Exercices de Vecteurs et repérage, Seconde

1. Le vecteur $x\vec{u}$ a pour coordonnées $\left(\begin{array}{c}xa\\ xb\end{array}\right)$ et le vecteur $y\vec{v}$ a pour coordonnées $\left(\begin{array}{c}y{a}^{\prime }\\ y{b}^{\prime }\end{array}\right)$.
Les coordonnées d'une somme de vecteurs s'obtiennent en additionnant les coordonnées, donc $\overrightarrow{O{M}^{\prime }}=x\vec{u}+y\vec{v}$ a pour coordonnées $\left(\begin{array}{c}xa+y{a}^{\prime }\\ xb+y{b}^{\prime }\end{array}\right)$.
Comme $O$ est l'origine du repère, le point $M^{\prime }$ a les mêmes coordonnées que le vecteur $\overrightarrow{O{M}^{\prime }}$ : $M^{\prime }(xa+y{a}^{\prime };xb+y{b}^{\prime })$.

2. On applique la formule de la question 1 à chaque miroir :
- miroir 1 : $M^{\prime }(-x;y)$ ;
- miroir 2 : $M^{\prime }(2x;y)$ ;
- miroir 3 : $M^{\prime }(x;2y)$ ;
- miroir 4 : $M^{\prime }(x+y;y)$ ;
- miroir 5 : $M^{\prime }(x;x+y)$.
Par exemple, dans le miroir 4, $C(4;4)$ a pour image $C^{\prime }(4+4;4)$, soit $C^{\prime }(8;4)$ ; dans le miroir 5, $F(3;3)$ a pour image $F^{\prime }(3;3+3)$, soit $F^{\prime }(3;6)$.
Le tableau donne, pour chaque point de départ (première colonne), les coordonnées de son image dans chaque miroir :Dans chaque miroir, on place les neuf images dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$, puis on trace le contour $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, les yeux $E^{\prime }$ et $F^{\prime }$, la bouche $[G^{\prime }{H}^{\prime }]$ et la mèche $[D^{\prime }{K}^{\prime }]$. Le point $A$ est l'origine $O$ : il reste en place dans tous les miroirs.

3. Dans le repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$, un vecteur non nul de coordonnées $\left(\begin{array}{c}p\\ 0\end{array}\right)$ a la direction de l'axe des abscisses, un vecteur non nul de coordonnées $\left(\begin{array}{c}0\\ q\end{array}\right)$ a la direction de l'axe des ordonnées, et ces deux axes sont perpendiculaires ; la seule direction perpendiculaire à l'axe des abscisses est celle de l'axe des ordonnées. La norme d'un vecteur $\vec{w}\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)$ est $\Vert \vec{w}\Vert =\sqrt{p^2+q^2}$.

Miroir 1 : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont les directions des deux axes, donc leurs directions sont perpendiculaires, et $\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{(-1{)}^2+0^2}=1$, $\Vert \vec{v}\Vert =\sqrt{0^2+1^2}=1$. Le repère est orthonormé.
Le visage n'est pas déformé : chaque point $M(x;y)$ est remplacé par $M^{\prime }(-x;y)$, son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Le visage est seulement retourné de gauche à droite, comme dans un miroir ordinaire : la mèche part maintenant vers la gauche.

Miroir 2 : les directions de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont encore perpendiculaires, mais $\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{2^2+0^2}=2$. Le repère est orthogonal, mais pas orthonormé.
Les abscisses sont doublées et les ordonnées ne changent pas : le visage est étiré en largeur, le carré devient un rectangle de largeur $8$ et de hauteur $4$.

Miroir 3 : les directions de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont perpendiculaires, mais $\Vert \vec{v}\Vert =\sqrt{0^2+2^2}=2$. Le repère est orthogonal, mais pas orthonormé.
Les ordonnées sont doublées et les abscisses ne changent pas : le visage est étiré en hauteur, le carré devient un rectangle de largeur $4$ et de hauteur $8$, et la mèche monte jusqu'à $K^{\prime }(1;10)$.

Miroir 4 : $\vec{u}$ a la direction de l'axe des abscisses, mais $\vec{v}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ n'a pas la direction de l'axe des ordonnées : les directions de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas perpendiculaires. Le repère est quelconque.
Chaque point glisse vers la droite d'autant plus qu'il est haut : le visage penche vers la droite. Le bas et le haut du visage restent horizontaux, la bouche aussi, et les deux yeux restent à la même hauteur, mais les côtés $[A^{\prime }{D}^{\prime }]$ et $[B^{\prime }{C}^{\prime }]$ deviennent obliques. Comme $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$, de coordonnées $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right)$, le carré devient le parallélogramme $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Miroir 5 : $\vec{v}$ a la direction de l'axe des ordonnées, mais $\vec{u}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ n'a pas la direction de l'axe des abscisses : les directions de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas perpendiculaires. Le repère est quelconque.
Chaque point monte d'autant plus qu'il est à droite : les côtés $[A^{\prime }{D}^{\prime }]$ et $[B^{\prime }{C}^{\prime }]$ restent verticaux, mais le bas et le haut du visage montent vers la droite. L'œil $F^{\prime }(3;6)$ est plus haut que l'œil $E^{\prime }(1;4)$ et la bouche $[G^{\prime }{H}^{\prime }]$ est oblique. Comme $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$, de coordonnées $\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)$, le carré devient le parallélogramme $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Bilan : ici, seul le repère orthonormé du miroir 1 garde la forme et les dimensions du visage ; les repères orthogonaux non orthonormés l'étirent dans une direction, les repères quelconques le font pencher.