Exercices de Systèmes d'équations et droites en maths Seconde

1.Exercice 1

Résoudre le système suivant par substitution :

{y = 2 x + 3 3 x + 2 y = 1

2.Exercice 2

Résoudre le système suivant par la méthode des combinaisons linéaires :

{3 x - 2 y = 7 5 x + 4 y = 1

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3.Exercice 3

Considérons le système :

{x - 2 y = 4 2 x - 4 y = 5

1. Résoudre algébriquement ce système.
2. Que peut-on conclure graphiquement sur les deux droites d'équations

x - 2 y = 4

2 x - 4 y = 5

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1. Résolution algébrique :

On tente d'éliminer

x

. On multiplie la première équation par

2

2 \times (x - 2 y = 4) ⟹ 2 x - 4 y = 8

On soustrait la deuxième équation :

(2 x - 4 y) - (2 x - 4 y) = 8 - 5

0 = 3

On obtient une contradiction (

0 \neq = 3

) : le système est incompatible, il n'a aucune solution.

2. Interprétation graphique :

Mettons les deux équations sous forme réduite :
-

x - 2 y = 4 ⟺ y = \frac{x - 4}{2} = \frac{1}{2} x - 2

(pente

\frac{1}{2}

, ordonnée à l'origine

- 2

)
-

2 x - 4 y = 5 ⟺ y = \frac{2 x - 5}{4} = \frac{1}{2} x - \frac{5}{4}

(pente

\frac{1}{2}

, ordonnée à l'origine

- \frac{5}{4}

)

Les deux droites ont la même pente (

\frac{1}{2}

) mais des ordonnées à l'origine différentes : elles sont donc parallèles et distinctes. Un système sans solution correspond à deux droites parallèles qui ne se coupent jamais.

4. $Système résolu par substitution (cas simple)$

Résoudre le système suivant par la méthode de substitution :

{y = 3 x - 1 2 x + y = 9

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5. $Substitution avec x isolé$

Résoudre le système suivant par la méthode de substitution :

{x = 2 y + 1 x + y = 10

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6. $Substitution avec un coefficient à isoler$

Résoudre le système suivant par la méthode de substitution :

{3 x - y = 7 4 x + 3 y = 18

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7. $Combinaison linéaire directe par addition$

Résoudre le système suivant par la méthode des combinaisons linéaires :

{2 x + y = 7 x - y = 2

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8. $Combinaison linéaire avec un coefficient à ajuster$

Résoudre le système suivant par la méthode des combinaisons linéaires :

{3 x + 2 y = 16 x + y = 6

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9. $Combinaison linéaire avec deux coefficients à ajuster$

Résoudre le système suivant par la méthode des combinaisons linéaires :

{5 x - 3 y = 19 2 x + 5 y = - 11

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10. $Choisir la méthode la plus efficace$

Résoudre le système suivant en choisissant la méthode la plus adaptée :

{x + 3 y = 11 4 x - y = 18

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11. $Lecture graphique de l'intersection de deux droites$

Dans un repère, on considère les droites

d_{1}

d'équation

y = x + 1

d_{2}

d'équation

y = - 2 x + 4

.

Déterminer par le calcul les coordonnées du point d'intersection de

d_{1}

d_{2}

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12. $Forme réduite puis lecture graphique$

On considère les droites d'équations

3 x - y = - 1

- x - y = - 5

.

1. Écrire chaque équation sous la forme réduite

y = m x + p

.
2. En déduire, par le calcul, les coordonnées du point d'intersection des deux droites.

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13. $Position relative de deux droites sans résoudre$

Pour chacune des paires de droites suivantes, indiquer, sans résoudre de système, si les deux droites sont sécantes en un seul point, strictement parallèles (aucun point commun) ou confondues (une infinité de points communs). Justifier en comparant les coefficients directeurs et les ordonnées à l'origine.

Q1-

y = 2 x + 3

y = 2 x - 1

Q2-

y = - x + 4

y = 3 x - 2

Q3-

y = 0, 5 x + 2

y = 0, 5 x + 2

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14. $Système sans solution : droites parallèles$

Démontrer que le système suivant n'admet aucune solution :

{2 x - y = 3 - 4 x + 2 y = 1

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15. $Démontrer qu'un système n'a pas de solution$

Démontrer que le système suivant n'admet aucune solution :

{5 x - 15 y = 10 - x + 3 y = 4

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16. $Système à une infinité de solutions$

Démontrer que le système suivant admet une infinité de solutions, puis donner l'ensemble des solutions :

{x + 2 y = 6 2 x + 4 y = 12

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17. $Démontrer qu'un système a une infinité de solutions$

Démontrer que le système suivant admet une infinité de solutions, puis donner l'ensemble des solutions :

{3 x - 6 y = 9 - x + 2 y = - 3

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18. $Problème des âges du père et du fils$

La somme des âges d'un père et de son fils est de

45

ans. Il y a

5

ans, l'âge du père était

4

fois celui de son fils.

Déterminer l'âge actuel de chacun.

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19. $Problème de prix : croissants et pains au chocolat$

Dans une boulangerie,

3

croissants et

2

pains au chocolat coûtent

8, 10

euros.

5

croissants et

4

pains au chocolat coûtent

14, 80

euros.

Déterminer le prix d'un croissant et le prix d'un pain au chocolat.

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20. $Problème de mélange de solutions salées$

Un chimiste dispose d'une solution salée à

10%

et d'une solution salée à

30%

. Il veut obtenir

20

litres d'une solution à

18%

de sel en mélangeant les deux.

Quelle quantité de chaque solution doit-il utiliser ?

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21. $Tarifs de cinéma : mise en système et vérification$

Une salle de spectacle propose deux tarifs : le plein tarif à

x

euros et le tarif réduit à

y

euros. Le plein tarif coûte

4

euros de plus que le tarif réduit. Un soir,

50

places plein tarif et

30

places tarif réduit ont rapporté

840

euros au total.

Q1-Traduire l'énoncé par un système de deux équations d'inconnues

x

y

Q2-Résoudre ce système pour déterminer le prix de chaque tarif.

Q3-Une autre soirée,

20

places plein tarif et

60

places tarif réduit ont été vendues. Vérifier que la recette de cette soirée est bien de

720

euros.

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22. $Substitution avec y exprimé en fonction de x$

Résoudre le système suivant par la méthode de substitution :

{y = 4 x - 2 3 x + y = 12

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23. $Substitution avec x exprimé en fonction de y$

Résoudre le système suivant par la méthode de substitution :

{x = 3 y - 2 x + 2 y = 13

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24. $Combinaison linéaire par addition directe$

Résoudre le système suivant par la méthode des combinaisons linéaires :

{x + y = 9 x - y = 3

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25. $Combinaison linéaire par soustraction directe$

Résoudre le système suivant par la méthode des combinaisons linéaires :

{4 x + y = 15 x + y = 6

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26. $Intersection de deux droites données par leur équation réduite$

Dans un repère, on considère les droites

d_{1}

d'équation

y = x + 4

d_{2}

d'équation

y = 3 x - 2

.

Déterminer par le calcul les coordonnées du point d'intersection de

d_{1}

d_{2}

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27. $Substitution en isolant une inconnue à coefficient négatif$

Résoudre le système suivant par la méthode de substitution :

{2 x - y = 5 x + 3 y = 6

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28. $Combinaison linéaire avec un coefficient à ajuster$

Résoudre le système suivant par la méthode des combinaisons linéaires :

{2 x + 3 y = 13 x + y = 5

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29. $Forme réduite puis intersection de deux droites$

On considère les droites d'équations

2 x + y = 8

x - y = 1

.

1. Écrire chaque équation sous la forme réduite

y = m x + p

.
2. En déduire, par le calcul, les coordonnées du point d'intersection des deux droites.

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30. $Position relative de droites sans résoudre le système$

Q1-

y = 3 x - 2

y = 3 x + 5

Q2-

y = - 2 x + 1

y = 4 x - 3

Q3-

6 x - 4 y = 16

y = 1, 5 x - 4

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31. $Système avec un coefficient décimal$

Résoudre le système suivant par la méthode de substitution :

{0, 5 x + y = 4 x - y = 2

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32. $Choisir la méthode la plus efficace (coefficient 1 caché)$

Résoudre le système suivant en choisissant la méthode la plus adaptée :

{3 x + 4 y = 25 x - 2 y = - 5

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33. $Combinaison linéaire avec deux coefficients à ajuster$

Résoudre le système suivant par la méthode des combinaisons linéaires :

{4 x - 3 y = 11 3 x + 2 y = 21

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34. $Système sans solution : droites strictement parallèles$

Démontrer que le système suivant n'admet aucune solution :

{3 x - 4 y = 5 - 6 x + 8 y = 1

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35. $Système à une infinité de solutions$

Démontrer que le système suivant admet une infinité de solutions, puis donner l'ensemble des solutions :

{x + 3 y = 5 3 x + 9 y = 15

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36. $Problème du rectangle : périmètre et différence de dimensions$

Un rectangle a un périmètre de

54

centimètres. Sa longueur dépasse sa largeur de

7

centimètres.

Déterminer les dimensions de ce rectangle.

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37. $Problème de deux nombres : somme et différence$

La somme de deux nombres est

58

et leur différence est

12

.

Déterminer ces deux nombres.

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38. $Problème de prix : stylos et cahiers$

Léa achète

4

stylos et

3

cahiers pour

11, 70

euros. Sa sœur achète

2

stylos et

5

cahiers pour

13, 90

euros.

Déterminer le prix d'un stylo et le prix d'un cahier.

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39. $Système sans solution avec coefficients décimaux$

Démontrer que le système suivant n'admet aucune solution :

{0, 2 x + 0, 3 y = 1 0, 4 x + 0, 6 y = 3

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40. $Problème de mélange : alliage d'or à deux titres$

Un bijoutier mélange de l'or à

80%

et de l'or à

60%

pour obtenir

50

grammes d'un alliage à

72%

.

Quelle masse de chaque alliage doit-il utiliser ?

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1.Exercice 1

2.Exercice 2

3.Exercice 3

4.Système résolu par substitution (cas simple)

5.Substitution avec x isolé

6.Substitution avec un coefficient à isoler

7.Combinaison linéaire directe par addition

8.Combinaison linéaire avec un coefficient à ajuster

9.Combinaison linéaire avec deux coefficients à ajuster

10.Choisir la méthode la plus efficace

11.Lecture graphique de l'intersection de deux droites

12.Forme réduite puis lecture graphique

13.Position relative de deux droites sans résoudre

14.Système sans solution : droites parallèles

15.Démontrer qu'un système n'a pas de solution

16.Système à une infinité de solutions

17.Démontrer qu'un système a une infinité de solutions

18.Problème des âges du père et du fils

19.Problème de prix : croissants et pains au chocolat

20.Problème de mélange de solutions salées

21.Tarifs de cinéma : mise en système et vérification

22.Substitution avec y exprimé en fonction de x

23.Substitution avec x exprimé en fonction de y

24.Combinaison linéaire par addition directe

25.Combinaison linéaire par soustraction directe

26.Intersection de deux droites données par leur équation réduite

27.Substitution en isolant une inconnue à coefficient négatif

28.Combinaison linéaire avec un coefficient à ajuster

29.Forme réduite puis intersection de deux droites

30.Position relative de droites sans résoudre le système

31.Système avec un coefficient décimal

32.Choisir la méthode la plus efficace (coefficient 1 caché)

33.Combinaison linéaire avec deux coefficients à ajuster

34.Système sans solution : droites strictement parallèles

35.Système à une infinité de solutions

36.Problème du rectangle : périmètre et différence de dimensions

37.Problème de deux nombres : somme et différence

38.Problème de prix : stylos et cahiers

39.Système sans solution avec coefficients décimaux

40.Problème de mélange : alliage d'or à deux titres

4. $Système résolu par substitution (cas simple)$

5. $Substitution avec x isolé$

6. $Substitution avec un coefficient à isoler$

7. $Combinaison linéaire directe par addition$

8. $Combinaison linéaire avec un coefficient à ajuster$

9. $Combinaison linéaire avec deux coefficients à ajuster$

10. $Choisir la méthode la plus efficace$

11. $Lecture graphique de l'intersection de deux droites$

12. $Forme réduite puis lecture graphique$

13. $Position relative de deux droites sans résoudre$

14. $Système sans solution : droites parallèles$

15. $Démontrer qu'un système n'a pas de solution$

16. $Système à une infinité de solutions$

17. $Démontrer qu'un système a une infinité de solutions$

18. $Problème des âges du père et du fils$

19. $Problème de prix : croissants et pains au chocolat$

20. $Problème de mélange de solutions salées$

21. $Tarifs de cinéma : mise en système et vérification$

22. $Substitution avec y exprimé en fonction de x$

23. $Substitution avec x exprimé en fonction de y$

24. $Combinaison linéaire par addition directe$

25. $Combinaison linéaire par soustraction directe$

26. $Intersection de deux droites données par leur équation réduite$

27. $Substitution en isolant une inconnue à coefficient négatif$

28. $Combinaison linéaire avec un coefficient à ajuster$

29. $Forme réduite puis intersection de deux droites$

30. $Position relative de droites sans résoudre le système$

31. $Système avec un coefficient décimal$

32. $Choisir la méthode la plus efficace (coefficient 1 caché)$

33. $Combinaison linéaire avec deux coefficients à ajuster$

34. $Système sans solution : droites strictement parallèles$

35. $Système à une infinité de solutions$

36. $Problème du rectangle : périmètre et différence de dimensions$

37. $Problème de deux nombres : somme et différence$

38. $Problème de prix : stylos et cahiers$

39. $Système sans solution avec coefficients décimaux$

40. $Problème de mélange : alliage d'or à deux titres$