Exercices de Anneaux et arithmétique en maths Spé (prépa) (page 3)

81. $Pgcd P \land P^{'} via les multiplicités$

82. $Racines de (X + i)^{n} - (X - i)^{n} et cotangentes$

Pour tout entier

n \geq 2

, on pose

P_{n} = (X + i)^{n} - (X - i)^{n}

.
1. Déterminer les racines complexes de

P_{n}

.
2. En déduire les valeurs de

A_{n} = k = 1 \sum n - 1 cotan (\frac{k π}{n})

B_{n} = k = 1 \prod n - 1 cotan (\frac{k π}{n})

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83. $Centrale-Supélec MP 2021$

Soit

K

une

R

-algèbre commutative intègre de dimension finie

n \geq 2

.
1. Soit

a \in K ∖ {0}

, montrer que

f : x \mapsto a x

est un automorphisme. En déduire que

a

est inversible.
2. Soit

a \in K ∖ R

. Montrer que

(1, a)

est libre et

(1, a, a^{2})

est liée.
3. Montrer l'existence de

i \in K

tel que

i^{2} = - 1

, puis que

K

est isomorphe à

C

en tant que

R

-algèbre.

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84. $Morphisme injectif C \to M_{2} (R)$

Montrer que l'application

{C ⟶ M_{2} (R) z ⟼ M (z)

où

M (z) = (Re (z) Im (z) - Im (z) Re (z))

est un morphisme injectif de

R

-algèbres.

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85. $Morphismes d'algèbres K [X] \to K$

Déterminer les morphismes d'algèbres de

K [X]

dans

K

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86. $Exponentielle de A_{θ}$

1. Montrer que l'application

Φ : ⎩ ⎨ ⎧ C ⟶ M_{2} (R) z ⟼ (Re (z) Im (z) - Im (z) Re (z))

est un morphisme injectif d'algèbres.
2. On pose

A_{θ} = (0 θ - θ 0)

pour

θ \in R

. Calculer

exp (A_{θ})

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87. $Banque CCP$

Soient

θ \in R

n \in N^{*}

. Décomposez en produit de polynômes irréductibles dans

C [X]

, puis dans

R [X]

le polynôme :

P = X^{2 n} - 2 X^{n} cos (n θ) + 1

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88. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2023$

Montrer que

P = X^{3} + 3 X^{2} + 2

est irréductible sur

Q

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89. $Stabilité$

Exercice 7 ★★★★
Stabilité

Q1-Déterminer les polynômes

P \in C [X]

tels que

P (R) \subset R

Q2-Déterminer les polynômes

P \in C [X]

tels que

P (U) \subset U

Q3-Déterminer les polynômes

P \in C [X]

tels que

P (Q) \subset Q

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90. $CCP PC$

Soient

x, y, z

trois complexes non nuls tels que

x + y + z = 0

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0

. Montrer que

∣ x ∣ = ∣ y ∣ = ∣ z ∣

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91. $CCINP (ou CCP) PC 2019$

Soit

z \in C^{*}

. On pose

f (z) = z + \frac{1}{z}

Q1-Soit

n \in N^{*}

. Montrer que

f (z^{n + 1}) = f (z) f (z^{n}) - f (z^{n - 1})

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92. $Mines-Ponts MP$

Trouver les polynômes

P \in R [X]

tels que

(X + 4) P (X) = X P (X + 1)

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93. $CCINP (ou CCP) MP 2016$

Soit

E = R_{n} [X]

. On considère la suite de polynômes définie par :

N_{0} = 1

et pour

k \in N^{*}

N_{k} (X) = \frac{X ( X - 1 ) \dots ( X - k + 1 )}{k !}

. On considère l'endomorphisme de

E

défini par

u (P) = P (X + 1) - P (X)

Q1-Déterminer le noyau de

u

Q2-Montrer que

(N_{0}, \dots, N_{n})

est une base de

E

Q3-Calculer

u (N_{k})

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94. $Mines-Ponts MP$

Montrer que si

p

est un entier premier différent de

2

5

, alors il divise un des entiers de l'ensemble

{1, 11, 111, 1111, \dots}

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95. $Centrale MP 2012$

Résoudre dans

N^{2}

l'équation

n (n + 1) (n + 2) = m^{2}

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96. $Mines-Ponts MP 2018$

Soient

a_{1}, \dots, a_{r}

des entiers naturels non nuls premiers entre eux deux à deux.

Q1-On pose pour

i \in [[1, r]]

c_{i} = j \in [[1, r]] ∖ {i} \prod a_{j}

Montrer que

c_{1}, \dots, c_{r}

sont premiers entre eux dans leur ensemble.

Q2-Soit

b \in Z

. Montrer qu'il existe un unique uplet

(y, x_{1}, \dots, x_{r}) \in Z^{r + 1}

tel que

\forall k \in [[1, r]], 0 \leq x_{k} < a_{k}

\frac{b}{a _{1} \dots a _{r}} = y + k = 1 \sum r \frac{x _{k}}{a _{k}}

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97. $X MP 2001$

Exercice 32 ★★★★
X MP 2001

Q1-Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers

p

tels que

p \equiv 3 (mod 4)

Q2-Soit

p > 2

un nombre premier. Montrer que

\forall u \in (Z / p Z)^{*}, u^{\frac{p - 1}{2}} = \pm 1

Q3-Combien y a-t-il de

u \in (Z / p Z)^{*}

tels que

u^{\frac{p - 1}{2}} = - 1

Q4-Montrer que

- 1

est un carré dans

Z / p Z

si et seulement si

p \equiv 1 (mod 4)

Q5-Si

u \in Z / p Z

vérifie

u^{\frac{p - 1}{2}} = - 1

, que peut-on dire de la structure de l'ensemble

K

des matrices de

M_{2} (Z / p Z)

de la forme

(x y y u x)

avec

(x, y) \in (Z / p Z)^{2}

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98. $Mines-Ponts MP 2012$

Montrer que la somme de deux nombres premiers consécutifs ne peut pas être égal au produit de deux nombres premiers.

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99. $Centrale-Supélec MP 2015$

Soit

N

une application de

Q

dans

R_{+}

. On dit que

N

est une valeur absolue si et seulement si :

(i)

\forall x \in Q, N (x) = 0 ⟺ x = 0

;

(ii)

\forall (x, y) \in Q^{2}, N (x y) = N (x) N (y)

;

(iii)

\forall (x, y) \in Q^{2}, N (x + y) \leq N (x) + N (y)

.

Une valeur absolue

N

est dite ultramétrique si

\forall (x, y) \in Q^{2}, N (x + y) \leq max (N (x), N (y))

N

est dite triviale si elle est constante sur

Q^{*}

.

Si

p

est un nombre premier, on note

ν_{p} (n)

la valuation

p

-adique définie sur les entiers. On pose par convention

ν_{p} (0) = + \infty

Q1-Soit

N

une valeur absolue. Déterminer

N (1)

N (- 1)

Q2-Soient

q = \frac{a}{b} \in Q^{*}

où

(a, b) \in (Z^{*})^{2}

p

un nombre premier. Montrer que

ν_{p} (a) - ν_{p} (b)

ne dépend que de

q

. On le notera

ν_{p} (q)

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100. $Mines-Ponts MP 1998$

Montrer que pour tout entier

n \in N^{*}

et tout entier

a

impair,

2^{n + 2} ∣ a^{2^{n}} - 1.

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101. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2021$

(hors Mines-Ponts) MP 2021

Q1-Résoudre

x^{2} = x

dans

Z / p Z

p

premier.

Q2-Résoudre

x^{2} = x

dans

Z /34 Z

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102. $Centrale-Supélec MP 2019$

On pose

F_{p} = Z / p Z

avec

p

premier et impair,

C = {x^{2}, x \in F_{p} ∖ {0}}

Q1-Que dire de la structure algébrique de

F_{p}

et de

C

Q2-Expliciter

C

pour

p = 11

Q3-Soit

P

un polynôme de degré strictement inférieur à

d

et à coefficients entiers, avec

d \in N^{*}

. Soient

(a_{1}, \dots, a_{d}) \in Z^{d}

tel que les

a_{i}

soient distincts modulo

p

et tel que

p

divise les

P (a_{i})

. Montrer que pour tout

n \in Z

p

divise

P (n)

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103. $C.C.E. Mines MP 2015$

Soit

P

un polynôme à coefficients entiers et quatre entiers

(λ_{i})_{1 \leq i \leq 4}

distincts tels que

P (λ_{i}) = 7

pour

i

entre

1

4

. Montrer que l'équation

P (n) = 14

n'admet pas de solution entière.

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81.Pgcd P∧P′ via les multiplicités

82.Racines de (X+i)n−(X−i)n et cotangentes

83.Centrale-Supélec MP 2021

84.Morphisme injectif C→M2​(R)

85.Morphismes d'algèbres K[X]→K

86.Exponentielle de Aθ​

87.Banque CCP

88.Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2023

89.Stabilité

90.CCP PC

91.CCINP (ou CCP) PC 2019

92.Mines-Ponts MP

93.CCINP (ou CCP) MP 2016

94.Mines-Ponts MP

95.Centrale MP 2012

96.Mines-Ponts MP 2018

97.X MP 2001

98.Mines-Ponts MP 2012

99.Centrale-Supélec MP 2015

100.Mines-Ponts MP 1998

101.Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2021

102.Centrale-Supélec MP 2019

103.C.C.E. Mines MP 2015

81. $Pgcd P \land P^{'} via les multiplicités$

82. $Racines de (X + i)^{n} - (X - i)^{n} et cotangentes$

83. $Centrale-Supélec MP 2021$

84. $Morphisme injectif C \to M_{2} (R)$

85. $Morphismes d'algèbres K [X] \to K$

86. $Exponentielle de A_{θ}$

87. $Banque CCP$

88. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2023$

89. $Stabilité$

90. $CCP PC$

91. $CCINP (ou CCP) PC 2019$

92. $Mines-Ponts MP$

93. $CCINP (ou CCP) MP 2016$

94. $Mines-Ponts MP$

95. $Centrale MP 2012$

96. $Mines-Ponts MP 2018$

97. $X MP 2001$

98. $Mines-Ponts MP 2012$

99. $Centrale-Supélec MP 2015$

100. $Mines-Ponts MP 1998$

101. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2021$

102. $Centrale-Supélec MP 2019$

103. $C.C.E. Mines MP 2015$