Exercices de Vecteurs et repérage, Seconde (page 3)

On considère les points $A(-6;-3)$, $B(-2;1)$, $C(5;0)$ et $D(1;-4)$.

Démontrer que $ABCD$ est un parallélogramme.

On considère les points $A(-6;1)$, $B(3;5)$, $C(4;-3)$ et $D(-5;-7)$.

Démontrer, en utilisant les milieux des diagonales, que $ABCD$ est un parallélogramme.

On considère les points $A(-3;2)$, $B(1;10)$ et $C(5;k)$, où $k$ est un nombre réel.

Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère le triangle $ABC$ avec $A(1;3)$, $B(9;3)$ et $C(5;15)$.

1. Déterminer les coordonnées du point $I$, milieu du segment $[BC]$.
2. En déduire la longueur de la médiane $[AI]$ issue de $A$.

On considère les points $A(-4;-2)$, $B(0;3)$, $C(6;1)$ et $D(1;-3)$.

Démontrer que $ABCD$ n'est pas un parallélogramme.

Le plan est muni d'un repère orthonormé, l'unité étant le mille marin. Un voilier appareille du port $O(0;0)$. Il navigue selon le vecteur $\vec{u}\left(\begin{array}{c}16\\ 12\end{array}\right)$ jusqu'à la bouée $A$, puis selon le vecteur $\vec{v}\left(\begin{array}{c}9\\ -12\end{array}\right)$ jusqu'au point $B$.

1. Déterminer les coordonnées des points $A$ et $B$.
2. Calculer les longueurs $OA$, $AB$ et $OB$.
3. Quelle est la nature du triangle $OAB$ ?

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points $A(2;1)$, $B(5;5)$, $C(-3;11)$ et $D(-6;7)$.

1. Démontrer que $ABCD$ est un parallélogramme.
2. Calculer les longueurs des diagonales $AC$ et $BD$.
3. En déduire la nature précise du quadrilatère $ABCD$.

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points $A(1;-3)$, $B(4;1)$, $C(0;4)$ et $D(-3;0)$.

1. Démontrer que $ABCD$ est un parallélogramme.
2. Calculer les longueurs $AB$ et $AD$. Que peut-on en déduire ?
3. Calculer les longueurs des diagonales $AC$ et $BD$. Que peut-on en déduire ?
4. Conclure sur la nature précise du quadrilatère $ABCD$.

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points $A(-6;8)$ et $B(10;-4)$.

1. Déterminer les coordonnées du point $C$, milieu du segment $[AB]$.
2. On définit le point $D$ tel que $\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AC}$. Déterminer les coordonnées de $D$.
3. Démontrer que les points $A$, $B$ et $D$ sont alignés.
4. Calculer la longueur $BD$.

Sur une carte de course d'orientation munie d'un repère orthonormé (unité : $10$ m), le départ se situe à la balise $P(4;-3)$. Un premier indice indique de suivre le vecteur $\vec{u}\left(\begin{array}{c}12\\ 5\end{array}\right)$ jusqu'à la balise $Q$. Un second indice précise que l'arrivée $F$ est telle que $Q$ est le milieu du segment $[PF]$.

1. Calculer les coordonnées de $Q$.
2. Calculer les coordonnées de $F$.
3. Calculer la distance parcourue entre $P$ et $Q$, en mètres.
4. Vérifier que les points $P$, $Q$ et $F$ sont alignés.

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points $A(-3;-1)$, $B(5;3)$, $D(2;6)$ et $C(m;10)$, où $m$ est un nombre réel.

1. Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle $ABCD$ est un parallélogramme.
2. Avec cette valeur de $m$, calculer les longueurs des diagonales $AC$ et $BD$.
3. Les diagonales sont-elles de même longueur ? Que peut-on en conclure ?

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points $A(-2;5)$, $B(-4;1)$, $C(6;-1)$ et $D(p;3)$, où $p$ est un nombre réel.

1. Déterminer la valeur de $p$ pour laquelle les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ du quadrilatère $ABCD$ ont le même milieu.
2. Avec cette valeur de $p$, calculer les longueurs $AB$ et $AD$.
3. Le quadrilatère $ABCD$ est-il un losange ? Justifier.

Dans un repère, on considère les points $A(-8;5)$ et $B(3;-4)$.

Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.

On considère le point $M(-2;7)$ et le vecteur $\vec{u}\left(\begin{array}{c}9\\ -11\end{array}\right)$.

Déterminer les coordonnées du point $N$ tel que $\overrightarrow{MN}=\vec{u}$.

On considère les points $A(9;-5)$ et $B(-3;1)$.

Calculer les coordonnées du milieu $I$ du segment $[AB]$.

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points $A(-7;-1)$ et $B(5;4)$.

Calculer la distance $AB$.

On considère les vecteurs $\vec{u}\left(\begin{array}{c}6\\ -8\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}-9\\ 12\end{array}\right)$.

1. Ces deux vecteurs sont-ils colinéaires ?
2. Si oui, déterminer le nombre réel $k$ tel que $\vec{v}=k\vec{u}$.

On considère les vecteurs $\vec{u}\left(\begin{array}{c}-7\\ 5\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}8\\ -3\end{array}\right)$.

1. Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{u}+\vec{v}$.
2. Calculer les coordonnées du vecteur $4\vec{u}-3\vec{v}$.

Le point $I(5;-6)$ est le milieu du segment $[AB]$, avec $A(-9;3)$.

Déterminer les coordonnées du point $B$.

On considère les points $A(-8;-5)$, $B(-2;-1)$ et $C(10;7)$.

Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points $A(0;0)$, $B(6;2)$ et $C(2;6)$.

Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?

On considère les points $A(-8;2)$, $B(-3;6)$, $C(5;3)$ et $D(0;-1)$.

Démontrer que $ABCD$ est un parallélogramme.

On considère les points $A(-9;-2)$, $B(1;6)$, $C(5;-4)$ et $D(-5;-12)$.

Démontrer, en utilisant les milieux des diagonales, que $ABCD$ est un parallélogramme.

On considère les points $A(-5;-3)$, $B(3;9)$ et $C(9;k)$, où $k$ est un nombre réel.

Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points $A(1;0)$, $B(7;2)$, $C(6;5)$ et $D(0;3)$.

1. Démontrer que $ABCD$ est un parallélogramme.
2. Calculer les longueurs des diagonales $AC$ et $BD$.
3. En déduire la nature précise du quadrilatère $ABCD$.

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points $A(-10;4)$ et $B(6;-12)$.

1. Déterminer les coordonnées du point $C$, milieu du segment $[AB]$.
2. On définit le point $D$ tel que $\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AC}$. Déterminer les coordonnées de $D$.
3. Démontrer que les points $A$, $B$ et $D$ sont alignés.
4. Calculer la longueur $BD$.

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points $A(1;1)$, $B(5;4)$, $C(5;9)$ et $D(1;6)$.

1. Démontrer que $ABCD$ est un parallélogramme.
2. Calculer les longueurs $AB$ et $AD$. Que peut-on en déduire ?
3. Calculer les longueurs des diagonales $AC$ et $BD$. Que peut-on en déduire ?
4. Conclure sur la nature précise du quadrilatère $ABCD$.

Dans le repère orthonormé $(O;\vec{ı},\vec{ȷ})$ ci-dessous, une graduation vaut une unité sur chaque axe.On sait que $A$ a pour abscisse $2$, que $B$ a pour ordonnée $1$, que $C$ a pour abscisse $-2$ et que $D$ a pour ordonnée $-2$.

Lire les coordonnées des points $A$, $B$, $C$ et $D$.

Dans le repère orthonormé $(O;\vec{ı},\vec{ȷ})$ ci-dessous (une graduation vaut une unité), on a tracé quatre vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ et $\vec{z}$.Les origines de ces vecteurs sont les points de coordonnées $(-4;2)$ pour $\vec{u}$, $(2;4)$ pour $\vec{v}$, $(-3;-3)$ pour $\vec{w}$ et $(4;-1)$ pour $\vec{z}$.

Lire les coordonnées de chacun de ces quatre vecteurs.

Dans le repère orthonormé $(O;\vec{ı},\vec{ȷ})$ ci-dessous (une graduation vaut une unité), on a placé les points $A$, $B$, $C$ et $D$ et tracé le quadrilatère $ABCD$.On sait que $A$ a pour abscisse $-3$, que $B$ a pour ordonnée $2$, que $C$ a pour abscisse $3$ et que $D$ a pour ordonnée $-4$.

1. Lire les coordonnées des points $A$, $B$, $C$ et $D$.
2. En comptant les déplacements sur le quadrillage, lire les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$.
3. Le quadrilatère $ABCD$ est-il un parallélogramme ?

Dans un repère, on donne $A(-2;1)$, $B(4;3)$, $C(-1;-2)$ et $D(8;1)$.

Démontrer que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, puis vérifier qu'elles ne sont pas confondues.

Dans un repère, on donne les points $A(-2;1)$, $B(2;3)$, $C(2;6)$ et $D(0;5)$.

Démontrer que le quadrilatère $ABCD$ est un trapèze de bases $(AB)$ et $(DC)$, mais n'est pas un parallélogramme.

Dans un repère, on donne les points $A(1;2)$, $B(4;m)$, $C(-2;1)$ et $D(2;5)$, où $m$ est un réel.

Déterminer $m$ pour que les droites $(AB)$ et $(CD)$ soient parallèles, puis vérifier que les droites ne sont pas confondues.