Exercices de Calcul différentiel en maths Spé (prépa) (page 3) | The Maths Tailor
Exercices de Calcul différentiel, Spé (prépa) (page 3)
104 exercices de Calcul différentiel pour les maths Spé (prépa), avec tous les énoncés en accès libre. 2 corrigés sont offerts ; les autres corrigés sont réservés aux abonnés. Au programme du chapitre : Différentiabilité, Opérations sur les fonctions différentiables, Applications de classe C^k, Tangence et orthogonalité.
On considère la fonction f définie sur R2 par∀(x,y)∈R2,f(x,y)=x3+y3−3xyL'objectif de cet exercice est d'étudier l'existence d'extrema de f.
Q1-Déterminer les points critiques de f.
Q2-Expliciter des points (x,y)∈R2 arbitrairement proches de (0,0) tels que f(x,y)<0. Expliciter de même des points (x,y)∈R2 arbitrairement proches de (0,0) tels que f(x,y)>0. La fonction f admet-elle en (0,0) un maximum local, un minimum local, aucun des deux ?
On n'utilisera pas le théorème spectral dans cet exercice. Soit u un endomorphisme auto-adjoint d'un espace euclidien E de dimension non nulle. On pose f(x)=⟨u(x),x⟩ pour tout x∈E. On note S la sphère unité de E (pour la norme euclidienne associée au produit scalaire de E).
Q1-Justifier que f admet un maximum sur S.
Q2-Soit a∈S tel que f(a)=Smaxf. Justifier que a est un vecteur propre de u.
Soient f∈C1(R2,R) et α∈R. On dit que f est homogène de degré α si∀(x,y)∈R2,∀t>0,f(tx,ty)=tαf(x,y)Montrer que f est homogène de degré α si et seulement si∀(x,y)∈R2,x∂x∂f(x,y)+y∂y∂f(x,y)=αf(x,y)
Soient U un ouvert borné non vide de Rn (n∈N∗). On note ∂U=U∖U la frontière de U. On se donne une fonction f à valeurs réelles continue sur U et de classe C2 sur U. On pose alors∀x∈U,Δf(x)=i=1∑n∂xi2∂2f(x)
Q1-Montrer que f admet un maximum sur U. On note alors xˉ un point de U où ce maximum est atteint.
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a,b]. On suppose que f≥0 sur [a,b] et on souhaite montrer qu'il n'existe qu'une solution non nulle de l'équation différentielle y′′−fy=g s'annulant en a et b.
Soient donc φ1 et φ2 deux solutions de l'équation différentielle y′′−fy=g s'annulant en a et b.
Soit E un espace euclidien de dimension n∈N∗. On considère un endomorphisme auto-adjoint f de E dont toutes les valeurs propres sont strictement positives.
Q1-Montrer que : ∀h∈E∖{0E},(f(h)∣h)>0.
Q2-Soient u∈E fixé et g:x↦21(f(x)∣x)−(u∣x). a. Montrer que g est différentiable sur E et calculer sa différentielle en tout point de E. b. Montrer qu'il existe un unique vecteur z0∈E point critique de g. c. Montrer que g admet un minimum global en z0.
Q3-On considère la fonction g définie sur R2 par g(u,v)=f(1+u,1+v)−f(1,1). Calculer, pour tout (u,v)∈R2, g(u,v), puis, pour tout (r,θ)∈R+×R, g(rcosθ,rsinθ).
Q4-Prouver que pour tout (r,θ)∈R+×R, on ag(rcosθ,rsinθ)≥3r2(21−2r)Que peut-on en conclure ?
Q5-La fonction f possède-t-elle un ou des extrema globaux ?
Q3-À l'aide de la matrice hessienne, démontrer que f admet un extremum local en (x0,y0). Est-ce un minimum ou un maximum ?
Q2-En déduire que f est continue en (1,1).
Q3-On pose x0=25−1. Montrer que f admet un maximum en (x0,x0).
Q2-Réciproquement, on suppose que f vérifie la relation (∗).
On fixe (x,y)∈R2 et on pose φ(t)=f(tx,ty)−tαf(x,y) pour t>0. Montrer que φ vérifie une équation différentielle du premier ordre sans second membre et préciser celle-ci.
En déduire que f est homogène de degré α.
Q3-Montrer que si f est homogène de degré α, les dérivées partielles de f sont également homogènes et préciser leur degré.
Q3-À partir de maintenant, on suppose Δf=0 sur U.
On se donne ε>0 et on pose∀x∈U,fε(x)=f(x)+ε∥x∥2=f(x)+εi=1∑nxi2Montrer que fε est continue sur U, de classe C2 sur U et que Δfε>0 sur U.
Q4-En déduire que le maximum de f sur U est atteint sur ∂U.
Q5-Soient f1 et f2 deux fonctions continues sur U, de classe C2 sur U et vérifiant Δf1=Δf2=0 sur U. On suppose en outre que f1=f2 sur ∂U. Montrer que f1=f2 sur U.
Q3-Soit G={(x,y)↦α(y)exp(ax),α∈C1(R,R)}. Montrer que G⊂ker(φ). φ est-elle injective ?
Q4-Soit A∈F. On pose f(x,y)=exp(ax)∫0xA(t,y)exp(−at)dt pour (x,y)∈R2. Montrer que f∈E et que φ(f)=A.
Q5-Montrer que G=ker(φ).
Q6-Trouver toutes les fonctions f∈E telles que :∀(x,y)∈R2,∂x∂f(x,y)−af(x,y)=2x−3y
Q2-On suppose f et g convexes. Montrer que h est convexe.
Q3-Montrer que f et g peuvent être de classe C∞ sans que h le soit.
Q3-On pose φ:x↦yx. On suppose que φ est dérivable. Exprimer φ′(x) en fonction des dérivées partielles de f en (x,φ(x)). Montrer que φ est de classe C1.
