Exercices de Anneaux et arithmétique, Spé (prépa)

Soient $a,b$ deux éléments d'un anneau $(A,+,\times )$ tels que $ab$ soit inversible et $b$ non diviseur de $0$. Montrer que $a$ et $b$ sont inversibles.

Soit $d\in \mathbb{N}$, on note$$\mathbb{Z}\left[\sqrt{d}\right]=\left\{a+b\sqrt{d}\mid (a,b)\in {\mathbb{Z}}^2\right\}.$$Montrer que $\mathbb{Z}\left[\sqrt{d}\right]$ est un sous-anneau de $(\mathbb{R},+,\times )$.

(Anneau des entiers de Gauss 1777-1855) On note$$\mathbb{Z}[i]=\left\{a+ib\mid (a,b)\in {\mathbb{Z}}^2\right\}.$$

Soit$$A=\left\{\frac{m}{n}\mid m\in \mathbb{Z}\text{ et }n\in {\mathbb{N}}^{\ast },\text{ impair}\right\}.$$

Soit$$A=\left\{\frac{m}{2^n}\mid m\in \mathbb{Z}\text{ et }n\in \mathbb{N}\right\}.$$

Un anneau $A$ est dit régulier si$$\forall x\in A,\exists y\in A,xyx=x.$$On considère un tel anneau $A$ et l'on introduit$$Z=\{x\in A\mid \forall a\in A,ax=xa\}.$$

Soit $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ un morphisme d'anneaux tel que$$\forall x\in \mathbb{R},f(x)=x.$$Montrer que $f$ est l'identité ou la conjugaison complexe.

Soit $a$ un élément d'un ensemble $X$. Montrer que l'application $E_a:\mathcal{F}(X,\mathbb{R})\to \mathbb{R}$ définie par $E_a(f)=f(a)$ est un morphisme d'anneaux.

Résoudre les systèmes suivants :

Résoudre le système :$$\{\begin{array}{l}x\equiv 2[10]\\ x\equiv 5[13]\end{array}.$$

Soient $a,b,a^{\prime },b^{\prime }\in \mathbb{Z}$ avec $b$ et $b^{\prime }$ premiers entre eux. Montrer que le système$$\{\begin{array}{l}x\equiv a[b]\\ x\equiv a^{\prime }[b^{\prime }]\end{array}$$possède des solutions et que celles-ci sont congrues entre elles modulo $b{b}^{\prime }$.

Une bande de $17$ pirates dispose d'un butin composé de $N$ pièces d'or d'égale valeur. Ils décident de se le partager également et de donner le reste au cuisinier (non pirate). Celui-ci reçoit $3$ pièces. Mais une rixe éclate et $6$ pirates sont tués. Tout le butin est reconstitué et partagé entre les survivants comme précédemment ; le cuisinier reçoit alors $4$ pièces. Dans un naufrage ultérieur, seul le butin, $6$ pirates et le cuisinier sont sauvés. Le butin est à nouveau partagé de la même manière et le cuisinier reçoit $5$ pièces. Quelle est alors la fortune minimale que peut espérer le cuisinier lorsqu'il décide d'empoisonner le reste des pirates ?

Soit $A$ un anneau commutatif fini non nul. Montrer que $A$ ne possède pas de diviseurs de zéro si, et seulement si, $A$ est un corps.

Soit $K$ un corps fini. Calculer$$\prod _{x\in K\setminus \{0\}}x.$$

Soient $K,L$ deux corps et $f$ un morphisme d'anneaux entre $K$ et $L$.

Soit $K=\mathbb{Q}+\sqrt{2}\mathbb{Q}+\sqrt{3}\mathbb{Q}+\sqrt{6}\mathbb{Q}$.

Soit $K$ un corps, $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ sur $K$ et $L$ un sous-corps de $K$ tel que $K$ est un espace vectoriel de dimension finie $p$ sur $L$. Montrer que $E$ est un espace vectoriel de dimension finie $q$ sur $L$. Relier $n$, $p$, $q$.

Combien y a-t-il d'éléments inversibles dans $\mathbb{Z}/78\mathbb{Z}$ ?

Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on note $\phi (n)$ le nombre d'éléments inversibles dans $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\times )$.

Établir$$\forall n\ge 3,\phi (n)\ge \frac{n\ln 2}{\ln n+\ln 2}.$$

Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on note $\phi (n)$ le nombre d'éléments inversibles dans $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\times )$. Établir$$\forall a\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\ast },a^{\phi (n)}=1$$où $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\ast }$ désigne l'ensemble des inversibles de l'anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.

Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on note $\phi (n)$ le nombre de générateurs de $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$.

On étudie des applications du petit théorème de Fermat-Euler et du binôme de Newton à des critères de primalité.

Quels sont les idéaux d'un corps $K$ ?

On note$$D=\left\{\frac{p}{10^n}\mid p\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{N}\right\}$$l'ensemble des nombres décimaux.

(Nilradical d'un anneau) On appelle nilradical d'un anneau commutatif $(A,+,\times )$ l'ensemble $\mathcal{N}$ formé des éléments nilpotents de $A$ i.e. des $x\in A$ tels qu'il existe $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ vérifiant $x^n=0_A$. Montrer que $\mathcal{N}$ est un idéal de $A$.

(Radical d'un idéal) Soit $I$ un idéal d'un anneau commutatif $A$. On note $R(I)$ l'ensemble des éléments $x$ de $A$ pour lesquels il existe un entier $n$ non nul tel que $x^n\in I$.

Soient $A$ un anneau commutatif et $e$ un élément idempotent de $A$ (i.e. $e^2=e$).

(Idéaux premiers) Un idéal $I$ d'un anneau commutatif $(A,+,\times )$ est dit premier si, et seulement si,$$\forall x,y\in A,xy\in I⟹x\in I\text{ ou }y\in I.$$

($\mathbb{Z}$ est noethérien) Montrer que toute suite croissante (pour l'inclusion) d'idéaux de $\mathbb{Z}$ est stationnaire. Ce résultat se généralise-t-il aux idéaux de $K[X]$ ?

Soit $A$ un sous-anneau de $\mathbb{Q}$.

Soit $A$ un sous-anneau d'un corps $K$. On suppose que pour tout élément $x$ non nul de $K$, on a $x\in A$ ou $x^{-1}\in A$. On forme $I$ l'ensemble des éléments de l'anneau $A$ non inversibles.

Soit $A$ un anneau intègre. On suppose que l'anneau $A$ ne possède qu'un nombre fini d'idéaux. Montrer que $A$ est un corps.

Résoudre les équations suivantes :

Résoudre le système suivant :$$\{\begin{array}{l}x+y\equiv 4[11]\\ xy\equiv 10[11]\end{array}.$$

Déterminer les morphismes de groupes entre $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$ et $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z},+)$.

Soit $p$ un nombre premier. Calculer dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$$$\sum _{k=1}^{p}k\text{et}\sum _{k=1}^p{k}^2.$$

On munit l'anneau $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ de sa structure usuelle.

Si $p$ est un nombre premier, quel est le nombre de carrés dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ?