Exercices de Espaces vectoriels normés, Spé (prépa) (page 3)

Pour $x\in \mathbb{R}$, on note $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ la partie fractionnaire de $x$. Montrer que la suite $(\{\sqrt{n}\})$ n'admet pas de limite.

Soient $(a_n),(b_n),(c_n)$ trois suites réelles telles que $a_n+b_n+c_n$ tend vers 0 et $e^{a_n}+e^{b_n}+e^{c_n}$ tend vers 3. Montrer que les suites $(a_n),(b_n),(c_n)$ convergent.

Soient $(x_n)$ et $(y_n)$ deux suites telles que $(x_0,y_0)=(0,0)$ et$$\forall n\in \mathbb{N},\{\begin{array}{l}{x}_{n+1}=\sqrt{7-y_n}\\ y_{n+1}=\sqrt{7+x_n}\end{array}$$

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels et $p$ et $q$ deux entiers naturels impairs tels que
$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n+v_n=0$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n^p-v_n^q=0$

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0<a<b$. On définit deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ par :
$\{\begin{array}{l}{u}_0=a\\ \forall n\in \mathbb{N},u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_n+\sqrt{u_n{v}_n})\end{array}$ et $\{\begin{array}{l}{v}_0=b\\ \forall n\in \mathbb{N},v_{n+1}=\frac{1}{2}(v_n+\sqrt{u_n{v}_n})\end{array}$

On pose pour $x\in \mathbb{R}$, $f(x)={\int }_0^1|x-t|dt$. On définit une suite $(u_n)$ par $u_0\in [0,1]$ et la relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. On note $(E_n)$ l'équation $\frac{\ln (x)}{x}=\frac{1}{n}$.

1. Montrer que pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, l'équation $\cos x=nx$ possède une unique solution $x_n\in [0,1]$.
2. Déterminer la limite de $(x_n)$.
3. Etudier la monotonie de $(x_n)$.
4. Etablir que $x_n{\sim }_{n\to +\infty }\frac{1}{n}$.
5. Déterminer un équivalent de $x_n-\frac{1}{n}$.

Soient $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie, $k\in [0,1[$ et $f:E\to E$ tels que $\forall (x,y)\in E^2,\Vert f(x)-f(y)\Vert \le k\Vert x-y\Vert$. Soit $u\in E^{\mathbb{N}}$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. En considérant la série $\sum _{n\in \mathbb{N}}(u_{n+1}-u_n)$, montrer que $u$ converge.

Soit $\sum u_n$ une série numérique absolument convergente. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose $v_n=\sum _{k=0}^n\frac{u_{n-k}}{2^k}$.

Pour $P\in {\mathbb{K}}_n[X]$, on pose $D(P)=P^{\prime }$ et $T(P)=P(X+1)$. Il est clair que $D$ et $T$ sont des endomorphismes de ${\mathbb{K}}_n[X]$. Montrer que $\exp (D)=T$.

Soit $E$ l'espace des suites réelles nulles à partir d'un certain rang, muni de la norme $\Vert u{\Vert }_{\infty }=\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }|u_n|$. Pour $n\in \mathbb{N}$, on note $e_n$ la suite dont tous les termes sont nuls sauf le $n$-ième qui vaut $1$.

1) Calculer $\Vert e_n-e_m{\Vert }_{\infty }$ pour $n\ne m$.

2) En déduire que la suite $(e_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, bien qu'elle vive dans la boule unité fermée $\overline{B}(0,1)$ de $E$, n'admet aucune sous-suite convergente.

3) Conclure que $\overline{B}(0,1)$ n'est pas compacte, bien qu'elle soit fermée et bornée.

Soit $E={\mathcal{C}}^0([0,1],\mathbb{R})$ muni de la norme $N_1(f)={\int }_0^1|f(t)|dt$. On considère la forme linéaire $\phi :E\to \mathbb{R}$, $\phi (f)=f(0)$.

1) Pour $n\ge 1$, on pose $f_n(t)=\max (0,1-nt)$. Calculer $N_1(f_n)$ et $\phi (f_n)$. En déduire que $\phi$ n'est pas continue sur $(E,N_1)$.

2) Soit $H=\ker \phi =\{f\in E\mid f(0)=0\}$. Montrer que $H$ est dense dans $(E,N_1)$ : pour toute $g\in E$ et tout $\epsilon >0$, construire $h\in H$ telle que $N_1(g-h)<\epsilon$ (on pourra modifier $g$ uniquement sur un petit intervalle $[0,\eta ]$).

3) Comparer à la situation en dimension finie et énoncer le résultat général reliant continuité d'une forme linéaire non nulle sur $E$ et caractère fermé (ou dense) de son noyau.

Soit $(E,\Vert \cdot \Vert )$ un espace vectoriel normé et $F$ un sous-espace vectoriel fermé de $E$ tel que $F\ne E$.

1) (Lemme de Riesz) Soit $\theta \in (0,1)$. Montrer qu'il existe $x\in E$ tel que $\Vert x\Vert =1$ et $d(x,F)\ge \theta$, où $d(x,F)=\underset{y\in F}{\inf }\Vert x-y\Vert$ (on pourra partir de $a\in E\setminus F$, poser $d=d(a,F)>0$ et choisir $y_0\in F$ avec $\Vert a-y_0\Vert \le \frac{d}{\theta }$, puis étudier $x=\frac{a-y_0}{\Vert a-y_0\Vert }$).

2) On suppose désormais que $E$ est de dimension infinie. En appliquant le lemme de Riesz avec $\theta =\frac{1}{2}$ à une suite croissante de sous-espaces de dimension finie, construire une suite $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ de vecteurs de norme $1$ telle que $\Vert x_n-x_m\Vert \ge \frac{1}{2}$ pour tous $n\ne m$.

3) En déduire le théorème de Riesz : la boule unité fermée de $E$ est compacte si et seulement si $E$ est de dimension finie.