En déduire la probabilité qu'un client choisi au hasard n'ait ni la carte de fidélité, ni acheté en ligne, puis vérifier ce résultat directement à l'aide du tableau.

Un sac contient des jetons de quatre couleurs. La loi de probabilité du tirage d'un jeton est donnée par le tableau suivant, où $P(\text{bleu})$ est une valeur inconnue.$$\begin{array}{ccccc}\text{Couleur}& \text{rouge}& \text{bleu}& \text{vert}& \text{jaune}\\ P& 0,35& ?& 0,2& 0,15\end{array}$$a) Déterminer $P(\text{bleu})$.

b) Les couleurs rouge et jaune étant disjointes, calculer $P(\text{rouge ou jaune})$.

c) En déduire la probabilité de ne tirer ni un jeton rouge, ni un jeton jaune.

Un tournoi rassemble 96 participants. On a relevé pour chacun s'il s'est qualifié en poules et s'il a payé son inscription en ligne. Le tableau à double entrée suivant présente les résultats.$$\begin{array}{cccc}& \text{Inscription en ligne}& \text{Inscription au guichet}& \text{Total}\\ \text{Qualifieˊ}& 28& 17& 45\\ \text{Non qualifieˊ}& 33& 18& 51\\ \text{Total}& 61& 35& 96\end{array}$$On choisit un participant au hasard parmi les 96. On note $Q$ l'évènement : « Le participant s'est qualifié en poules » et $L$ l'évènement : « Le participant a payé son inscription en ligne ».

a) Calculer $P(Q)$, $P(L)$ et $P(Q\cap L)$.

b) Calculer $P(Q\cup L)$.

c) En déduire la probabilité qu'un participant choisi au hasard ne soit ni qualifié, ni inscrit en ligne, puis vérifier ce résultat directement à l'aide du tableau.

On lance un dé équilibré à huit faces, numérotées de 1 à 8, et on note le numéro obtenu sur la face supérieure. On considère les évènements :

$A$ : « Obtenir un multiple de 3 »

$B$ : « Obtenir un diviseur de 8 »

a) Déterminer les issues de $A$, puis calculer $P(A)$.

b) Déterminer les issues de $B$, puis calculer $P(B)$.

c) Justifier que $A$ et $B$ sont incompatibles, puis calculer $P(A\cup B)$.

On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Les figures sont les valets, les dames et les rois. On considère l'évènement $F$ : « La carte tirée est une figure ».

a) Combien y a-t-il de figures dans un jeu de 32 cartes ? En déduire $P(F)$.

b) Décrire par une phrase l'évènement contraire $\overline{F}$, puis calculer $P(\overline{F})$.

Un sac contient 20 bonbons, indiscernables au toucher, répartis en quatre parfums : 6 fraise, 5 citron, 4 menthe et 5 réglisse. On tire un bonbon au hasard.

a) Calculer la probabilité de tirer un bonbon de chaque parfum.
b) Vérifier que la somme de ces quatre probabilités est égale à 1.
c) Soit $M$ l'évènement : « Le bonbon tiré est à la menthe ». Calculer $P(\overline{M})$.

Une roue de loterie est partagée en dix secteurs identiques, numérotés de 1 à 10. On fait tourner la roue et on note le numéro du secteur désigné par la flèche. On considère l'évènement $A$ : « Obtenir un multiple de 3 ».

a) Déterminer les issues de $A$, puis calculer $P(A)$.

b) Décrire par une phrase l'évènement contraire $\overline{A}$, puis calculer $P(\overline{A})$.

Un sac contient 15 jetons, indiscernables au toucher, numérotés de 1 à 15. On tire un jeton au hasard. On considère l'évènement $A$ : « Obtenir un multiple de 4 ».

a) Déterminer les issues de $A$, puis calculer $P(A)$.

b) Calculer $P(\overline{A})$.

Une boîte contient 15 crayons de couleur, indiscernables au toucher : 6 rouges, 5 bleus et 4 verts. On tire un crayon au hasard. Soit $V$ l'évènement : « Le crayon tiré est vert ».

a) Calculer $P(V)$.

b) Calculer $P(\overline{V})$ de deux façons différentes : directement par dénombrement, puis en utilisant la formule de l'évènement contraire.

On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On considère les évènements :

$N$ : « La carte tirée est un neuf »

$V$ : « La carte tirée est un valet »

a) Calculer $P(N)$ et $P(V)$.

b) Justifier que $N$ et $V$ sont incompatibles.

c) En déduire $P(N\cup V)$, puis interpréter le résultat.

Dans une équipe de football, les 24 joueurs portent des maillots numérotés de 1 à 24. On choisit un joueur au hasard et on considère les évènements :

$A$ : « Le numéro du maillot est un multiple de 3 »

$B$ : « Le numéro du maillot est un multiple de 4 »

a) Déterminer les issues de $A$ et de $B$, puis calculer $P(A)$ et $P(B)$.

b) Déterminer les issues de $A\cap B$, puis calculer $P(A\cap B)$.

c) En déduire $P(A\cup B)$.

On fait tourner une roue partagée en trois secteurs identiques de couleurs rouge, bleu et vert, puis on lance une pièce de monnaie équilibrée. On s'intéresse à la couleur obtenue et au résultat de la pièce (Pile ou Face).

a) Représenter cette expérience à deux épreuves par un arbre des possibles, puis dénombrer le nombre total d'issues.
b) Soit $E$ l'évènement : « On obtient la couleur verte et Pile ». Calculer $P(E)$.

c) Soit $F$ l'évènement : « On obtient Pile ». Calculer $P(F)$.

Un panier contient 24 fruits, indiscernables au toucher : 10 pommes, 8 poires et 6 bananes. On tire un fruit au hasard.

a) Calculer la probabilité de tirer une pomme, une poire, puis une banane.
b) Soit $E$ l'évènement : « Le fruit tiré est une poire ou une banane ». Justifier que ces deux évènements sont incompatibles, puis calculer $P(E)$.

c) Décrire par une phrase l'évènement contraire $\overline{E}$, puis calculer $P(\overline{E})$.