Exercices de Statistiques descriptives, Seconde (page 2)

Une classe passe un contrôle. La répartition des notes obtenues est donnée dans le tableau suivant, mais un effectif a été effacé :$$\begin{array}{cccccc}\text{Note }{x}_i& 8& 10& 12& 14& 16\\ \text{Effectif }{n}_i& 3& 7& n& 6& 2\end{array}$$Sachant que la moyenne des notes de la classe est $11,75$, déterminer l'effectif manquant $n$ ainsi que l'effectif total de la classe.

Deux salles de sport mesurent la fréquence cardiaque de leurs adhérents pendant un effort.

La salle A exprime ses mesures directement en battements par minute (bpm) : moyenne $130$ bpm, écart-type $12$ bpm.

La salle B utilise un capteur qui exprime la fréquence cardiaque en pourcentage de la fréquence cardiaque maximale théorique ($220$ bpm), selon la formule $y=\frac{x}{220}\times 100$, où $x$ est exprimé en bpm. La salle B obtient ainsi : moyenne $65\%$, écart-type $4\%$.

1. Exprimer $x$ en fonction de $y$ et convertir la moyenne et l'écart-type de la salle B en bpm.
2. Comparer alors le niveau moyen et l'homogénéité des deux salles.

Un capteur mesure la tension électrique (en volts) d'un lot de composants. L'écart-type initial des mesures est ${\sigma }_x=0,25$ V et la moyenne initiale est $\bar{x}=5$ V.

Après un recalibrage, chaque mesure $x$ est transformée en $y=ax+b$, avec $a>0$. Le nouvel écart-type observé est ${\sigma }_y=1,5$ V et la nouvelle moyenne est $\bar{y}=7,7$ V.

1. Déterminer la valeur du coefficient $a$.
2. En déduire la valeur de la constante $b$.

Un laboratoire étudie la durée d'efficacité (en heures) d'un médicament sur deux groupes de patients.

Le groupe 1 (60 patients) est réparti en classes :$$\begin{array}{cccccc}\text{Dureˊe (h)}& [4;6[& [6;8[& [8;10[& [10;12[& [12;14[\\ \text{Effectif }{n}_i& 6& 18& 24& 9& 3\end{array}$$Le groupe 2 est représenté par un diagramme en boîte, dont on lit : minimum $=3$, $Q_1=7$, médiane $=9$, $Q_3=11$, maximum $=15$.

1. Pour le groupe 1, donner le centre de chaque classe, puis calculer la durée moyenne d'efficacité et l'écart-type (arrondir au centième).
2. Pour le groupe 2, calculer l'étendue et l'écart interquartile à partir du diagramme en boîte.
3. Comparer les deux groupes en termes de tendance centrale et de dispersion.

Lors d'un entraînement de natation, on chronomètre le temps (en secondes) mis par 6 nageurs pour effectuer un 100 mètres nage libre :$$62,58,65,60,63,64$$Calculer le temps moyen mis par les 6 nageurs pour effectuer ce 100 mètres.

Un adolescent a noté le nombre de messages qu'il a envoyés chaque jour pendant une semaine, triés par ordre croissant :$$12,15,18,20,22,25,30$$1. Déterminer la médiane de cette série.
2. Calculer l'étendue de cette série.

Un agent d'aéroport a pesé 8 valises à l'embarquement. Voici leurs masses (en kg), triées par ordre croissant :$$8,10,11,13,14,16,18,20$$1. Déterminer la médiane de cette série.
2. Calculer l'étendue de cette série.

Un analyste financier relève la variation quotidienne (en points) d'un indice boursier sur 7 jours de bourse consécutifs :$$-12,5,-8,20,-3,15,-6$$1. Calculer la variation moyenne sur ces 7 jours (arrondir au centième).
2. Calculer l'étendue de cette série de variations.

Dans une bibliothèque, on a relevé le nombre de livres empruntés par 25 lecteurs au cours du mois :$$\begin{array}{cccccc}\text{Nombre de livres }{x}_i& 0& 1& 2& 3& 4\\ \text{Effectif }{n}_i& 4& 6& 8& 5& 2\end{array}$$1. Vérifier que l'effectif total est bien de 25 lecteurs.
2. Calculer le nombre moyen de livres empruntés par lecteur.

Un restaurant a interrogé 150 clients sur leur satisfaction, notée de 1 à 5. La répartition des notes attribuées est donnée en pourcentage :$$\begin{array}{cccc}\text{Note }{x}_i& 3& 4& 5\\ \text{Freˊquence}& 20\%& 50\%& 30\%\end{array}$$1. Calculer le nombre de clients ayant attribué chacune des trois notes.
2. Calculer la note moyenne de satisfaction attribuée par l'ensemble des 150 clients.

Un centre d'appel a relevé la durée (en secondes) de 15 appels avant leur prise en charge, triées par ordre croissant :$$10,12,14,15,17,18,20,22,24,26,28,30,33,36,40$$1. Déterminer la médiane de cette série.
2. Déterminer le premier quartile $Q_1$ et le troisième quartile $Q_3$.
3. Calculer l'écart interquartile.

Un club de golf a relevé le nombre de coups réalisés par 14 joueurs sur un parcours, triés par ordre croissant :$$68,70,71,72,73,74,75,76,77,78,80,82,85,90$$1. Déterminer la médiane de cette série.
2. Déterminer $Q_1$ et $Q_3$.
3. Calculer l'écart interquartile.

Un opérateur téléphonique propose 6 forfaits mensuels dont les prix (en euros) sont :$$20,24,28,32,36,40$$1. Calculer le prix moyen de ces forfaits.
2. L'opérateur augmente tous les prix de $10\%$. En utilisant la propriété de linéarité de la moyenne, calculer le nouveau prix moyen sans refaire tous les calculs.
3. Pour fidéliser ses clients, l'opérateur applique ensuite une remise fixe de $3$ euros sur chaque forfait. Calculer le prix moyen final.

Une station météo mesure la vitesse du vent (en km/h). L'écart-type de cette série de mesures est ${\sigma }_x=4$ km/h.

1. On convertit chaque mesure en m/s à l'aide de la formule $y=\frac{x}{3,6}$. Sans recalculer toutes les valeurs, déterminer l'écart-type de la série exprimée en m/s (arrondir au centième). Justifier.
2. Le capteur applique ensuite une correction fixe de $+0,2$ m/s à chaque mesure exprimée en m/s. Cette correction change-t-elle l'écart-type ? Justifier.

Un professeur relève le nombre de fautes de frappe présentes sur 30 pages tapées par ses élèves :$$\begin{array}{ccccccc}\text{Nombre de fautes }{x}_i& 0& 1& 2& 3& 4& 5\\ \text{Effectif }{n}_i& 3& 6& 10& 7& 3& 1\end{array}$$1. Calculer les effectifs cumulés croissants.
2. Déterminer la médiane de cette série.
3. Déterminer $Q_1$ et $Q_3$ à l'aide des effectifs cumulés, puis calculer l'écart interquartile.

Voici le temps (en minutes) mis par 13 participants pour résoudre une énigme lors d'un escape game, triés par ordre croissant :$$5,7,8,9,10,11,12,13,14,16,18,20,25$$1. Déterminer le minimum, le maximum, la médiane, $Q_1$ et $Q_3$ de cette série.
2. Expliquer comment construire le diagramme en boîte associé à partir de ces cinq valeurs.
3. Calculer l'écart interquartile et l'étendue de cette série.

On mesure à 6 reprises le temps nécessaire pour recharger complètement une batterie de smartphone (en minutes) :$$45,50,55,60,65,70$$1. Calculer le temps de recharge moyen $\bar{x}$.
2. Calculer la variance $V$ de cette série.
3. En déduire l'écart-type $\sigma$ (arrondir au centième).

Un enseignant relève le nombre d'erreurs commises par 30 élèves lors d'un test de conjugaison :$$\begin{array}{cccccc}\text{Nombre d’erreurs }{x}_i& 0& 1& 2& 3& 4\\ \text{Effectif }{n}_i& 5& 9& 10& 4& 2\end{array}$$1. Calculer le nombre moyen d'erreurs par élève (arrondir au centième).
2. Calculer la variance de cette série (arrondir au centième).
3. En déduire l'écart-type (arrondir au centième).

Une association organise une sortie vélo regroupant 45 cyclistes. Voici la répartition des distances parcourues (en km), groupées en classes :$$\begin{array}{cccccc}\text{Distance (km)}& [10;15[& [15;20[& [20;25[& [25;30[& [30;35[\\ \text{Effectif }{n}_i& 5& 12& 16& 8& 4\end{array}$$1. Vérifier que l'effectif total est bien de 45 cyclistes.
2. Donner le centre $x_i$ de chaque classe.
3. Calculer la distance moyenne parcourue par les cyclistes (arrondir au centième).

Une étude porte sur la consommation électrique quotidienne (en kWh) de 50 foyers, groupée en classes :$$\begin{array}{cccccc}\text{Consommation (kWh)}& [5;10[& [10;15[& [15;20[& [20;25[& [25;30[\\ \text{Effectif }{n}_i& 6& 14& 20& 7& 3\end{array}$$1. Calculer la consommation moyenne des foyers.
2. Calculer la variance de cette série (arrondir au centième).
3. En déduire l'écart-type (arrondir au centième).

On pèse 5 colis et on obtient les masses suivantes (en kg) :$$10,12,9,11,13$$1. Calculer la masse moyenne $\bar{x}$ et l'écart-type ${\sigma }_x$ de cette série.
2. Pour une expédition à l'étranger, chaque masse doit être convertie en livres à l'aide de la formule $y=2,2x-1$ (où $y$ tient compte d'une tare fixe). Calculer la moyenne $\bar{y}$ et l'écart-type ${\sigma }_y$ de la série convertie, sans recalculer toutes les valeurs une par une (arrondir au centième si nécessaire).

On mesure la vitesse de pointe (en m/s) de 5 coureurs dans chacune de deux équipes, triées par ordre croissant :

Équipe A : $7,8,9,10,11$

Équipe B : $3,6,9,12,15$

1. Vérifier que les deux équipes ont la même moyenne.
2. Calculer la variance et l'écart-type de chaque équipe.
3. Calculer l'écart interquartile de chaque équipe.
4. Quelle équipe est la plus homogène ? Justifier.

Un diagramme en boîte représente les notes sur 20 obtenues par 120 candidats à un examen. On lit : minimum $=4$, $Q_1=9$, médiane $=10$, $Q_3=17$, maximum $=19$.

1. Calculer l'étendue de cette série de notes.
2. Calculer l'écart interquartile.
3. Comparer la distance entre la médiane et $Q_1$ avec celle entre la médiane et $Q_3$, puis interpréter ce que cela révèle sur la répartition des notes.

Voici les ventes journalières (en euros) d'une boutique sur 20 jours d'ouverture, triées par ordre croissant :$$120,135,140,148,152,158,162,165,170,175,180,185,190,195,200,205,212,220,230,245$$1. Calculer la moyenne des ventes journalières (arrondir au centième).
2. Déterminer la médiane de cette série.
3. Déterminer $Q_1$, $Q_3$, l'écart interquartile et l'étendue.
4. Comparer la moyenne et la médiane, puis indiquer les cinq valeurs qui permettraient de construire le diagramme en boîte de cette série.

Une classe passe un contrôle. La répartition des notes obtenues est donnée dans le tableau suivant, mais un effectif a été effacé :$$\begin{array}{cccccc}\text{Note }{x}_i& 6& 9& 12& 15& 18\\ \text{Effectif }{n}_i& 4& 8& n& 5& 3\end{array}$$Sachant que la moyenne des notes de la classe est $11,5$, déterminer l'effectif manquant $n$ ainsi que l'effectif total de la classe.

Deux clubs de gymnastique évaluent leurs adhérents différemment.

Le club A note ses adhérents sur $20$ points : moyenne $14$, écart-type $2$.

Le club B exprime son évaluation directement en pourcentage, selon la formule $y=5x$, où $x$ est la note sur $20$. Le club B obtient ainsi : moyenne $72\%$, écart-type $9\%$.

1. Exprimer $x$ en fonction de $y$ et convertir la moyenne et l'écart-type du club B sur une note sur $20$.
2. Comparer alors le niveau moyen et l'homogénéité des deux clubs.

Un compteur de vitesse mal réglé affiche des valeurs $x$ dont la moyenne est $\bar{x}=80$ km/h et l'écart-type est ${\sigma }_x=5$ km/h.

Après réétalonnage, chaque valeur affichée $x$ est corrigée en une vitesse réelle $y=ax+b$, avec $a>0$. On observe alors une nouvelle moyenne $\bar{y}=95$ km/h et un nouvel écart-type ${\sigma }_y=12,5$ km/h.

1. Déterminer la valeur du coefficient $a$.
2. En déduire la valeur de la constante $b$.

Un studio compare le temps de chargement (en secondes) de deux versions d'une application mobile.

La version 1 a été testée sur 80 appareils, répartis en classes :$$\begin{array}{cccccc}\text{Temps (s)}& [1;3[& [3;5[& [5;7[& [7;9[& [9;11[\\ \text{Effectif }{n}_i& 10& 25& 30& 10& 5\end{array}$$La version 2 est représentée par un diagramme en boîte, dont on lit : minimum $=0,5$, $Q_1=3$, médiane $=5$, $Q_3=7,5$, maximum $=12$.

1. Pour la version 1, donner le centre de chaque classe, puis calculer le temps moyen de chargement et l'écart-type (arrondir au centième).
2. Pour la version 2, calculer l'étendue et l'écart interquartile à partir du diagramme en boîte.
3. Comparer les deux versions en termes de tendance centrale et de dispersion.

Lors d'une évaluation de SVT, 5 élèves ont obtenu les notes suivantes (sur 20) :$$7,9,12,14,16$$Calculer la moyenne $\bar{x}$ de cette série.

Un élève a relevé la durée (en minutes) de son trajet scolaire pendant 9 jours, triée par ordre croissant :$$10,12,12,15,17,18,20,22,25$$1. Déterminer la médiane de cette série.
2. Calculer l'étendue de cette série.

On a pesé (en kg) les sacs à dos de 6 élèves, triés par ordre croissant :$$3,2,3,5,3,8,4,0,4,3,4,6$$1. Déterminer la médiane de cette série.
2. Calculer l'étendue de cette série.

Six plongeurs ont atteint les profondeurs suivantes (en mètres, comptées négativement car sous le niveau de la mer) :$$-6,-4,-10,-2,-12,-8$$1. Calculer la moyenne de cette série.
2. Calculer l'étendue de cette série.

Un restaurant a reçu 50 avis en ligne, notés de $1$ à $5$ étoiles. Voici la répartition des avis :$$\begin{array}{cccccc}\text{Nombre d’eˊtoiles }{x}_i& 1& 2& 3& 4& 5\\ \text{Effectif }{n}_i& 2& 3& 10& 20& 15\end{array}$$1. Vérifier que l'effectif total est bien de 50 avis.
2. Calculer la moyenne pondérée $\bar{x}$ du nombre d'étoiles.

Voici les vitesses de pointe (en km/h), triées par ordre croissant, de 5 cyclistes lors d'une descente :$$28,30,31,33,36$$1. Calculer la moyenne de cette série.
2. Calculer l'étendue de cette série.

Une entreprise a relevé la durée (en minutes) de la pause déjeuner de 13 employés un même jour, triée par ordre croissant :$$20,22,25,27,28,30,32,33,35,37,38,40,42$$1. Déterminer la médiane de cette série.
2. Déterminer le premier quartile $Q_1$ et le troisième quartile $Q_3$.
3. Calculer l'écart interquartile.

On a relevé la consommation d'eau quotidienne (en litres) de 16 foyers, triée par ordre croissant :$$120,125,130,135,140,142,145,148,150,152,155,158,160,165,170,180$$1. Déterminer la médiane de cette série.
2. Déterminer $Q_1$ et $Q_3$.
3. Calculer l'écart interquartile.

Le tableau suivant présente la répartition par âge de 60 visiteurs d'un musée un dimanche :$$\begin{array}{ccccccc}\text{Aˆge}& [10;20[& [20;30[& [30;40[& [40;50[& [50;60[& [60;70[\\ \text{Effectif }{n}_i& 5& 12& 18& 15& 7& 3\end{array}$$1. Vérifier que l'effectif total est bien de 60 visiteurs.
2. Donner le centre $x_i$ de chaque classe.
3. Calculer la moyenne pondérée des âges (arrondir au centième).

Voici les vitesses (en km/h) de 5 services d'un joueur de tennis :$$150,155,160,165,170$$1. Calculer la moyenne $\bar{x}$ de cette série.
2. Calculer la variance $V$ de cette série.
3. En déduire l'écart-type $\sigma$ (valeur exacte puis arrondie au centième).

Voici les températures moyennes mensuelles (en degrés Celsius) relevées pendant 5 mois :$$10,14,18,22,26$$1. Calculer la moyenne $\bar{x}$ de ces températures en degrés Celsius.
2. On convertit chaque température en degrés Fahrenheit à l'aide de la formule $y=1,8x+32$. En utilisant la propriété de linéarité de la moyenne, calculer la moyenne des températures en degrés Fahrenheit sans refaire tous les calculs.