Exercices de Probabilités, Seconde (page 3)

Une cible de fléchettes est partagée en vingt secteurs identiques, numérotés de 1 à 20. Un joueur lance une fléchette au hasard et on note le numéro du secteur touché. On considère les évènements :

$A$ : « Le numéro obtenu est un multiple de 3 »

$B$ : « Le numéro obtenu est impair »

a) Déterminer les issues de $A$ et de $B$, puis calculer $P(A)$ et $P(B)$.

b) Déterminer les issues de $A\cap B$, puis calculer $P(A\cap B)$.

c) En déduire $P(A\cup B)$.

On lance simultanément deux dés équilibrés à six faces, l'un rouge et l'un bleu, et on calcule la différence (dé rouge moins dé bleu) des deux nombres obtenus. Le tableau à double entrée suivant présente cette différence pour chaque couple de résultats.$$\begin{array}{ccccccc}-& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 1& 0& -1& -2& -3& -4& -5\\ 2& 1& 0& -1& -2& -3& -4\\ 3& 2& 1& 0& -1& -2& -3\\ 4& 3& 2& 1& 0& -1& -2\\ 5& 4& 3& 2& 1& 0& -1\\ 6& 5& 4& 3& 2& 1& 0\end{array}$$a) Justifier que cette expérience comporte 36 issues équiprobables.
b) Calculer la probabilité que la différence obtenue soit égale à 0.
c) Calculer la probabilité que la différence obtenue soit strictement positive.

On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes. Les figures sont les valets, les dames et les rois. On considère les évènements :

$F$ : « La carte tirée est une figure »

$C$ : « La carte tirée est un cœur »

a) Calculer $P(F)$ et $P(C)$.

b) Déterminer le nombre de figures de cœur, puis calculer $P(F\cap C)$.

c) En déduire $P(F\cup C)$.

Lors d'un sondage auprès de 50 personnes, on a demandé si elles aiment le café et si elles aiment le thé. Les résultats sont résumés dans le tableau à double entrée suivant.$$\begin{array}{cccc}& \text{Aime le theˊ}& \text{N’aime pas le theˊ}& \text{Total}\\ \text{Aime le cafeˊ}& 14& 16& 30\\ \text{N’aime pas le cafeˊ}& 6& 14& 20\\ \text{Total}& 20& 30& 50\end{array}$$On choisit une personne au hasard parmi les 50 sondées. On note $A$ l'évènement : « La personne aime le café » et $B$ l'évènement : « La personne aime le thé ».

a) Calculer $P(A)$, $P(B)$ et $P(A\cap B)$.

b) Calculer $P(A\cup B)$.

c) En déduire la probabilité qu'une personne choisie au hasard n'aime ni le café ni le thé, puis vérifier ce résultat directement à l'aide du tableau.

Dans une classe de 9 élèves (5 filles et 4 garçons), on tire au sort, sans remise, deux élèves pour être délégués de classe.

a) En numérotant les élèves pour les distinguer, justifier que l'on obtient 72 issues équiprobables pour cette expérience à deux épreuves, et représenter la situation par un arbre des possibles à deux niveaux.
b) Calculer la probabilité que les deux délégués tirés soient deux filles.
c) En passant par l'évènement contraire « Aucun des deux délégués n'est un garçon », calculer la probabilité qu'au moins un des deux délégués soit un garçon.

Un sac contient 4 jetons rouges et 2 jetons bleus, indiscernables au toucher. On tire un jeton, on note sa couleur, on le remet dans le sac, puis on répète cette expérience deux fois de plus, pour un total de trois tirages avec remise.

a) En numérotant les jetons pour les distinguer, justifier que l'on obtient 216 issues équiprobables pour cette expérience à trois épreuves.
b) Soit $E$ l'évènement : « Les trois jetons tirés sont rouges ». Calculer $P(E)$.

c) En passant par l'évènement contraire de $E$, calculer la probabilité qu'au moins un des trois jetons tirés soit bleu.

Un sachet contient des graines de fleurs de quatre couleurs. La loi de probabilité du tirage d'une graine est donnée par le tableau suivant, où $P(\text{blanc})$ est une valeur inconnue.$$\begin{array}{ccccc}\text{Couleur}& \text{rouge}& \text{jaune}& \text{blanc}& \text{violet}\\ P& 0,3& 0,25& ?& 0,15\end{array}$$a) Déterminer $P(\text{blanc})$.

b) Les couleurs jaune et violet étant disjointes, calculer $P(\text{jaune ou violet})$.

c) En déduire la probabilité de ne tirer ni une graine jaune, ni une graine violette.

On lance quatre fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. On considère l'évènement $E$ : « On obtient exactement trois fois Pile en quatre lancers ».

a) Justifier que cette expérience à quatre épreuves comporte 16 issues équiprobables.
b) En listant les issues comportant exactement trois Pile et un Face, dénombrer les issues favorables à $E$, puis calculer $P(E)$.

c) En déduire la probabilité de l'évènement contraire $\overline{E}$, puis l'interpréter par une phrase.

Lors d'un sondage auprès de 60 personnes, on a demandé si elles pratiquent un sport régulièrement et si elles possèdent un animal domestique. Les résultats sont résumés dans le tableau à double entrée suivant.$$\begin{array}{cccc}& \text{Animal}& \text{Pas d’animal}& \text{Total}\\ \text{Sport}& 18& 14& 32\\ \text{Pas de sport}& 10& 18& 28\\ \text{Total}& 28& 32& 60\end{array}$$On choisit une personne au hasard parmi les 60 sondées. On note $S$ l'évènement : « La personne pratique un sport » et $A$ l'évènement : « La personne possède un animal domestique ».

a) Calculer $P(S)$, $P(A)$ et $P(S\cap A)$.

b) Calculer $P(S\cup A)$.

c) En déduire la probabilité qu'une personne choisie au hasard ne pratique pas de sport et ne possède pas d'animal, puis vérifier ce résultat directement à l'aide du tableau.

Un sac contient 9 jetons, indiscernables au toucher, numérotés de 1 à 9. On tire successivement et sans remise deux jetons, et on additionne les deux numéros obtenus.

a) En numérotant les jetons pour les distinguer, justifier que l'on obtient 72 issues équiprobables pour cette expérience à deux épreuves.
b) Soit $E$ l'évènement : « La somme des deux numéros obtenus est un multiple de 3 ». En dénombrant les couples $(a,b)$ avec $a\ne b$ tels que $a+b$ soit un multiple de 3, calculer $P(E)$.

c) Calculer $P(\overline{E})$.

Un stand de loterie propose 40 billets, indiscernables au toucher : 2 donnent un grand prix, 8 donnent un lot moyen, 10 donnent un lot de consolation, et les autres ne donnent aucun lot. On achète un billet au hasard. On considère les évènements :

$G$ : « Le billet gagne un grand prix ou un lot moyen »

$C$ : « Le billet ne donne aucun lot »

a) Combien de billets ne donnent aucun lot ? En déduire $P(C)$.

b) Les évènements « grand prix » et « lot moyen » étant incompatibles, calculer $P(G)$.

c) Expliquer pourquoi $C$ est l'évènement contraire de « le billet gagne un lot (grand prix, lot moyen ou lot de consolation) », puis retrouver $P(C)$ par un second calcul.

Une entreprise emploie 80 salariés. Le tableau à double entrée suivant présente, pour chacun d'eux, s'il pratique le télétravail au moins un jour par semaine et s'il se déplace à vélo.$$\begin{array}{cccc}& \text{Veˊlo}& \text{Pas de veˊlo}& \text{Total}\\ \text{Teˊleˊtravail}& 20& 15& 35\\ \text{Pas de teˊleˊtravail}& 10& 35& 45\\ \text{Total}& 30& 50& 80\end{array}$$On choisit un salarié au hasard parmi les 80. On note $T$ l'évènement : « Le salarié pratique le télétravail » et $V$ l'évènement : « Le salarié se déplace à vélo ».

a) Vérifier, à l'aide des totaux du tableau, que $P(T)=\frac{7}{16}$ et calculer $P(V)$.

b) Calculer $P(T\cap V)$.

c) En déduire $P(T\cup V)$, puis la probabilité qu'un salarié choisi au hasard ne pratique ni le télétravail, ni le déplacement à vélo.

Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 5 rouges et 5 bleues. On tire successivement et sans remise deux boules de l'urne.

a) En numérotant les boules pour les distinguer, justifier que l'on obtient 90 issues équiprobables pour cette expérience à deux épreuves.
b) Soit $E$ l'évènement : « Les deux boules tirées sont de couleurs différentes ». En dénombrant séparément les issues (rouge, bleue) et (bleue, rouge), calculer $P(E)$.

c) En déduire la probabilité $P(\overline{E})$ que les deux boules tirées soient de la même couleur, puis vérifier ce résultat par un calcul direct.

On lance un dé équilibré à douze faces, numérotées de 1 à 12, et on note le numéro obtenu sur la face supérieure. On considère l'évènement $A$ : « Obtenir un multiple de 5 ».

a) Déterminer les issues de $A$, puis calculer $P(A)$.

b) Décrire par une phrase l'évènement contraire $\overline{A}$, puis calculer $P(\overline{A})$.

On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On considère l'évènement $E$ : « La carte tirée est un pique ».

a) Combien y a-t-il de piques dans un jeu de 32 cartes ? En déduire $P(E)$.

b) Décrire par une phrase l'évènement contraire $\overline{E}$, puis calculer $P(\overline{E})$.

Une urne contient 30 billes, indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 30. On tire une bille au hasard. On considère l'évènement $A$ : « Obtenir un multiple de 7 ».

a) Déterminer les issues de $A$, puis calculer $P(A)$.

b) Calculer $P(\overline{A})$.

Dans un vestiaire, les 24 casiers sont numérotés de 1 à 24. On choisit un casier au hasard et on considère les évènements :

$A$ : « Le numéro du casier est un multiple de 4 »

$B$ : « Le numéro du casier est un multiple de 7 »

a) Déterminer les issues de $A$ et de $B$, puis calculer $P(A)$ et $P(B)$.

b) Justifier que $A$ et $B$ sont incompatibles, puis calculer $P(A\cup B)$.

Un sac contient 5 jetons numérotés de 1 à 5. On tire un jeton au hasard, on note son numéro, puis on lance un dé équilibré à six faces et on note le résultat obtenu.

a) Dénombrer le nombre total d'issues de cette expérience à deux épreuves.
b) Soit $E$ l'évènement : « Le jeton porte le numéro 3 et le dé indique un nombre pair ». Calculer $P(E)$.

c) Soit $F$ l'évènement : « Le jeton porte un numéro pair ». Calculer $P(F)$.

Dans une classe de 32 élèves, chaque élève étudie une seule langue vivante 2 : 14 étudient l'espagnol, 11 étudient l'allemand, et les autres étudient l'italien. On choisit un élève au hasard dans cette classe. On considère les évènements $A$ : « L'élève étudie l'espagnol » et $B$ : « L'élève étudie l'allemand ».

a) Calculer $P(A)$ et $P(B)$.

b) Justifier que $A$ et $B$ sont incompatibles, puis calculer $P(A\cup B)$.

c) En déduire la probabilité qu'un élève choisi au hasard étudie l'italien, puis vérifier ce résultat directement.

Une grille de loto comporte 40 cases numérotées de 1 à 40. On choisit une case au hasard et on considère les évènements :

$A$ : « Le numéro de la case est un multiple de 4 »

$B$ : « Le numéro de la case est un multiple de 6 »

a) Déterminer les issues de $A$ et de $B$, puis calculer $P(A)$ et $P(B)$.

b) Déterminer les issues de $A\cap B$, puis calculer $P(A\cap B)$.

c) En déduire $P(A\cup B)$.

Un cinéma a interrogé 45 spectateurs pour savoir s'ils possèdent une carte de fidélité et s'ils ont choisi une séance en version originale (VO). Les résultats sont résumés dans le tableau à double entrée suivant.$$\begin{array}{cccc}& \text{VO}& \text{Pas VO}& \text{Total}\\ \text{Carte de fideˊliteˊ}& 12& 18& 30\\ \text{Pas de carte}& 5& 10& 15\\ \text{Total}& 17& 28& 45\end{array}$$On choisit un spectateur au hasard parmi les 45. On note $A$ l'évènement : « Le spectateur possède une carte de fidélité » et $B$ l'évènement : « Le spectateur a choisi une séance en VO ».

a) Calculer $P(A)$, $P(B)$ et $P(A\cap B)$.

b) Calculer $P(A\cup B)$.

c) En déduire la probabilité qu'un spectateur choisi au hasard n'ait ni carte de fidélité, ni séance en VO, puis vérifier ce résultat directement à l'aide du tableau.

On lance simultanément deux dés tétraédriques équilibrés à quatre faces, numérotées de 1 à 4, l'un vert et l'un violet, et on additionne les deux numéros obtenus. Le tableau à double entrée suivant présente cette somme pour chaque couple de résultats.$$\begin{array}{ccccc}+& 1& 2& 3& 4\\ 1& 2& 3& 4& 5\\ 2& 3& 4& 5& 6\\ 3& 4& 5& 6& 7\\ 4& 5& 6& 7& 8\end{array}$$a) Justifier que cette expérience comporte 16 issues équiprobables.
b) Calculer la probabilité que la somme obtenue soit égale à 5.
c) Calculer la probabilité que la somme obtenue soit supérieure ou égale à 6.

Un sac contient 11 billets de tombola, indiscernables au toucher : 4 billets gagnants et 7 billets perdants. On tire successivement et sans remise deux billets du sac.

a) En numérotant les billets pour les distinguer, justifier que l'on obtient 110 issues équiprobables pour cette expérience à deux épreuves.
b) Soit $E$ l'évènement : « Les deux billets tirés sont perdants ». Calculer $P(E)$.

c) En passant par l'évènement contraire de $E$, calculer la probabilité qu'au moins un des deux billets tirés soit gagnant.

Une salle de sport compte 70 abonnés. Le tableau à double entrée suivant présente, pour chacun d'eux, s'il participe aux cours collectifs et s'il utilise la piscine.$$\begin{array}{cccc}& \text{Piscine}& \text{Pas de piscine}& \text{Total}\\ \text{Cours collectifs}& 16& 24& 40\\ \text{Pas de cours collectifs}& 14& 16& 30\\ \text{Total}& 30& 40& 70\end{array}$$On choisit un abonné au hasard parmi les 70. On note $T$ l'évènement : « L'abonné participe aux cours collectifs » et $V$ l'évènement : « L'abonné utilise la piscine ».

a) Calculer $P(T)$, $P(V)$ et $P(T\cap V)$.

b) Calculer $P(T\cup V)$.

c) En déduire la probabilité qu'un abonné choisi au hasard ne participe ni aux cours collectifs, ni à la piscine, puis vérifier ce résultat directement à l'aide du tableau.

Une urne contient 5 jetons, indiscernables au toucher, numérotés de 1 à 5. On tire un jeton, on note son numéro, on le remet dans l'urne, puis on répète cette expérience deux fois de plus, pour un total de trois tirages avec remise.

a) Justifier que l'on obtient 125 issues équiprobables pour cette expérience à trois épreuves.
b) Soit $E$ l'évènement : « Les trois numéros tirés sont impairs ». Calculer $P(E)$.

c) En passant par l'évènement contraire de $E$, calculer la probabilité qu'au moins un des trois numéros tirés soit pair.

Une grille de loterie comporte 50 cases numérotées de 1 à 50. On choisit une case au hasard et on considère les évènements :

$A$ : « Le numéro de la case est un multiple de 5 »

$B$ : « Le numéro de la case est un multiple de 8 »

a) Déterminer les issues de $A$ et de $B$, puis calculer $P(A)$ et $P(B)$.

b) Déterminer les issues de $A\cap B$, puis calculer $P(A\cap B)$.

c) Calculer $P(A\cup B)$, puis en déduire la probabilité qu'une case choisie au hasard ne soit ni un multiple de 5, ni un multiple de 8.

Sur une photo, trois femmes posent côte à côte : la première est rousse, la deuxième blonde et la troisième brune. Chacune porte une robe et un renard (une étole en fourrure de renard). Les trois robes ont ces trois mêmes couleurs, une rousse, une blonde et une brune, et les trois renards aussi : un roux, un blond et un brun. Sur la photo, chaque femme a ses cheveux, sa robe et son renard de trois couleurs différentes.

En admettant que chaque femme choisisse une robe et un renard de façon aléatoire (les trois robes sont réparties au hasard entre les trois femmes, une robe chacune, puis les trois renards de la même façon, indépendamment des robes), calculer les probabilités des évènements suivants :

a) Une situation semblable à celle de la photo se produit : chaque femme possède sa robe, son renard, et ses cheveux de couleurs différentes ?
b) Chaque femme possède sa robe, son renard, et ses cheveux de la même couleur ?
c) La femme rousse porte le renard roux ?
d) Chaque femme porte une robe de la couleur de ses cheveux ?