Exercices de Anneaux et arithmétique en maths Spé (prépa) (page 2)

41. $Structure des inversibles de Z /20 Z$

42. $Petit théorème de Fermat$

(Petit théorème de Fermat) Soit

p

un nombre premier. Montrer

\forall a \in (Z / p Z)^{*}, a^{p - 1} = 1.

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43. $Aucun n \geq 2 ne divise 2^{n} - 1$

On se propose d'établir qu'il n'existe pas d'entiers

n \geq 2

tels que

n

divise

2^{n} - 1

. On raisonne par l'absurde et on suppose qu'un tel entier

n

existe. On introduit

p

un facteur premier de

n

Q1-Montrer que la classe de

2

est élément du groupe des inversibles de

Z / p Z

et que son ordre divise

n

p - 1

Q2-Conclure.

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44. $Matrices circulantes 3 \times 3$

Soit

E = ⎩ ⎨ ⎧ M (a, b, c) = a c b b a c c b a ∣ (a, b, c) \in R^{3} ⎭ ⎬ ⎫ .

Montrer que

E

est une sous-algèbre commutative de

M_{3} (R)

dont on déterminera la dimension.

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45. $Algèbre intègre réelle isomorphe à C$

Soit

K

une algèbre intègre sur

R

de dimension finie

n \geq 2

. On assimile

R

R \cdot 1

où

1

est l'élément de

K

neutre pour le produit.

Q1-Montrer que tout élément non nul de

K

est inversible.

Q2-Soit

a

un élément de

K

non situé dans

R

. Montrer que la famille

(1, a)

est libre tandis que la famille

(1, a, a^{2})

est liée.

Q3-Montrer l'existence de

i \in K

tel que

i^{2} = - 1

Q4-Montrer que si

K

est commutative alors

K

est isomorphe à

C

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46. $Hyperplan stable de M_{n} (C)$

Soit

n

un entier

\geq 2

A

un hyperplan de

M_{n} (C)

stable pour le produit matriciel.

Q1-On suppose que

I_{n} \in / A

. Montrer, si

M^{2} \in A

, que

M \in A

. En déduire que pour tout

i \in {1, \dots, n}

la matrice

E_{i, i}

est dans

A

. En déduire une absurdité.

Q2-On prend

n = 2

. Montrer que

A

est isomorphe à l'algèbre des matrices triangulaires supérieures.

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47. $Norme et inversibles de Z [3]$

On note

Z [3]

l'ensemble des réels de la forme

a + b 3

avec

a, b \in Z

Q1-Montrer que

Z [3]

est un sous-anneau de

(R, +, \times)

Q2-Montrer que

3

est irrationnel. On pourra raisonner par l'absurde en écrivant

3

sous la forme d'une fraction irréductible

\frac{p}{q}

i.e. avec

(p, q) \in Z \times Z^{*}

tel que

p \land q = 1

Voir le corrigé

1. Tout d'abord

1 = 1 + 03 \in Z [3]

.
Soient

z_{1} = a_{1} + b_{1} 3

avec

(a_{1}, b_{1}) \in Z^{2}

z_{2} = a_{2} + b_{2} 3

avec

(a_{2}, b_{2}) \in Z^{2}

. Alors

z_{1} - z_{2} = (a_{1} - a_{2}) + (b_{1} - b_{2}) 3 \in Z [3]

z_{1} z_{2} = (a_{1} a_{2} + 3 b_{1} b_{2}) + (a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}) 3 \in Z [3]

Z [3]

est donc un sous-anneau de

R

.
2.
a. On reprend les notations de l'énoncé. On a donc

p^{2} = 3 q^{2}

. Ainsi

3

divise

p^{2}

. Comme

3

est premier,

3

divise

p

. Il existe donc

k \in Z

tel que

p = 3 k

. On a alors

9 k^{2} = 3 q^{2}

i.e.

3 k^{3} = q^{2}

. On prouve comme précédement que

3

divise

q

. Ainsi

p

q

ont un facteur premier commun, ce qui contredit

p \land q = 1

. En conclusion,

3 \in / Q

.
b. On vérifie aisément que pour tout

(a, b, c, d) \in Z^{4}

f ((a, b) + (c, d)) = f ((a, b)) + f ((c, d))

, ce qui prouve que

f

est bien un morphisme de groupes.
Soit

(a, b) \in ker f

. On a donc

a + b 3 = 0

. Si on avait

b \neq = 0

3

serait rationnel, ce qui n'est pas. Ainsi

b = 0

puis

a = 0

. On a donc montré que

ker f = {(0, 0)}

. Ainsi

f

est injective.

f

est surjective par définition de

Z [3]

.
3.
a. Puisque

1 = 1 + 03

g (1) = \tilde{1} = 1 - 03 = 1

.
Soient

z_{1} = a_{1} + b_{1} 3

avec

(a_{1}, b_{1}) \in Z^{2}

z_{2} = a_{2} + b_{2} 3

avec

(a_{2}, b_{2}) \in Z^{2}

. Alors

z_{1} + z_{2} = (a_{1} + a_{2}) + (b_{1} + b_{2}) 3

et donc

g (z_{1} + z_{2}) = z_{1} + z_{2} = (a_{1} + a_{2}) - (b_{1} + b_{2}) 3 = (a_{1} - b_{1} 3) + (a_{2} - b_{2} 3) = \tilde{z}_{1} + \tilde{z}_{2} = g (z_{1}) + g (z_{2})

De plus,

z_{1} z_{2} = (a_{1} a_{2} + 3 b_{1} b_{2}) + (a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}) 3

donc

g (z_{1} z_{2}) = z_{1} z_{2} = (a_{1} a_{2} + 3 b_{1} b_{2}) - (a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}) 3 = (a_{1} - b_{1} 3) (a_{2} - b_{2} 3) = \tilde{z}_{1} \tilde{z}_{2} = g (z_{1}) g (z_{2})

Ainsi

f

est un endomorphisme d'anneau.
De plus,

f \circ f = Id_{Z [3]}

donc

f

est bijectif : c'est un automorphisme d'anneau.
b. On a

N (x y) = x y x y = x \tilde{x} y \tilde{y} = N (x) N (y)

.
c. Si

x

est inversible, il existe

y \in Z [3]

tel que

x y = 1

. On a donc

N (x) N (y) = N (1) = 1

. Or

N (x)

N (y)

sont des entiers donc

N (x) = \pm 1

.
Si

N (x) = 1

, alors

x \tilde{x} = 1

, ce qui prouve que

x

est inversible d'inverse

\tilde{x}

. Si

N (x) = - 1

, alors

x (- \tilde{x}) = 1

, ce qui prouve que

x

est inversible d'inverse

- \tilde{x}

48. $Centrale-Supélec MP 2019$

On dit qu'un anneau

A

est régulier si, et seulement si, pour tout

x

appartenant à

A

, il existe un

u

appartenant à

A

tel que

xux = x

.
1.
a. L'anneau

(Z, +, \times)

est-il régulier ?
b. Si

A

est un corps,

A

est-il régulier ?
c. Montrer que

(L (E), +, \circ)

est un anneau régulier.
2. Soit

A

la matrice n'ayant que des

0

, sauf sur la sur-diagonale où il n'y a que des

1

.
Exhiber

U

telle que

A U A = A

.
3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que

(Z / n Z, +, \times)

soit un anneau régulier.

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49. $Anneau où x^{3} = x est commutatif$

Soit

(A, +, \times)

un anneau tel que

\forall x \in A, x^{3} = x

.
1. Montrer que

\forall x \in A, 3 (x^{2} + x) = 0_{A}

.
2. Montrer que

\forall x \in A, 6 x = 0_{A}

.
3. Montrer que

\forall (x, y) \in A^{2}, 3 (x y + y x) = 0_{A}

puis que

3 (x y - y x) = 0_{A}

.
4. Montrer que

\forall (x, y) \in A^{2}, 2 (x y - y x) = 0_{A}

. On pourra commencer par développer

(x + y)^{3} + (x - y)^{3}

.
5. En déduire que

A

est un anneau commutatif.

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50. $Entiers de Gauss$

On note

Z [i] = {a + ib, (a, b) \in Z^{2}}

.
1. Montrer que

(Z [i], +, \times)

est un anneau commutatif.
2. Déterminer les éléments inversibles de

Z [i]

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51. $Éléments nilpotents$

Soit

(A, +, \times)

un anneau. Un élément

a

A

est dit nilpotent s'il existe

n \in N

tel que

a^{n} = 0_{A}

.
1. Soit

(x, y) \in A^{2}

. Montrer que si

x \times y

est nilpotent, alors

y \times x

est nilpotent.
2. Soit

(x, y) \in A^{2}

. Montrer que si

x

y

commutent et que l'un des deux est nilpotent, alors

x \times y

est nilpotent.
3. Soit

(x, y) \in A^{2}

. Montrer que si

x

y

sont nilpotents et commutent, alors

x + y

est nilpotent.
4. Soit

x \in A

. Montrer que si

x

est nilpotent, alors

1_{A} - x

est inversible et calculer son inverse.

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52. $Anneau booléen est commutatif$

Soit

A

un anneau tel que

\forall x \in A, x^{2} = x

(on dit que les éléments de

A

sont idempotents).
1. Montrer que

\forall x \in A, 2 x = 0

.
2. Montrer que

A

est commutatif.

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53. $Endomorphismes de corps de R$

Soit

f

un endomorphisme de corps de

R

.
1. Montrer que

f ∣_{Q} = Id_{Q}

.
2. Montrer que

f

est croissant.
3. Montrer que

f = Id_{R}

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54. $Différence symétrique$

Soit

E

un ensemble non vide. Pour

A, B \in P (E)

, on définit la différence de

A

B

par

A Δ B = (A ∖ B) \cup (B ∖ A) .

1. Montrer que

(P (E), Δ, \cap)

est un anneau commutatif. Préciser les éléments neutres pour

Δ

\cap

.
2. Quels sont les éléments de

P (E)

inversibles pour

\cap

?
3. L'anneau

(P (E), Δ, \cap)

est-il intègre ?

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55. $Corps quadratique$

On note

Q [3]

l'ensemble des réels de la forme

a + b 3

avec

(a, b) \in Q^{2}

. Montrer que

Q [3]

est un corps.

Voir le corrigé

On montre que

Q [3]

est un sous-corps de

R

.
•

1 = 1 + 03 \in Q [3]

.
• Soient

x = a + b 3

x^{'} = a^{'} + b^{'} 3

des éléments de

Q [3]

. Alors

x - x^{'} = (a - a^{'}) + (b - b^{'}) 3 \in Q [3]

.
• On a également

x x^{'} = (a a^{'} + 3 b b^{'}) + (a b^{'} + a^{'} b) 3 \in Q [3]

.
• Supposons

x \neq = 0

. On a alors

\frac{1}{x} = \frac{a - b 3}{a ^{2} - 3 b ^{2}} = \frac{a}{a ^{2} - 3 b ^{2}} - \frac{b}{a ^{2} - 3 b ^{2}} 3 \in Q [3]

Mais il aurait fallu montrer auparavant que

a^{2} - 3 b^{2} \neq = 0

. Supposons

a^{2} - 3 b^{2} = 0

. En notant

a = \frac{p}{q}

b = \frac{r}{s}

avec

p, q, r, s

entiers, on a donc

p^{2} s^{2} - 3 r^{2} q^{2} = 0

. Il existe donc des entiers

m

n

tels que

m^{2} = 3 n^{2}

. Quitte à les diviser par leur pgcd, on peut les supposer premiers entre eux. On a alors toujours la relation

m^{2} = 3 n^{2}

. En particulier,

3

divise

m^{2}

. Mais

3

étant premier

3

divise

m

. Il existe donc

k \in Z

tel que

m = 3 k

. On en déduit

9 k^{2} = 3 n^{2}

i.e.

3 k^{2} = n^{2}

donc

3

divise

n^{2}

et donc

n

. Ceci contredit le fait que

m

n

sont premiers entre eux. Finalement

a^{2} - 3 b^{2} \neq = 0

56. $Intègre fini via bijection x \mapsto a x$

Soit

A

un anneau intègre commutatif fini.
1. Soit

a

un élément non nul de

A

. Montrer que l'application

φ : {A ⟶ A x ⟼ a x

est bijective.
2. En déduire que

A

est un corps.

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57. $Radical d'un idéal$

Soit

A

un anneau commutatif. Pour tout idéal

I

A

, on note

R (I) = {x \in A, \exists n \in N, x^{n} \in I}

L'ensemble

R (I)

est appelé radical de

I

.
1. Soit

I

un idéal de

A

. Montrer que

R (I)

est un idéal de

A

contenant

I

.
2. Soit

I

un idéal de

A

. Montrer que

R (R (I)) = R (I)

.
3. Soient

I

J

deux idéaux de

A

. Montrer que

R (I \cap J) = R (I) \cap R (J)

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58. $Q est un anneau principal$

Montrer que les idéaux de

(Q, +, \times)

sont les ensembles de la forme

a Q

avec

a \in Z

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59. $D est un anneau principal$

On note

D

l'ensemble des nombres décimaux. Vérifier que

(D, +, \times)

est un anneau puis montrer que les idéaux

(D, +, \times)

sont les ensembles de la forme

a D

avec

a \in Z

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60. $CCINP (ou CCP) MP 2015$

Soit

(A, +, \times)

un anneau commutatif.
1. Rappeler la définition d'un anneau et d'un idéal.
2. Soit

I

un idéal de

A

. Montrer que si

1_{A} \in I

, alors

I = A

.
3. On pose

I_{a} = {a x, x \in A}

. Montrer que

I_{a}

est bien un idéal de

A

.
4. On suppose que

A

n'est pas l'anneau nul. Montrer que

A

est un corps si et seulement si les seuls idéaux de

A

sont

{0_{A}}

A

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61. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2022$

Pour un anneau

A

, on dit qu'un idéal

I

A

est premier si et seulement si :

\forall (x, y) \in A^{2}, x y \in I ⟹ x \in I ou y \in I

Soit

A

un anneau abélien dont tous les idéaux sont premiers. Montrer que

A

est un anneau intègre, puis que

A

est un corps.

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62. $Somme des parties entières ⌊ k a / b ⌋$

Soit

(a, b) \in Z \times N^{*}

.
1. Montrer que le quotient de la division euclidienne de

a

par

b

est

⌊ \frac{a}{b} ⌋

.
A partir de maintenant, on suppose

a \land b = 1

.
2. Montrer que l'application

{Z / b Z ⟶ Z / b Z k ⟼ ak

est bijective.
3. En déduire que

k = 1 \sum b - 1 ⌊ \frac{k a}{b} ⌋ = \frac{( a - 1 ) ( b - 1 )}{2} .

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63. $Suite u_{n + 1} = a^{u_{n}} modulo N$

Soit

a

N

des entiers naturels non nuls. On définit

u_{n}

par

u_{0} = 1

u_{n + 1} = a^{u_{n}}

pour

n \in N

. Montrer que la suite de terme général

u_{n} (mod N)

est stationnaire (on note

a (mod b)

le reste de la division euclidienne de

a

par

b

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64. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2021$

1. Résoudre

x^{2} = x

dans

Z / p Z

p

premier.
2. Résoudre

x^{2} = x

dans

Z /34 Z

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65. $Nombres de Mersenne$

Pour

n \in N^{*}

, on appelle

n

-ème nombre de Mersenne l'entier

M_{n} = 2^{n} - 1

.
1.
a. Soient

n \in N^{*}

a \in N^{*}

un diviseur positif de

n

. Montrer que

2^{a} - 1

divise

M_{n}

.
b. En déduire que si

M_{n}

est un nombre premier, alors

n

est un nombre premier.
2. Soient

p

q

des nombres premiers avec

p

impair. On suppose que

q

divise

M_{p}

.
a. Montrer que

q

est impair. En déduire que

2^{q - 1} \equiv 1 [q]

.
b. En considérant l'ordre de

2

dans

(Z / q Z)^{*}

, montrer que

q \equiv 1 [p]

puis que

q \equiv 1 [2 p]

.
3. Soient

p

un nombre premier impair et

n \in N^{*}

divisant

M_{p}

. En utilisant la décomposition en facteurs premiers de

n

et la question précédente, montrer que

n \equiv 1 [2 p]

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66. $Centrale-Supélec MP 2019$

On pose

F_{p} = Z / p Z

avec

p

premier et impair,

C = {x^{2}, x \in F_{p} ∖ {0}}

.
1. Que dire de la structure algébrique de

F_{p}

et de

C

?
2. Expliciter

C

pour

p = 11

.
3. Soit

P

un polynôme de degré strictement inférieur à

d

et à coefficients entiers, avec

d \in N^{*}

. Soient

(a_{1}, \dots, a_{d}) \in Z^{d}

tel que les

a_{i}

soient distincts modulo

p

et tel que

p

divise les

P (a_{i})

. Montrer que pour tout

n \in Z

p

divise

P (n)

.
4. Montrer que

C = {x \in F_{p}, x^{\frac{p - 1}{2}} = 1}

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67. $Équation quadratique modulo 65$

Résoudre dans

Z /65 Z

l'équation

x^{2} - 2 x + 2 = 0

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68. $Critère d'Euler$

Soit

p

un nombre premier distinct de

2

. On pose

F_{p} = Z / p Z

F_{p}^{*} = F_{p} ∖ {0}

.
1. On pose

C = {x^{2}, x \in F_{p}^{*}}

. Montrer que

card C = \frac{p - 1}{2}

.
2. Soit

a \in F_{p}^{*}

. Montrer que

a^{\frac{p - 1}{2}} = \pm 1

.
3. Montrer plus précisément que

a^{\frac{p - 1}{2}} = {1 - 1 si a \in C sinon

On admettra qu'un polynôme à coefficients dans

F_{p}

admet moins de racines dans

F_{p}

que son degré.

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69. $Navale MP 2017$

On note

φ

l'indicatrice d'Euler. Soit

n \in N^{*}

.
1. Soit

d

un diviseur positif de

n

. Montrer qu'il y a

φ (d)

éléments d'ordre

d

dans le groupe

(Z / n Z, +)

.
2. Montrer que

n = d ∣ n \sum φ (d)

.
3. En déduire un programme Python permettant de calculer

φ (n)

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70. $Magistère MP 2018$

1. Soit

n_{1}, \dots, n_{k}

des entiers deux à deux distincts supérieurs ou égaux à 2. Montrer que

i = 1 \prod k (1 - \frac{1}{n _{i}}) \geq \frac{1}{k + 1}

2. On note

φ

l'indicatrice d'Euler. Montrer que

\forall n \in N^{*}, φ (n) \geq \frac{n ln ( 2 )}{ln ( n ) + ln ( 2 )}

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71. $Indicatrice d'Euler et fonction de Möbius$

On note

μ

la fonction de Möbius définie sur

N^{*}

par

\forall n \in N^{*}, μ (n) = {0 (- 1)^{k} si n est divisible par le carr \overset{e}{ˊ} d’un nombre premier si n est le produit de k nombres premiers distincts

Montrer que pour tout

n \in N^{*}

φ (n) = d ∣ n \sum \frac{n}{d} μ (d)

où la somme porte sur les diviseurs positifs de

n

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72. $Déterminant de Smith$

1. Pour

(i, j) \in (N^{*})^{2}

, on pose

a_{i, j} = 1

j

divise

i

a_{i, j} = 0

sinon. Que vaut le déterminant de la matrice

A = (a_{i, j})_{1 \leq i, j \leq n}

?
2. Pour

(i, j) \in (N^{*})^{2}

, on note

d_{i, j}

le nombre de diviseurs positifs communs à

i

j

. Que vaut le déterminant de la matrice

D = (d_{i, j})_{1 \leq i, j \leq n}

?
3. On pose enfin

S = (i \land j)_{1 \leq i, j \leq n}

. Monter que

det S = k = 1 \prod n φ (k)

. On admettra la formule classique

d ∣ n \sum φ (d) = n

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73. $Congruence modulo 2^{n}$

Soient un entier

n \in N^{*}

et un entier impair

a \in Z

. Montrer que

a^{2^{n} - 1} \equiv 1 [2^{n}]

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74. $Divisibilité de (X + 1)^{m} - X^{m} - 1$

Pour quelles valeurs de

m \in N

le polynôme

P_{m} = (X + 1)^{m} - X^{m} - 1

est il divisible par

Q = X^{2} + X + 1

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75. $Divisibilité de (X + 1)^{n} + X^{n} + 1$

1. Le polynôme

(X + 1)^{2009} + X^{2009} + 1

est-il divisible par le polynôme

X^{2} + X + 1

?
2. Pour quelles valeurs de

n \in N

le polynôme

X^{2} + X + 1

divise-t-il le polynôme

(X + 1)^{n} + X^{n} + 1

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76. $Banque CCP$

On considère les polynômes

P = 3 X^{4} - 9 X^{3} + 7 X^{2} - 3 X + 2

Q = X^{4} - 3 X^{3} + 3 X^{2} - 3 X + 2

.
1. Décomposez

P

Q

en facteurs irréductibles sur

R [X]

, puis sur

C [X]

(on pourra calculer les valeurs de

P

Q

en 1 et 2).
2. Déterminer le PPCM et le PGCD des polynômes

P

Q

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77. $Factorisation de (X + 1)^{7} - X^{7} - 1$

Déterminer la décomposition en produit de facteurs irréductibles sur

R

du polynôme

P = (X + 1)^{7} - X^{7} - 1

sachant que

j

est une racine multiple de

P

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78. $D'après CCP PC 2007$

Pour tout

n \in N

, on note

Q_{n} = (X^{2} - 1)^{n}

P_{n} = \frac{1}{2 ^{n} n !} Q_{n}^{(n)}

. On pourra confondre polynôme et fonction polynomiale associée.

Q1-Calculer

P_{0}, P_{1}, P_{2}

P_{3}

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79. $Pgcd de X^{n} - 1 et X^{p} - 1$

Soient

n, p \in N^{*}

. Déterminer le pgcd de

X^{n} - 1

X^{p} - 1

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80. $Périodicité de P (n) \land Q (n)$

Soit

(P, Q) \in Z [X]^{2}

tel que

P \land Q = 1

. Pour

n \in N

, on pose

u_{n} = P (n) \land Q (n)

. Montrer que la suite

(u_{n})

est périodique.

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41.Structure des inversibles de Z/20Z

42.Petit théorème de Fermat

43.Aucun n≥2 ne divise 2n−1

44.Matrices circulantes 3×3

45.Algèbre intègre réelle isomorphe à C

46.Hyperplan stable de Mn​(C)

47.Norme et inversibles de Z[3​]

48.Centrale-Supélec MP 2019

49.Anneau où x3=x est commutatif

50.Entiers de Gauss

51.Éléments nilpotents

52.Anneau booléen est commutatif

53.Endomorphismes de corps de R

54.Différence symétrique

55.Corps quadratique

56.Intègre fini via bijection x↦ax

57.Radical d'un idéal

58.Q est un anneau principal

59.D est un anneau principal

60.CCINP (ou CCP) MP 2015

61.Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2022

62.Somme des parties entières ⌊ka/b⌋

63.Suite un+1​=aun​ modulo N

64.Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2021

65.Nombres de Mersenne

66.Centrale-Supélec MP 2019

67.Équation quadratique modulo 65

68.Critère d'Euler

69.Navale MP 2017

70.Magistère MP 2018

71.Indicatrice d'Euler et fonction de Möbius

72.Déterminant de Smith

73.Congruence modulo 2n

74.Divisibilité de (X+1)m−Xm−1

75.Divisibilité de (X+1)n+Xn+1

76.Banque CCP

77.Factorisation de (X+1)7−X7−1

78.D'après CCP PC 2007

79.Pgcd de Xn−1 et Xp−1

80.Périodicité de P(n)∧Q(n)

41. $Structure des inversibles de Z /20 Z$

42. $Petit théorème de Fermat$

43. $Aucun n \geq 2 ne divise 2^{n} - 1$

44. $Matrices circulantes 3 \times 3$

45. $Algèbre intègre réelle isomorphe à C$

46. $Hyperplan stable de M_{n} (C)$

47. $Norme et inversibles de Z [3]$

48. $Centrale-Supélec MP 2019$

49. $Anneau où x^{3} = x est commutatif$

50. $Entiers de Gauss$

51. $Éléments nilpotents$

52. $Anneau booléen est commutatif$

53. $Endomorphismes de corps de R$

54. $Différence symétrique$

55. $Corps quadratique$

56. $Intègre fini via bijection x \mapsto a x$

57. $Radical d'un idéal$

58. $Q est un anneau principal$

59. $D est un anneau principal$

60. $CCINP (ou CCP) MP 2015$

61. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2022$

62. $Somme des parties entières ⌊ k a / b ⌋$

63. $Suite u_{n + 1} = a^{u_{n}} modulo N$

64. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2021$

65. $Nombres de Mersenne$

66. $Centrale-Supélec MP 2019$

67. $Équation quadratique modulo 65$

68. $Critère d'Euler$

69. $Navale MP 2017$

70. $Magistère MP 2018$

71. $Indicatrice d'Euler et fonction de Möbius$

72. $Déterminant de Smith$

73. $Congruence modulo 2^{n}$

74. $Divisibilité de (X + 1)^{m} - X^{m} - 1$

75. $Divisibilité de (X + 1)^{n} + X^{n} + 1$

76. $Banque CCP$

77. $Factorisation de (X + 1)^{7} - X^{7} - 1$

78. $D'après CCP PC 2007$

79. $Pgcd de X^{n} - 1 et X^{p} - 1$

80. $Périodicité de P (n) \land Q (n)$