Exercices de Vecteurs et repérage en maths Seconde (page 2)

42. $Démontrer qu'un parallélogramme est un rectangle$

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points

A (0; 0)

B (3; 4)

C (- 5; 10)

D (- 8; 6)

.

1. Démontrer que

A B C D

est un parallélogramme.
2. Calculer les longueurs des diagonales

A C

B D

.
3. En déduire la nature précise du quadrilatère

A B C D

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43. $Problème combiné : milieu, colinéarité et distance$

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points

A (- 2; 5)

B (6; - 3)

.

1. Déterminer les coordonnées du point

C

, milieu du segment

[A B]

.
2. On définit le point

D

tel que

B D = 3 B C

. Déterminer les coordonnées de

D

.
3. Démontrer que les points

A

B

D

sont alignés.
4. Calculer la longueur

B D

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44. $Problème de repérage : une chasse au trésor$

Sur une carte au trésor munie d'un repère orthonormé (unité :

100

m), le point de départ est le phare

P (2; 1)

. Un premier indice indique de suivre le vecteur

u (512)

jusqu'au rocher

R

. Un second indice précise que le coffre

C

est tel que

R

est le milieu du segment

[P C]

.

1. Calculer les coordonnées de

R

.
2. Calculer les coordonnées de

C

.
3. Calculer la distance parcourue entre

P

R

, en mètres.
4. Vérifier que les points

P

R

C

sont alignés.

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45. $Nature précise d'un quadrilatère : du parallélogramme au carré$

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points

A (0; 0)

B (4; 2)

C (2; 6)

D (- 2; 4)

.

1. Démontrer que

A B C D

est un parallélogramme.
2. Calculer les longueurs

A B

A D

. Que peut-on en déduire ?
3. Calculer les longueurs des diagonales

A C

B D

. Que peut-on en déduire ?
4. Conclure sur la nature précise du quadrilatère

A B C D

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46. $Calculer les coordonnées d'un vecteur connaissant deux points$

Dans un repère, on considère les points

A (- 3; 6)

B (2; - 4)

.

Calculer les coordonnées du vecteur

A B

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47. $Calculer les coordonnées du milieu d'un segment$

On considère les points

A (7; - 3)

B (- 1; 9)

.

Calculer les coordonnées du milieu

I

du segment

[A B]

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48. $Calculer une distance entre deux points dans un repère orthonormé$

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points

A (- 4; 1)

B (2; 9)

.

Calculer la distance

A B

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49. $Utiliser le déterminant pour vérifier une colinéarité$

On considère les vecteurs

u (3 - 9)

v (- 1 3)

.

Ces deux vecteurs sont-ils colinéaires ?

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50. $Calculer une combinaison linéaire de deux vecteurs$

On considère les vecteurs

u (- 3 5)

v (4 - 2)

.

1. Calculer les coordonnées du vecteur

u + v

.
2. Calculer les coordonnées du vecteur

2 u - 3 v

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51. $Déterminer un point connaissant le milieu d'un segment$

Le point

I (2; - 5)

est le milieu du segment

[A B]

, avec

A (- 3; 1)

.

Déterminer les coordonnées du point

B

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52. $Démontrer l'alignement de trois points$

On considère les points

A (- 2; - 5)

B (1; - 1)

C (7; 7)

.

Démontrer que les points

A

B

C

sont alignés.

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53. $Calculer le périmètre d'un triangle à partir des distances$

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points

A (0; 0)

B (8; 0)

C (0; 15)

.

1. Calculer les longueurs

A B

A C

B C

.
2. En déduire le périmètre du triangle

A B C

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54. $Trouver le quatrième sommet d'un parallélogramme$

On considère les points

A (- 2; 4)

B (3; 6)

C (5; 1)

.

Déterminer les coordonnées du point

D

tel que

A B C D

soit un parallélogramme.

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55. $Trouver un paramètre rendant deux vecteurs colinéaires$

On considère les vecteurs

u (m 5)

v (410)

, où

m

est un nombre réel.

Déterminer la valeur de

m

pour laquelle les vecteurs

u

v

sont colinéaires.

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56. $Déterminer la nature d'un triangle par calcul de distances$

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points

A (- 3; - 2)

B (1; 1)

C (5; - 2)

.

Quelle est la nature du triangle

A B C

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57. $Prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme par égalité de vecteurs$

On considère les points

A (- 5; - 1)

B (- 1; 3)

C (4; 2)

D (0; - 2)

.

Démontrer que

A B C D

est un parallélogramme.

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58. $Démontrer un parallélogramme grâce aux milieux des diagonales$

On considère les points

A (- 2; - 4)

B (5; 1)

C (2; 6)

D (- 5; 1)

.

Démontrer, en utilisant les milieux des diagonales, que

A B C D

est un parallélogramme.

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59. $Calculer un paramètre assurant l'alignement de trois points$

On considère les points

A (- 1; 3)

B (2; 9)

M (6; k)

, où

k

est un nombre réel.

Déterminer la valeur de

k

pour laquelle les points

A

B

M

sont alignés.

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60. $Calculer la longueur d'une médiane d'un triangle$

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère le triangle

A B C

avec

A (1; 1)

B (9; 1)

C (5; 7)

.

1. Déterminer les coordonnées du point

I

, milieu du segment

[B C]

.
2. En déduire la longueur de la médiane

[A I]

issue de

A

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61. $Prouver qu'un quadrilatère n'est pas un parallélogramme$

On considère les points

A (- 3; 2)

B (1; 5)

C (6; 3)

D (0; - 1)

.

Démontrer que

A B C D

n'est pas un parallélogramme.

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62. $Problème de repérage : trajectoire d'un skieur$

Le plan est muni d'un repère orthonormé, l'unité étant la centaine de mètres. Un skieur part du chalet

O (0; 0)

. Il effectue une première descente selon le vecteur

u (2418)

jusqu'au point

A

, puis une seconde descente selon le vecteur

v (- 9 12)

jusqu'au point

B

.

1. Déterminer les coordonnées des points

A

B

.
2. Calculer la distance

O A

parcourue lors de la première descente, puis la distance

O B

à vol d'oiseau entre le départ et l'arrivée finale.
3. Les points

O

A

B

sont-ils alignés ?

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63. $Résoudre une équation de distance pour une coordonnée inconnue$

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points

A (1; - 2)

B (x; 6)

, où

x

est un nombre réel positif.

On sait que

A B = 10

. Déterminer la valeur de

x

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64. $Prouver qu'un parallélogramme particulier est un rectangle$

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points

A (0; 0)

B (3; 1)

C (1; 7)

D (- 2; 6)

.

1. Démontrer que

A B C D

est un parallélogramme.
2. Calculer les longueurs des diagonales

A C

B D

.
3. En déduire la nature précise du quadrilatère

A B C D

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65. $Nature précise d'un quadrilatère : identifier un carré$

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points

A (0; 0)

B (6; 3)

C (3; 9)

D (- 3; 6)

.

1. Démontrer que

A B C D

est un parallélogramme.
2. Calculer les longueurs

A B

A D

. Que peut-on en déduire ?
3. Calculer les longueurs des diagonales

A C

B D

. Que peut-on en déduire ?
4. Conclure sur la nature précise du quadrilatère

A B C D

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66. $Problème vectoriel combiné : milieu, alignement et longueur$

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points

A (- 4; 3)

B (8; - 9)

.

1. Déterminer les coordonnées du point

C

, milieu du segment

[A B]

.
2. On définit le point

D

tel que

A D = 3 A C

. Déterminer les coordonnées de

D

.
3. Démontrer que les points

A

B

D

sont alignés.
4. Calculer la longueur

B D

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67. $Problème de repérage : la carte au trésor de l'île$

Sur une carte au trésor munie d'un repère orthonormé (unité :

50

m), le point de départ est le phare

P (3; - 2)

. Un premier indice indique de suivre le vecteur

u (815)

jusqu'au rocher

R

. Un second indice précise que le trésor

T

est tel que

R

est le milieu du segment

[P T]

.

1. Calculer les coordonnées de

R

.
2. Calculer les coordonnées de

T

.
3. Calculer la distance parcourue entre

P

R

, en mètres.
4. Vérifier que les points

P

R

T

sont alignés.

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68. $Démontrer qu'un quadrilatère est un losange et calculer son périmètre$

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points

A (- 1; - 3)

B (3; 0)

C (7; - 3)

D (3; - 6)

.

1. Démontrer que

A B C D

est un parallélogramme.
2. Calculer les longueurs

A B

A D

. En déduire la nature précise de

A B C D

.
3. Calculer le périmètre de

A B C D

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69. $Paramètre d'un parallélogramme et longueur d'une diagonale$

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points

A (- 2; 1)

B (4; 5)

D (1; 4)

C (m; 8)

, où

m

est un nombre réel.

1. Déterminer la valeur de

m

pour laquelle

A B C D

est un parallélogramme.
2. Avec cette valeur de

m

, calculer la longueur de la diagonale

A C

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70. $Vecteur défini par deux points aux coordonnées négatives$

Dans un repère, on considère les points

A (- 6; 2)

B (1; - 3)

.

Calculer les coordonnées du vecteur

A B

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71. $Coordonnées d'un point défini par une égalité vectorielle$

On considère le point

M (5; - 1)

et le vecteur

u (- 8 6)

.

Déterminer les coordonnées du point

N

tel que

M N = u

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72. $Milieu d'un segment aux coordonnées entières$

On considère les points

A (- 7; 4)

B (3; - 10)

.

Calculer les coordonnées du milieu

I

du segment

[A B]

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73. $Distance entre deux points dans un repère orthonormé$

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points

A (- 3; - 6)

B (5; 9)

.

Calculer la distance

A B

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74. $Colinéarité de deux vecteurs et coefficient multiplicateur$

On considère les vecteurs

u (4 - 10)

v (- 6 15)

.

1. Ces deux vecteurs sont-ils colinéaires ?
2. Si oui, déterminer le nombre réel

k

tel que

v = k u

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75. $Somme et combinaison linéaire de deux vecteurs$

On considère les vecteurs

u (- 6 3)

v (4 - 9)

.

1. Calculer les coordonnées du vecteur

u + v

.
2. Calculer les coordonnées du vecteur

3 u - 2 v

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76. $Retrouver une extrémité connaissant le milieu et l'autre extrémité$

Le point

I (- 4; 7)

est le milieu du segment

[A B]

, avec

B (2; - 5)

.

Déterminer les coordonnées du point

A

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77. $Alignement de trois points par le déterminant$

On considère les points

A (- 5; 3)

B (- 1; 5)

C (11; 11)

.

Démontrer que les points

A

B

C

sont alignés.

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78. $Longueurs et périmètre d'un triangle rectangle$

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points

A (0; 0)

B (9; 0)

C (0; 12)

.

1. Calculer les longueurs

A B

A C

B C

.
2. En déduire le périmètre du triangle

A B C

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79. $Quatrième sommet d'un parallélogramme$

On considère les points

A (- 6; - 2)

B (- 1; 5)

C (7; 1)

.

Déterminer les coordonnées du point

D

tel que

A B C D

soit un parallélogramme.

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80. $Paramètre rendant deux vecteurs colinéaires$

On considère les vecteurs

u (7 - 3)

v (m 9)

, où

m

est un nombre réel.

Déterminer la valeur de

m

pour laquelle les vecteurs

u

v

sont colinéaires.

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41.

42.Démontrer qu'un parallélogramme est un rectangle

43.Problème combiné : milieu, colinéarité et distance

44.Problème de repérage : une chasse au trésor

45.Nature précise d'un quadrilatère : du parallélogramme au carré

46.Calculer les coordonnées d'un vecteur connaissant deux points

47.Calculer les coordonnées du milieu d'un segment

48.Calculer une distance entre deux points dans un repère orthonormé

49.Utiliser le déterminant pour vérifier une colinéarité

50.Calculer une combinaison linéaire de deux vecteurs

51.Déterminer un point connaissant le milieu d'un segment

52.Démontrer l'alignement de trois points

53.Calculer le périmètre d'un triangle à partir des distances

54.Trouver le quatrième sommet d'un parallélogramme

55.Trouver un paramètre rendant deux vecteurs colinéaires

56.Déterminer la nature d'un triangle par calcul de distances

57.Prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme par égalité de vecteurs

58.Démontrer un parallélogramme grâce aux milieux des diagonales

59.Calculer un paramètre assurant l'alignement de trois points

60.Calculer la longueur d'une médiane d'un triangle

61.Prouver qu'un quadrilatère n'est pas un parallélogramme

62.Problème de repérage : trajectoire d'un skieur

63.Résoudre une équation de distance pour une coordonnée inconnue

64.Prouver qu'un parallélogramme particulier est un rectangle

65.Nature précise d'un quadrilatère : identifier un carré

66.Problème vectoriel combiné : milieu, alignement et longueur

67.Problème de repérage : la carte au trésor de l'île

68.Démontrer qu'un quadrilatère est un losange et calculer son périmètre

69.Paramètre d'un parallélogramme et longueur d'une diagonale

70.Vecteur défini par deux points aux coordonnées négatives

71.Coordonnées d'un point défini par une égalité vectorielle

72.Milieu d'un segment aux coordonnées entières

73.Distance entre deux points dans un repère orthonormé

74.Colinéarité de deux vecteurs et coefficient multiplicateur

75.Somme et combinaison linéaire de deux vecteurs

76.Retrouver une extrémité connaissant le milieu et l'autre extrémité

77.Alignement de trois points par le déterminant

78.Longueurs et périmètre d'un triangle rectangle

79.Quatrième sommet d'un parallélogramme

80.Paramètre rendant deux vecteurs colinéaires

42. $Démontrer qu'un parallélogramme est un rectangle$

43. $Problème combiné : milieu, colinéarité et distance$

44. $Problème de repérage : une chasse au trésor$

45. $Nature précise d'un quadrilatère : du parallélogramme au carré$

46. $Calculer les coordonnées d'un vecteur connaissant deux points$

47. $Calculer les coordonnées du milieu d'un segment$

48. $Calculer une distance entre deux points dans un repère orthonormé$

49. $Utiliser le déterminant pour vérifier une colinéarité$

50. $Calculer une combinaison linéaire de deux vecteurs$

51. $Déterminer un point connaissant le milieu d'un segment$

52. $Démontrer l'alignement de trois points$

53. $Calculer le périmètre d'un triangle à partir des distances$

54. $Trouver le quatrième sommet d'un parallélogramme$

55. $Trouver un paramètre rendant deux vecteurs colinéaires$

56. $Déterminer la nature d'un triangle par calcul de distances$

57. $Prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme par égalité de vecteurs$

58. $Démontrer un parallélogramme grâce aux milieux des diagonales$

59. $Calculer un paramètre assurant l'alignement de trois points$

60. $Calculer la longueur d'une médiane d'un triangle$

61. $Prouver qu'un quadrilatère n'est pas un parallélogramme$

62. $Problème de repérage : trajectoire d'un skieur$

63. $Résoudre une équation de distance pour une coordonnée inconnue$

64. $Prouver qu'un parallélogramme particulier est un rectangle$

65. $Nature précise d'un quadrilatère : identifier un carré$

66. $Problème vectoriel combiné : milieu, alignement et longueur$

67. $Problème de repérage : la carte au trésor de l'île$

68. $Démontrer qu'un quadrilatère est un losange et calculer son périmètre$

69. $Paramètre d'un parallélogramme et longueur d'une diagonale$

70. $Vecteur défini par deux points aux coordonnées négatives$

71. $Coordonnées d'un point défini par une égalité vectorielle$

72. $Milieu d'un segment aux coordonnées entières$

73. $Distance entre deux points dans un repère orthonormé$

74. $Colinéarité de deux vecteurs et coefficient multiplicateur$

75. $Somme et combinaison linéaire de deux vecteurs$

76. $Retrouver une extrémité connaissant le milieu et l'autre extrémité$

77. $Alignement de trois points par le déterminant$

78. $Longueurs et périmètre d'un triangle rectangle$

79. $Quatrième sommet d'un parallélogramme$

80. $Paramètre rendant deux vecteurs colinéaires$