Exercices de Systèmes d'équations et droites, Seconde (page 3)

Démontrer que le système suivant n'admet aucune solution :$$\{\begin{array}{l}4x-6y=8\\ -2x+3y=1\end{array}$$

Démontrer que le système suivant admet une infinité de solutions, puis donner l'ensemble des solutions :$$\{\begin{array}{l}2x-5y=6\\ -6x+15y=-18\end{array}$$

Dans une basse-cour, il y a des poules et des lapins. Au total, on compte $35$ têtes et $94$ pattes.

Déterminer le nombre de poules et le nombre de lapins.

Un caissier compte $45$ billets dans sa caisse, certains de $10$ euros et d'autres de $20$ euros. Le montant total est de $730$ euros.

Déterminer le nombre de billets de chaque valeur.

Deux réservoirs se remplissent en même temps. Le premier contient $15$ litres au départ et se remplit à raison de $4$ litres par minute. Le second contient $51$ litres au départ et se remplit à raison de $1$ litre par minute.

Déterminer après combien de minutes les deux réservoirs contiennent le même volume d'eau, et calculer ce volume commun.

Dans une papeterie, $5$ feutres et $3$ surligneurs coûtent $13,50$ euros. $2$ feutres et $4$ surligneurs coûtent $12,40$ euros.

Déterminer le prix d'un feutre et le prix d'un surligneur.

L'âge d'un oncle est aujourd'hui le quadruple de celui de son neveu. Dans $6$ ans, l'âge de l'oncle sera le triple de celui de son neveu.

Déterminer l'âge actuel de chacun.

Un torréfacteur mélange un café contenant $40\%$ d'arabica avec un café contenant $90\%$ d'arabica, pour obtenir $25$ kilogrammes d'un mélange contenant $60\%$ d'arabica.

Déterminer la masse de chaque café utilisée.

Un élève répond aux $30$ questions d'un questionnaire à choix multiples. Chaque bonne réponse rapporte $2$ points et chaque mauvaise réponse enlève $0,5$ point. Il obtient au final un score de $45$ points.

Déterminer le nombre de bonnes réponses et le nombre de mauvaises réponses.

Un menuisier fabrique des tabourets et des chaises. Un tabouret nécessite $1,5$ heure de travail et une chaise $2,5$ heures. En une semaine, il travaille $39$ heures et fabrique $20$ meubles au total.

Déterminer le nombre de tabourets et le nombre de chaises fabriqués.

Résoudre le système suivant par la méthode des combinaisons linéaires :$$\{\begin{array}{l}6x+5y=22\\ 4x-9y=64\end{array}$$

Étudier le système suivant, sans supposer a priori qu'il admette une solution unique : préciser s'il admet une solution unique, aucune solution, ou une infinité de solutions, puis conclure.$$\{\begin{array}{l}3x-7y=5\\ 5x+2y=22\end{array}$$

Résoudre le système suivant par la méthode de substitution :$$\{\begin{array}{l}2x+y=11\\ y=3x-4\end{array}$$

Résoudre le système suivant par la méthode des combinaisons linéaires :$$\{\begin{array}{l}4x+3y=18\\ 2x-3y=0\end{array}$$

Déterminer les coordonnées du point d'intersection des droites d'équations réduites suivantes :$$\{\begin{array}{l}y=4\\ y=2x-6\end{array}$$

Résoudre le système suivant par la méthode des combinaisons linéaires :$$\{\begin{array}{l}5x+4y=7\\ 5x-y=-8\end{array}$$

Résoudre le système suivant par la méthode de substitution :$$\{\begin{array}{l}2x-3y=4\\ x+4y=13\end{array}$$

Résoudre le système suivant par la méthode des combinaisons linéaires :$$\{\begin{array}{l}3x+y=13\\ 5x+2y=23\end{array}$$

Pour chacune des paires de droites suivantes, indiquer, sans résoudre de système, si les deux droites sont sécantes en un seul point, strictement parallèles (aucun point commun) ou confondues (une infinité de points communs). Justifier en comparant les coefficients directeurs et les ordonnées à l'origine.

Résoudre le système suivant par la méthode des combinaisons linéaires :$$\{\begin{array}{l}0,5x+y=6\\ 1,5x-y=2\end{array}$$

Les droites suivantes sont données par des équations générales. Mettre chacune sous forme réduite, puis déterminer par le calcul les coordonnées de leur point d'intersection :$$\{\begin{array}{l}2x-y=6\\ x+3y=10\end{array}$$

Résoudre le système suivant en choisissant la méthode la plus efficace :$$\{\begin{array}{l}7x+4y=47\\ x-3y=-4\end{array}$$

Démontrer que le système suivant n'admet aucune solution :$$\{\begin{array}{l}3x-6y=9\\ -x+2y=5\end{array}$$

Démontrer que le système suivant admet une infinité de solutions, puis donner l'ensemble des solutions :$$\{\begin{array}{l}4x-6y=10\\ -6x+9y=-15\end{array}$$

Un épargnant place une somme totale de $800$ € répartie entre deux livrets : le livret A, rémunéré à $2\%$ par an, et le livret B, rémunéré à $5\%$ par an. Au bout d'un an, les intérêts perçus s'élèvent à $31$ €.

Déterminer la somme placée sur chaque livret.

Un chocolatier fabrique des tablettes de chocolat et des boîtes de chocolats. Chaque tablette demande $2$ minutes de fabrication et $30$ g de cacao ; chaque boîte demande $3$ minutes de fabrication et $40$ g de cacao. En une journée, le chocolatier dispose de $66$ minutes de fabrication et de $940$ g de cacao, entièrement utilisés.

Déterminer le nombre de tablettes et le nombre de boîtes fabriquées ce jour-là.

Un premier cycliste part à $8$h d'un point de départ, roulant à $15$ km/h. Un second cycliste part du même point à $9$h, roulant à $20$ km/h pour le rattraper.

On note $t$ la durée, en heures, écoulée depuis le départ du premier cycliste, et $d$ la distance, en kilomètres, parcourue au moment où le second cycliste rattrape le premier.

À quelle heure et à quelle distance du départ le second cycliste rattrape-t-il le premier ?

On considère le système $$(S)\{\begin{array}{l}2x-y=1\\ x+y=5\end{array}$$Les droites $d_1$ d'équation $2x-y=1$ et $d_2$ d'équation $x+y=5$ sont tracées dans le repère ci-dessous.La droite $d_1$ passe par les points $(0;-1)$ et $(1;1)$ ; la droite $d_2$ passe par $(0;5)$ et $(1;4)$.

1. Lire graphiquement le couple solution du système $(S)$.
2. Vérifier par le calcul.

Une salle de sport propose deux formules. Formule A : $15$ euros d'inscription puis $2$ euros par séance. Formule B : $5$ euros d'inscription puis $3$ euros par séance. Pour $x$ séances, on note $y$ le prix payé en euros. Les droites $d_A$ et $d_B$ ci-dessous représentent les deux formules.La droite $d_A$ passe par $(0;15)$ et $(5;25)$ ; la droite $d_B$ passe par $(0;5)$ et $(5;20)$.

1. Écrire le système d'équations dont la solution donne le nombre de séances pour lequel les deux formules coûtent autant.
2. Le résoudre graphiquement, puis vérifier par le calcul.
3. À partir de combien de séances la formule A est-elle moins chère que la formule B ?

On considère le système $$(S)\{\begin{array}{l}x+y=-1\\ x-2y=-4\end{array}$$Les droites associées aux deux équations sont tracées ci-dessous.La droite $d_1$ passe par $(0;-1)$ et $(2;-3)$ ; la droite $d_2$ passe par $(0;2)$ et $(2;3)$.

1. Écrire chaque équation sous la forme $y=mx+p$ et dire laquelle des droites $d_1$, $d_2$ correspond à chaque équation.
2. Lire graphiquement la solution de $(S)$ puis la vérifier par le calcul.

Soit $m$ un réel. On considère le système $$(S_m)\{\begin{array}{l}2x+my=4\\ x+3y=2\end{array}$$Résoudre $(S_m)$ selon les valeurs de $m$.

Soit $m$ un réel. On considère le système $$(S_m)\{\begin{array}{l}mx+y=m\\ x+my=1\end{array}$$Résoudre $(S_m)$ selon les valeurs de $m$.

Soit $m$ un réel. On considère le système $$(S_m)\{\begin{array}{l}mx-y=1\\ 4x-2y=3\end{array}$$1. Résoudre $(S_m)$ selon les valeurs de $m$.
2. Pour quelle valeur de $m$ le système n'a-t-il aucune solution ? Interpréter géométriquement.