Exercices de Espaces vectoriels normés en maths Spé (prépa)

1. $Norme de l'inverse d'une somme$

On définit sur

E = C^{0} ([0; 1], R)

une norme par

N (f) = \int_{0}^{1} ∣ f (t) ∣ d t .

2. $Somme de normes majorée par un max$

Soit

(E, ∥ \cdot ∥)

un espace vectoriel normé sur

K

(

K = R

C

).
Désormais la norme est euclidienne.

Q1-Montrer que pour tous

x, y \in E

∥ x ∥ + ∥ y ∥ \leq 2 max (∥ x + y ∥, ∥ x - y ∥)

Q2-Montrer que l'on peut avoir l'égalité avec

x \neq = 0

y \neq = 0

Q3-Montrer que pour tous

x, y \in E

∥ x ∥ + ∥ y ∥ \leq 2 max (∥ x + y ∥, ∥ x - y ∥)

Q4-Peut-on améliorer la constante

2

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

3. $Norme invariante par conjugaison$

Soit

n \in N

avec

n \geq 2

. Existe-t-il une norme

∥ \cdot ∥

sur

M_{n} (C)

invariante par conjugaison, c'est-à-dire telle que :

\forall (A, P) \in M_{n} (C) \times G L_{n} (C), ∥ A ∥ = ∥ P^{- 1} A P ∥ ?

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

4. $Polynômes de Tchebychev extrémaux$

Soit

n \in N^{*}

∥ \cdot ∥

la norme uniforme sur

[- 1; 1]

Q1-Montrer qu'il existe un unique polynôme

T_{n}

de degré

n

tel que :

\forall θ \in R, T_{n} (cos θ) = cos (n θ)

Q2-Soit

P

unitaire de degré

n

. Montrer

∥ P ∥ \geq \frac{1}{2 ^{n - 1}}

. On pourra s'intéresser aux valeurs de

P

T_{n}

en les

cos (k π / n)

, pour

k \in Z

Q3-Cas d'égalité. Montrer

∥ P ∥ = \frac{1}{2 ^{n - 1}} ⟺ P = \frac{1}{2 ^{n - 1}} T_{n}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

5. $Normes usuelles sur les matrices$

Pour

A = (a_{i, j}) \in M_{n, p} (K)

. On pose

∥ A ∥_{1} = i = 1 \sum n j = 1 \sum p ∣ a_{i, j} ∣, ∥ A ∥_{2} = i = 1 \sum n j = 1 \sum p ∣ a_{i, j} ∣^{2} et ∥ A ∥_{\infty} = 1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq p max ∣ a_{i, j} ∣.

Montrer que

∥ \cdot ∥_{1}

∥ \cdot ∥_{2}

∥ \cdot ∥_{\infty}

définissent des normes sur

M_{n, p} (K)

Voir le corrigé

On définit trois normes sur

M_{n, p} (K)

par :

∥ A ∥_{1} = i = 1 \sum n j = 1 \sum p ∣ a_{i, j} ∣, ∥ A ∥_{2} = i = 1 \sum n j = 1 \sum p ∣ a_{i, j} ∣^{2}, ∥ A ∥_{\infty} = 1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq p max ∣ a_{i, j} ∣.

Pour montrer que ce sont des normes, il faut vérifier les quatre propriétés d'une norme pour chacune :

1. Séparation :

∥ A ∥ = 0 ⟹ A = 0

(matrice nulle).
- Pour

∥ \cdot ∥_{1}

: si

∥ A ∥_{1} = 0

, alors

\sum ∣ a_{i, j} ∣ = 0

, donc tous les

a_{i, j} = 0

, donc

A = 0

.
- Pour

∥ \cdot ∥_{2}

: si

∥ A ∥_{2} = 0

, alors

\sum ∣ a_{i, j} ∣^{2} = 0

, donc tous les

a_{i, j} = 0

, donc

A = 0

.
- Pour

∥ \cdot ∥_{\infty}

: si

∥ A ∥_{\infty} = 0

, alors

max ∣ a_{i, j} ∣ = 0

, donc tous les

a_{i, j} = 0

, donc

A = 0

.

2. Homogénéité :

∥ λ A ∥ = ∣ λ ∣∥ A ∥

pour tout

λ \in K

.
- Pour

∥ \cdot ∥_{1}

∥ λ A ∥_{1} = i \sum j \sum ∣ λ a_{i, j} ∣ = ∣ λ ∣ i \sum j \sum ∣ a_{i, j} ∣ = ∣ λ ∣∥ A ∥_{1}

.
- Pour

∥ \cdot ∥_{2}

∥ λ A ∥_{2} = i \sum j \sum ∣ λ a_{i, j} ∣^{2} = ∣ λ ∣^{2} i \sum j \sum ∣ a_{i, j} ∣^{2} = ∣ λ ∣∥ A ∥_{2}

.
- Pour

∥ \cdot ∥_{\infty}

∥ λ A ∥_{\infty} = i, j max ∣ λ a_{i, j} ∣ = ∣ λ ∣ i, j max ∣ a_{i, j} ∣ = ∣ λ ∣∥ A ∥_{\infty}

.

3. Inégalité triangulaire :

∥ A + B ∥ \leq ∥ A ∥ + ∥ B ∥

.
- Pour

∥ \cdot ∥_{1}

∥ A + B ∥_{1} = i \sum j \sum ∣ a_{i, j} + b_{i, j} ∣ \leq i \sum j \sum ∣ a_{i, j} ∣ + ∣ b_{i, j} ∣ = ∥ A ∥_{1} + ∥ B ∥_{1}

.
- Pour

∥ \cdot ∥_{2}

: par l'inégalité de Minkowski,

∥ A + B ∥_{2} = i \sum j \sum ∣ a_{i, j} + b_{i, j} ∣^{2} \leq i \sum j \sum ∣ a_{i, j} ∣^{2} + i \sum j \sum ∣ b_{i, j} ∣^{2} = ∥ A ∥_{2} + ∥ B ∥_{2}

.
- Pour

∥ \cdot ∥_{\infty}

∥ A + B ∥_{\infty} = i, j max ∣ a_{i, j} + b_{i, j} ∣ \leq i, j max (∣ a_{i, j} ∣ + ∣ b_{i, j} ∣) \leq i, j max ∣ a_{i, j} ∣ + i, j max ∣ b_{i, j} ∣ = ∥ A ∥_{\infty} + ∥ B ∥_{\infty}

.

4. Symétrie :

∥ - A ∥ = ∥ A ∥

(découle de l'homogénéité avec

λ = - 1

).

Ces trois normes sont appelées les normes usuelles sur

M_{n, p} (K)

. Elles sont associées à la base canonique de

M_{n, p} (K)

(constituée des matrices

E_{i, j}

avec un 1 en position

(i, j)

et 0 ailleurs).

Remarque : Ces normes ne sont pas équivalentes en dimension infinie (par exemple, sur l'espace des suites), mais sur

M_{n, p} (K)

qui est de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

6. $Norme de Frobenius matricielle$

Pour

A = (a_{i, j}) \in M_{n} (R)

on pose

∥ A ∥ = (i, j = 1 \sum n a_{i, j}^{2})^{1/2} .

Montrer que

∥ \cdot ∥

est une norme matricielle, i.e. que c'est une norme sur

M_{n} (R)

vérifiant

\forall A, B \in M_{n} (R), ∥ A B ∥ \leq ∥ A ∥∥ B ∥.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

7. $Sous-multiplicativité de la norme \infty$

Pour

A = (a_{i, j}) \in M_{n} (C)

, on pose

∥ A ∥ = 1 \leq i \leq n sup j = 1 \sum n ∣ a_{i, j} ∣.

Q1-Montrer que

∥ \cdot ∥

définit une norme sur

M_{n} (C)

Q2-Vérifier

\forall A, B \in M_{n} (C), ∥ A B ∥ \leq ∥ A ∥∥ B ∥

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

8. $Norme \infty et rayon spectral$

Pour

A = (a_{i, j}) \in M_{n} (C)

, on pose

∥ A ∥ = 1 \leq i \leq n sup j = 1 \sum n ∣ a_{i, j} ∣.

Q1-Montrer que

∥ \cdot ∥

est une norme d'algèbre sur

M_{n} (C)

Q2-Montrer que si

λ

est valeur propre de

A

alors

∣ λ ∣ \leq ∥ A ∥

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

9. $Convergence de ∥ x ∥_{p} vers ∥ x ∥_{\infty}$

Pour

x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in K^{n}

p \geq 1

on pose

∥ x ∥_{p} = (i = 1 \sum n ∣ x_{i} ∣^{p})^{1/ p} .

Montrer

∥ x ∥_{\infty} = p \to + \infty lim ∥ x ∥_{p}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

10. $Norme infinie d'une famille libre$

Soient

f_{1}, \dots, f_{n} : [0; 1] \to R

continues.
À quelle condition l'application

N : (x_{1}, \dots, x_{n}) \mapsto ∥ x_{1} f_{1} + \dots + x_{n} f_{n} ∥_{\infty}

définit-elle une norme sur

R^{n}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

11. $Norme sup_{t} ∣ x_{1} + t x_{2} ∣ sur R^{2}$

Montrer que l'application

N : R^{2} \to R

définie par

N (x_{1}, x_{2}) = t \in [0; 1] sup ∣ x_{1} + t x_{2} ∣

est une norme sur

R^{2}

.
Représenter la boule unité fermée pour cette norme et comparer celle-ci à

∥ \cdot ∥_{\infty}

12. $Norme sur les suites sommables ℓ^{1}$

On note

ℓ^{1} (N, K)

l'ensemble des suites

u = (u_{n})_{n \in N} \in K^{N}

sommable c'est-à-dire

ℓ^{1} (N, K) = {u \in K^{N} ∣ \sum ∣ u_{n} ∣ < + \infty} .

Montrer que

ℓ^{1} (N, K)

est un

K

-espace vectoriel et que l'on y définit une norme par l'application

∥ u ∥_{1} = n = 0 \sum + \infty ∣ u_{n} ∣.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

13. $Norme L^{1} : fonctions intégrables$

Soit

I

un intervalle d'intérieur non vide de

R

. On note

L^{1} (I, K)

l'ensemble des fonctions

f : I \to K

continues et intégrables i.e.

L^{1} (I, K) = {f \in C (I, K) ∣ \int_{I} ∣ f ∣ < + \infty} .

Montrer que

L^{1} (I, K)

est un

K

-espace vectoriel et que

∥ f ∥_{1} = \int_{I} ∣ f (t) ∣ d t

y définit une norme.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

14. $Espace L^{2} et norme quadratique$

Soit

I

un intervalle d'intérieur non vide de

R

. On note

L^{2} (I, K)

l'ensemble des fonctions

f : I \to K

continues et de carré intégrable i.e.

L^{2} (I, K) = {f \in C (I, K) ∣ \int_{I} ∣ f ∣^{2} < + \infty} .

Montrer que

L^{2} (I, K)

est un

K

-espace vectoriel et que

∥ f ∥_{2} = (\int_{I} ∣ f (t) ∣^{2} d t)^{1/2}

y définit une norme.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

15. $Norme subordonnée : max des lignes$

On introduit une norme

∥ \cdot ∥

sur l'espace des colonnes

M_{n, 1} (R)

en posant

∥ X ∥ = 1 \leq i \leq n max ∣ x_{i} ∣

et on note

S

l'ensemble formé des colonnes de

M_{n, 1} (R)

de norme égale à

1

Q1-Soit

A \in M_{n} (R)

. Montrer l'existence de

X \in S sup ∥ A X ∥

Q2-On pose

N (A) = X \in S sup ∥ A X ∥

. Justifier que pour tout

X \in M_{n, 1} (R)

∥ A X ∥ \leq N (A) ∥ X ∥

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

16. $Distance de e au sous-espace c_{0}$

On norme l'espace

B (N, R)

des suites bornées par la norme infinie notée

∥ \cdot ∥_{\infty}

.
Déterminer la distance de la suite

e

constante égale à

1

au sous-espace vectoriel

C_{0}

des suites réelles convergeant vers

0

Voir le corrigé

Soit l'espace

B (N, R)

des suites réelles bornées, muni de la norme infinie

∥ x ∥_{\infty} = n \in N sup ∣ x_{n} ∣

.
Soit

C_{0}

le sous-espace des suites convergeant vers

0

, et

e = (1, 1, \dots)

la suite constante égale à

1

.
On cherche la distance de

e

C_{0}

, définie par

d (e, C_{0}) = x \in C_{0} in f ∥ e - x ∥_{\infty}

.
1. Majoration de la distance :
La suite nulle

0 = (0, 0, \dots)

appartient évidemment à

C_{0}

(elle converge vers 0).
La distance de

e

C_{0}

est donc inférieure ou égale à la distance de

e

à la suite nulle :

d (e, C_{0}) \leq ∥ e - 0 ∥_{\infty} = ∥ e ∥_{\infty} = 1

.
2. Minoration de la distance :
Soit

x = (x_{n}) \in C_{0}

. Par définition de la norme infinie, pour tout entier

n \in N

∣ x_{n} - 1∣ \leq ∥ x - e ∥_{\infty}

.
Puisque la suite

x

appartient à

C_{0}

, elle vérifie

n \to + \infty lim x_{n} = 0

.
En passant à la limite quand

n \to + \infty

dans l'inégalité précédente, on obtient :

n \to + \infty lim ∣ x_{n} - 1∣ = ∣0 - 1∣ = 1 \leq ∥ x - e ∥_{\infty}

.
Ainsi, pour toute suite

x \in C_{0}

, on a

∥ x - e ∥_{\infty} \geq 1

.
En passant à la borne inférieure sur

x \in C_{0}

, on obtient

d (e, C_{0}) \geq 1

.
3. Conclusion :
En combinant les deux inégalités

d (e, C_{0}) \leq 1

d (e, C_{0}) \geq 1

, on conclut que

d (e, C_{0}) = 1

17. $Distance de (- 1)^{n} aux convergentes$

On norme l'espace

B (N, R)

des suites bornées par la norme infinie notée

∥ \cdot ∥_{\infty}

.
Déterminer la distance de la suite

u = ((- 1)^{n})_{n \in N}

au sous-espace vectoriel

C

des suites réelles convergentes.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

18. $Distance à l'image de l'opérateur Δ$

On norme l'espace

B (N, R)

des suites bornées par la norme infinie notée

∥ \cdot ∥_{\infty}

.
Pour

x \in B (N, R)

, on note

Δ x

la suite de terme général

Δ x (n) = x (n + 1) - x (n)

puis on forme

F = {Δ x ∣ x \in B (N, R)}

.
Déterminer la distance de la suite

e

constante égale à

1

au sous-espace vectoriel

F

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

19. $Distance de la fonction signe à C^{0}$

Soit

E

l'espace des fonctions bornées de

[- 1; 1]

vers

R

normé par

∥ f ∥_{\infty} = x \in [- 1; 1] sup ∣ f (x) ∣

.
Déterminer la distance de la fonction

f : x \mapsto ⎩ ⎨ ⎧ 10 - 1 si x \in] 0; 1] si x = 0 si x \in [- 1; 0 [

au sous-espace vectoriel

F

E

formé des fonctions continues de

[- 1; 1]

vers

R

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

20. $Comparaison des normes 1, 2, \infty$

Soit

E = C^{0} ([0; 1], R)

. On définit les normes

∥ \cdot ∥_{1}

∥ \cdot ∥_{2}

∥ \cdot ∥_{\infty}

par :

∥ f ∥_{1} = \int_{0}^{1} ∣ f (t) ∣ d t, ∥ f ∥_{2} = (\int_{0}^{1} ∣ f (t) ∣^{2} d t)^{1/2} et ∥ f ∥_{\infty} = [0; 1] sup ∣ f ∣.

Q1-Montrer que

∥ \cdot ∥_{\infty}

est plus fine que

∥ \cdot ∥_{1}

∥ \cdot ∥_{2}

mais qu'elle n'équivaut ni à l'une, ni à l'autre.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

21. $Trois normes sur C^{1} ([- 1, 1])$

Soit

E = C^{1} ([- 1; 1], R)

. On définit

N_{1}

N_{2}

N_{3}

par

N_{1} (f) = [- 1; 1] sup ∣ f ∣, N_{2} (f) = ∣ f (0) ∣ + [- 1; 1] sup ∣ f^{'} ∣ et N_{3} (f) = \int_{- 1}^{1} ∣ f ∣.

Q1-Montrer que

N_{1}

N_{2}

N_{3}

sont des normes sur

E

Q2-Comparer

N_{1}

N_{2}

d'une part,

N_{1}

N_{3}

d'autre part.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

22. $Norme H^{1} non équivalente au sup$

Soient

E = C^{1} ([0; 1], R)

N : E \to R_{+}

définie par

N (f) = f^{2} (0) + \int_{0}^{1} f^{'2} (t) d t .

Q1-Montrer que

N

définit une norme sur

E

Q2-Comparer

N

∥ \cdot ∥_{\infty}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

23. $Dérivées en 0 contre la norme sup$

Sur

R [X]

on définit

N_{1}

N_{2}

par :

N_{1} (P) = k = 0 \sum + \infty ∣ P^{(k)} (0) ∣ et N_{2} (P) = t \in [- 1, 1] sup ∣ P (t) ∣.

Q1-Montrer que

N_{1}

N_{2}

sont deux normes sur

R [X]

Q2-Étudier la convergence pour l'une et l'autre norme de la suite de terme général

P_{n} = \frac{1}{n} X^{n}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

24. $Normes 1, 2, \infty sur suites finies$

On note

R^{(N)}

l'ensemble des suites réelles nulles à partir d'un certain rang.
On définit des normes

∥ \cdot ∥_{1}

∥ \cdot ∥_{2}

∥ \cdot ∥_{\infty}

sur

R^{(N)}

en posant

∥ u ∥_{1} = n = 0 \sum + \infty ∣ u_{n} ∣, ∥ u ∥_{2} = (n = 0 \sum + \infty u_{n}^{2})^{1/2} et ∥ u ∥_{\infty} = n \in N sup ∣ u_{n} ∣.

Q1-Comparer

∥ \cdot ∥_{1}

∥ \cdot ∥_{\infty}

Q2-Comparer

∥ \cdot ∥_{1}

∥ \cdot ∥_{2}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

25. $Comparaison de normes sur ℓ^{1}$

On note

ℓ^{1} (N, R)

l'espace des suites réelles sommables. Cet espace est normé par

∥ u ∥_{1} = n = 0 \sum + \infty ∣ u_{n} ∣

Q1-Soit

u \in ℓ^{1} (N, R)

. Montrer que

u

est bornée. Comparer

∥ \cdot ∥_{1}

∥ \cdot ∥_{\infty}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

26. $Norme pondérée N_{a} sur B (N)$

On note

B (N, R)

l'espace des suites réelles bornées normé par

∥ \cdot ∥_{\infty}

Q1-Soit

a = (a_{n})

une suite réelle. Former une condition nécessaire et suffisante sur la suite

a

pour que l'application

N_{a} : x \mapsto n = 0 \sum + \infty a_{n} ∣ x_{n} ∣

définisse une norme sur

B (N, R)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

27. $Norme sup ∣ u_{n + 1} - u_{n} ∣ non équivalente$

On note

E

l'espace des suites réelles bornées

u = (u_{n})_{n \in N}

telles que

u_{0} = 0

Q1-Montrer que

N_{\infty} (u) = n \in N sup ∣ u_{n} ∣

N (u) = n \in N sup ∣ u_{n + 1} - u_{n} ∣

définissent des normes sur l'espace

E

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

28. $Norme ∥ f^{'} ∥_{\infty} et ∥ f + f^{'} ∥_{\infty}$

Soient l'espace

E = {f \in C^{1} ([0; 1], R) ∣ f (0) = 0}

N_{1}, N_{2}

les applications définies sur

E

par

N_{1} (f) = ∥ f^{'} ∥_{\infty} et N_{2} (f) = ∥ f + f^{'} ∥_{\infty} .

29. $Normes C^{1} équivalentes via f + f^{'}$

On note

E

R

-espace vectoriel des fonctions

f : [0; 1] \to R

de classe

C^{1}

vérifiant

f (0) = 0

. Pour

f \in E

, on pose

N_{1} (f) = x \in [0; 1] sup ∣ f (x) ∣ + x \in [0; 1] sup ∣ f^{'} (x) ∣ et N_{2} (f) = x \in [0; 1] sup ∣ f (x) + f^{'} (x) ∣.

Montrer que

N_{1}

N_{2}

sont deux normes sur

E

et qu'elles sont équivalentes.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

30. $Équation y^{''} + y = g et équivalence de normes$

Soit

E = {f \in C^{2} ([0; π], R) ∣ f (0) = f^{'} (0) = 0}

Q1-Montrer que

N : f \mapsto ∥ f + f^{''} ∥_{\infty}

est une norme sur

E

Q2-Montrer que

N

est équivalente à

ν : f \mapsto ∥ f ∥_{\infty} + ∥ f^{''} ∥_{\infty}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

31. $Normes pondérées par une fonction φ$

Soient

E = C ([0; 1], R)

E^{+}

l'ensemble des fonctions de

E

qui sont positives et ne s'annulent qu'un nombre fini de fois. Pour toute fonction

φ \in E^{+}

et pour toute fonction

f \in E

on pose

∥ f ∥_{φ} = t \in [0; 1] sup {\frac{∣ f ( t ) ∣}{φ ( t )}} .

Q1-Montrer que

∥ \cdot ∥_{φ}

est une norme sur

E

Q2-Montrer que si

φ_{1}

φ_{2}

sont deux applications strictement positives de

E^{+}

alors les normes associées sont équivalentes.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

32. $Norme N (A B) \leq c N (A) N (B)$

Soit

N

une norme sur

M_{n} (R)

. Montrer qu'il existe

c > 0

tel que

N (A B) \leq c N (A) N (B) .

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

33. $Norme N_{ξ} et convergence de polynômes$

Pour

d \in N

, on pose

E = R_{d} [X]

l'espace des polynômes réels de degrés inférieurs ou égaux à

d

Q1-Pour

ξ = (ξ_{0}, \dots, ξ_{d})

famille de

d + 1

nombres réels distincts et

P \in E

, on pose

N_{ξ} (P) = k = 0 \sum d ∣ P (ξ_{k}) ∣

. Montrer que

N_{ξ}

définit une norme sur

E

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

34. $Limite d'une suite de polynômes$

Montrer que si

(P_{n})_{n \in N}

est une suite de fonctions polynomiales toutes de degrés inférieurs à

N

convergeant simplement vers une fonction

f

sur

R

alors

f

est une fonction polynomiale et la convergence est uniforme sur tout segment de

R

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

35. $Normes quadratiques N_{a} sur R^{2}$

On étudie une famille de normes quadratiques sur

R^{2}

, dépendant d'un paramètre réel

a

, en cherchant pour quelles valeurs de

a

elles définissent effectivement une norme, puis en comparant deux normes de cette famille à l'aide des meilleures constantes d'équivalence.

Q1-Quelles sont les valeurs de

a \in R

pour lesquelles l'application

(x, y) \mapsto N_{a} (x, y) = x^{2} + 2 a x y + y^{2}

définit une norme sur

R^{2}

Q2-Si

N_{a}

N_{b}

sont des normes, calculer

(x, y) \neq = 0 in f \frac{N _{a} ( x , y )}{N _{b} ( x , y )}

(x, y) \neq = 0 sup \frac{N _{a} ( x , y )}{N _{b} ( x , y )}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

36. $(A B)^{n} \to 0 implique (B A)^{n} \to 0$

Soient

A, B \in M_{p} (R)

. On suppose

(A B)^{n} \to O_{p}

.
Montrer que

(B A)^{n} \to O_{p}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

37. $Puissances commutantes : limites$

Soient

A, B \in M_{n} (R)

telles que

A^{k} k \to + \infty P

B^{k} k \to + \infty Q

.
On suppose que les matrices

A

B

commutent. Montrer que les matrices

P

Q

commutent.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

1.Norme de l'inverse d'une somme

2.Somme de normes majorée par un max

3.Norme invariante par conjugaison

4.Polynômes de Tchebychev extrémaux

5.Normes usuelles sur les matrices

6.Norme de Frobenius matricielle

7.Sous-multiplicativité de la norme ∞

8.Norme ∞ et rayon spectral

9.Convergence de ∥x∥p​ vers ∥x∥∞​

10.Norme infinie d'une famille libre

11.Norme supt​∣x1​+tx2​∣ sur R2

12.Norme sur les suites sommables ℓ1

13.Norme L1 : fonctions intégrables

14.Espace L2 et norme quadratique

15.Norme subordonnée : max des lignes

16.Distance de e au sous-espace c0​

17.Distance de (−1)n aux convergentes

18.Distance à l'image de l'opérateur Δ

19.Distance de la fonction signe à C0

20.Comparaison des normes 1, 2, ∞

21.Trois normes sur C1([−1,1])

22.Norme H1 non équivalente au sup

23.Dérivées en 0 contre la norme sup

24.Normes 1, 2, ∞ sur suites finies

25.Comparaison de normes sur ℓ1

26.Norme pondérée Na​ sur B(N)

27.Norme sup∣un+1​−un​∣ non équivalente

28.Norme ∥f′∥∞​ et ∥f+f′∥∞​

29.Normes C1 équivalentes via f+f′

30.Équation y′′+y=g et équivalence de normes

31.Normes pondérées par une fonction φ

32.Norme N(AB)≤cN(A)N(B)

33.Norme Nξ​ et convergence de polynômes

34.Limite d'une suite de polynômes

35.Normes quadratiques Na​ sur R2

36.(AB)n→0 implique (BA)n→0

37.Puissances commutantes : limites

1. $Norme de l'inverse d'une somme$

2. $Somme de normes majorée par un max$

3. $Norme invariante par conjugaison$

4. $Polynômes de Tchebychev extrémaux$

5. $Normes usuelles sur les matrices$

6. $Norme de Frobenius matricielle$

7. $Sous-multiplicativité de la norme \infty$

8. $Norme \infty et rayon spectral$

9. $Convergence de ∥ x ∥_{p} vers ∥ x ∥_{\infty}$

10. $Norme infinie d'une famille libre$

11. $Norme sup_{t} ∣ x_{1} + t x_{2} ∣ sur R^{2}$

12. $Norme sur les suites sommables ℓ^{1}$

13. $Norme L^{1} : fonctions intégrables$

14. $Espace L^{2} et norme quadratique$

15. $Norme subordonnée : max des lignes$

16. $Distance de e au sous-espace c_{0}$

17. $Distance de (- 1)^{n} aux convergentes$

18. $Distance à l'image de l'opérateur Δ$

19. $Distance de la fonction signe à C^{0}$

20. $Comparaison des normes 1, 2, \infty$

21. $Trois normes sur C^{1} ([- 1, 1])$

22. $Norme H^{1} non équivalente au sup$

23. $Dérivées en 0 contre la norme sup$

24. $Normes 1, 2, \infty sur suites finies$

25. $Comparaison de normes sur ℓ^{1}$

26. $Norme pondérée N_{a} sur B (N)$

27. $Norme sup ∣ u_{n + 1} - u_{n} ∣ non équivalente$

28. $Norme ∥ f^{'} ∥_{\infty} et ∥ f + f^{'} ∥_{\infty}$

29. $Normes C^{1} équivalentes via f + f^{'}$

30. $Équation y^{''} + y = g et équivalence de normes$

31. $Normes pondérées par une fonction φ$

32. $Norme N (A B) \leq c N (A) N (B)$

33. $Norme N_{ξ} et convergence de polynômes$

34. $Limite d'une suite de polynômes$

35. $Normes quadratiques N_{a} sur R^{2}$

36. $(A B)^{n} \to 0 implique (B A)^{n} \to 0$

37. $Puissances commutantes : limites$