Exercices de Calcul différentiel en maths Spé (prépa) (page 2)

72. $Algèbre de Lie$

Soient

(A, +, \cdot, \times)

une

R

-algèbre de dimension finie et

G

une partie de

A

telle que

(G, \times)

est un groupe d'élément neutre

1

. On note

g = T_{1} (G)

l'ensemble des vecteurs tangents à

G

1

Q1-Justifier que

g

est un sous-espace vectoriel de

A

Q2-Soient

ε > 0

X :] - ε, ε [\to G

telle que

X (0) = 1

. On note

\hat{X} : t \in] - ε, ε [\mapsto X (t)^{- 1}

Justifier que $\hat{X}$ est bien définie.
On suppose $X$ continue en $0$ . Justifier que $\hat{X}$ est également continue en $0$ .
Dans cette question et la suivante, on suppose $X$ dérivable en $0$ . Montrer que $\hat{X}$ est dérivable en $0$ et calculer $\hat{X}^{'} (0)$ en fonction de $X^{'} (0)$ .
On fixe $Y \in G$ et on considère $C : t \in] - ε, ε [\mapsto X (t) Y \hat{X} (t)$ . Justifier que $C$ est dérivable en $0$ et calculer $C^{'} (0)$ en fonction de $X^{'} (0)$ et $Y$ .

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41.

42.Mines : noyau de l'op. d'Euler

43.Mines : aire maximale, triangle

44.Mines : minimum de (x2+y2+a)/(xy)

45.Mines : prolongement de fp​

46.Dérivée de f sur une droite

47.CCINP (ou CCP) PSI 2019

48.Règle de la chaîne, dérivées

49.Existence de dérivées partielles

50.Dérivées croisées non égales

51.Laplacien en polaires

52.Dérivée de t↦f(tcost,tsint)

53.Une équation fonctionnelle

54.Différentiabilité de (x2+y2)sin(1/r)

55.Centrale-Supélec MP 2016

56.Mines-Ponts MP 2016

57.Harmonique et principe du maximum

58.CCINP (ou CCP) MP 2023

59.Banque Mines-Ponts MP 2019

60.Banque Mines-Ponts MP 2018

61.Dérivée de t↦exp(A(t))

62.Différentielle de M↦M2

63.Valeur en frontière et pt critique

64.CCINP (ou CCP) MP 2023

65.Gradient de 21​⟨fx,x⟩

66.Quotient de Rayleigh, v. propres

67.Difféomorphisme global g(x,y)=(x+2siny,…)

68.Différentielle d'une composée f∘g

69.Espace tangent à On​(R)

70.Vecteur tangent, surface implicite

71.Plan tangent contenant une droite

72.Algèbre de Lie

73.Espace tangent à GLn​(R)

74.Vecteurs tangents à un ouvert

75.Extrema locaux de polynômes en (x,y)

76.Minimum local non global de x2(1+y)3+y4

77.CCINP (ou CCP) MP 2018

78.CCP PSI 2015

79.Extrema de sinxsinysin(x+y) sur carré

80.Mines-Ponts MP 2018

42. $Mines : noyau de l'op. d'Euler$

43. $Mines : aire maximale, triangle$

44. $Mines : minimum de (x^{2} + y^{2} + a) / (x y)$

45. $Mines : prolongement de f_{p}$

46. $Dérivée de f sur une droite$

47. $CCINP (ou CCP) PSI 2019$

48. $Règle de la chaîne, dérivées$

49. $Existence de dérivées partielles$

50. $Dérivées croisées non égales$

51. $Laplacien en polaires$

52. $Dérivée de t \mapsto f (t cos t, t sin t)$

53. $Une équation fonctionnelle$

54. $Différentiabilité de (x^{2} + y^{2}) sin (1/ r)$

55. $Centrale-Supélec MP 2016$

56. $Mines-Ponts MP 2016$

57. $Harmonique et principe du maximum$

58. $CCINP (ou CCP) MP 2023$

59. $Banque Mines-Ponts MP 2019$

60. $Banque Mines-Ponts MP 2018$

61. $Dérivée de t \mapsto exp (A (t))$

62. $Différentielle de M \mapsto M^{2}$

63. $Valeur en frontière et pt critique$

64. $CCINP (ou CCP) MP 2023$

65. $Gradient de \frac{1}{2} ⟨ f x, x ⟩$

66. $Quotient de Rayleigh, v. propres$

67. $Difféomorphisme global g (x, y) = (x + 2 sin y, \dots)$

68. $Différentielle d'une composée f \circ g$

69. $Espace tangent à O_{n} (R)$

70. $Vecteur tangent, surface implicite$

71. $Plan tangent contenant une droite$

72. $Algèbre de Lie$

73. $Espace tangent à G L_{n} (R)$

74. $Vecteurs tangents à un ouvert$

75. $Extrema locaux de polynômes en (x, y)$

76. $Minimum local non global de x^{2} (1 + y)^{3} + y^{4}$

77. $CCINP (ou CCP) MP 2018$

78. $CCP PSI 2015$

79. $Extrema de sin x sin y sin (x + y) sur carré$

80. $Mines-Ponts MP 2018$