Exercices de Calcul différentiel, Spé (prépa)

Les deux applications $\varphi$ et $\psi$ sont de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur leurs domaines de définition respectifs.

(a) Coordonnées polaires :
Posons $x(r,\theta )=r\cos \theta$ et $y(r,\theta )=r\sin \theta$. La matrice jacobienne de $\varphi$ au point $(r,\theta )$ est :$$J_{\varphi }(r,\theta )=\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r}& \frac{\partial x}{\partial \theta }\\ \frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \theta }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right).$$Le déterminant jacobien (ou jacobien) vaut :$$\det J_{\varphi }(r,\theta )=(\cos \theta )(r\cos \theta )-(-r\sin \theta )(\sin \theta )=r({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )=r.$$(b) Coordonnées sphériques :
Posons $x=r\sin \theta \cos \phi$, $y=r\sin \theta \sin \phi$ et $z=r\cos \theta$. La matrice jacobienne de $\psi$ au point $(r,\theta ,\phi )$ est :$$J_{\psi }(r,\theta ,\phi )=\left(\begin{array}{ccc}\sin \theta \cos \phi & r\cos \theta \cos \phi & -r\sin \theta \sin \phi \\ \sin \theta \sin \phi & r\cos \theta \sin \phi & r\sin \theta \cos \phi \\ \cos \theta & -r\sin \theta & 0\end{array}\right).$$Développons ce déterminant par rapport à la dernière ligne :$$\begin{array}{rl}\det J_{\psi }(r,\theta ,\phi )& =\cos \theta \cdot \left|\begin{array}{cc}r\cos \theta \cos \phi & -r\sin \theta \sin \phi \\ r\cos \theta \sin \phi & r\sin \theta \cos \phi \end{array}\right|-(-r\sin \theta )\cdot \left|\begin{array}{cc}\sin \theta \cos \phi & -r\sin \theta \sin \phi \\ \sin \theta \sin \phi & r\sin \theta \cos \phi \end{array}\right|\\ & =\cos \theta \cdot \left(r^2\sin \theta \cos \theta {\cos }^2\phi +r^2\sin \theta \cos \theta {\sin }^2\phi \right)\\ & +r\sin \theta \cdot \left(r{\sin }^2\theta {\cos }^2\phi +r{\sin }^2\theta {\sin }^2\phi \right)\\ & =r^2\sin \theta {\cos }^2\theta +r^2{\sin }^3\theta \\ & =r^2\sin \theta ({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )=r^2\sin \theta .\end{array}$$

La fonction $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur l'ouvert $D=\mathbb{R}\times ]0,+\infty [$.

1. Recherche des points critiques :
Calculons les dérivées partielles premières de $f$ :$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xy,$$$$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^2+(\ln y{)}^2+y\cdot 2\ln y\cdot \frac{1}{y}=x^2+(\ln y{)}^2+2\ln y=x^2+\ln y(\ln y+2).$$Un point $(x,y)\in D$ est critique si et seulement si $\nabla f(x,y)=(0,0)$.
- $\frac{\partial f}{\partial x}=0⟺2xy=0⟺x=0$ (car $y>0$).
- Pour $x=0$, $\frac{\partial f}{\partial y}(0,y)=0⟺\ln y(\ln y+2)=0⟺y=1\text{ ou }y=e^{-2}$.
Les points critiques de $f$ sur $D$ sont donc $A(0,1)$ et $B(0,e^{-2})$.

2. Nature du point critique $A(0,1)$ :
Remarquons que pour tout $(x,y)\in D$, $y>0$, $x^2\ge 0$ et $(\ln y{)}^2\ge 0$.
Ainsi, $f(x,y)=y(x^2+(\ln y{)}^2)\ge 0$ pour tout $(x,y)\in D$.
Or $f(0,1)=0$.
Par conséquent, $f$ atteint son minimum absolu (global) sur $D$ en $A(0,1)$, et ce minimum vaut $0$.

3. Nature du point critique $B(0,e^{-2})$ :
Calculons les dérivées partielles secondes au point $B(0,e^{-2})$ :$$r=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(0,e^{-2})=2e^{-2},$$$$s=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(0,e^{-2})=0,$$$$t=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}(0,e^{-2})=\frac{-4+2}{e^{-2}}=-2e^2.$$Le déterminant mongien vaut :$$rt-s^2=(2e^{-2})(-2e^2)-0=-4<0.$$Puisque $rt-s^2<0$, le point $B(0,e^{-2})$ est un point col (selle), et $f$ ne présente pas d'extremum local en $B$.