Exercices de Espaces vectoriels normés en maths Spé (prépa) (page 2)

39. $Limite de A^{n} : matrice de projection$

Soit

A \in M_{p} (C)

. On suppose que la suite

(A^{n})_{n \in N}

converge vers

B

.
Montrer que

B

est semblable à une matrice diagonale n'ayant que des

0

et des

1

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40. $Rang et convergence de matrices$

Soit

(A_{n})

une suite convergente d'éléments de

M_{n} (K)

et de limite

A_{\infty}

.
Montrer que pour

n

assez grand

rg (A_{n}) \geq rg (A_{\infty})

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41. $I_{n} est un point isolé de E_{q}$

Soit

q \in N^{*}

. On note

E_{q}

l'ensemble des

A \in G L_{n} (C)

telles que

A^{q} = I_{n}

Q1-Que dire de

A \in E_{q}

telle que

1

est seule valeur propre de

A

Q2-Montrer que

I_{n}

est un point isolé de

E_{q}

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42. $Transposée et parité pour A^{k} \to B$

Soit

A \in M_{n} (R)

une matrice antisymétrique telle que la suite

(A^{k})_{k \in N}

converge vers

B

dans

M_{n} (R)

.
Que dire de

B

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43. $Limite d'une matrice stochastique$

Soient

n \geq 2

A = (a_{i, j}) \in M_{n} (R)

une matrice à coefficients strictement positifs vérifiant

j = 1 \sum n a_{i, j} = 1

pour tout

i \in [[1; n]]

.
On note

α

le plus petit coefficient de la matrice

A

et, étant donné

X \in M_{n, 1} (R)

, on note

min (X)

max (X)

le plus petit et le plus grand coefficient de la colonne

X

Q1-On suppose que les coefficients de

Y \in M_{n, 1} (R)

sont tous positifs, établir

min (A Y) \geq α max (Y)

Q2-Soit

X \in M_{n, 1} (R)

Y = X - min (X) U

avec

U

la colonne de hauteur

n

dont tous les coefficients valent

1

. Montrer

min (A X) \geq α max (X) + (1 - α) min (X)

puis

max (A X) \leq α min (X) + (1 - α) max (X)

. En déduire que les suites

(min (A^{p} X))_{p \in N}

(max (A^{p} X))_{p \in N}

sont adjacentes.

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44. $Rayon spectral et convergence de M^{k}$

Soit

M \in M_{n} (C)

. Montrer l'équivalence de :
(i) toute valeur propre de

M

est de module strictement inférieur à

1

;
(ii) la suite

(M^{k})

tend vers

0

;
(iii) la série de terme général

M^{k}

converge.

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45. $CCP MP 2016$

Soient

α_{0}, \dots, α_{n}

des réels distincts (

n \geq 1

). On pose

N (P) = k = 0 \sum n ∣ P (α_{k}) ∣

. Montrer que

N

est une norme non euclidienne sur

R_{n} [X]

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46. $Norme duale sur un espace euclidien$

On considère un espace euclidien

E

de produit scalaire

⟨ \cdot, \cdot ⟩

que l'on munit d'une norme

N

(qui n'est pas nécessairement la norme euclidienne associée au produit scalaire précédent). On note

S

la sphère unité pour la norme

N

i.e.

S = {y \in E, N (y) = 1}

et on pose pour

x \in E

N^{*} (x) = y \in S sup ∣ ⟨ x, y ⟩ ∣

Q1-Montrer que l'application

N^{*}

est bien définie sur

E

Q2-Montrer que

N^{*}

est une norme sur

E

Q3-Dans cette question, on suppose que

E = R^{n}

et que

⟨ \cdot, \cdot ⟩

est le produit scalaire usuel sur

R^{n}

. Déterminer

N^{*}

lorsque

N

est la norme

∥ \cdot ∥_{2}

, la norme

∥ \cdot ∥_{\infty}

et la norme

∥ \cdot ∥_{1}

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47. $Quelques normes matricielles$

Pour

A \in M_{n, p} (R)

, on pose

N_{1} (A) = 1 \leq j \leq p max i = 1 \sum n ∣ A_{i, j} ∣, N_{2} (A) = 1 \leq i \leq n max j = 1 \sum p ∣ A_{i, j} ∣, N_{3} (A) = i = 1 \sum n j = 1 \sum p A_{i, j}^{2}, N_{4} (A) = max Sp (A^{⊤} A) .

Q1-Montrer que

N_{1}, N_{2}, N_{3}

N_{4}

sont des normes sur

M_{n, p} (R)

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48. $Constante optimale pour ∥ x ∥ + ∥ y ∥$

Soit

(E, ∥ \cdot ∥)

un espace vectoriel normé.

Q1-Montrer que pour tout

(x, y) \in E^{2}

∥ x ∥ + ∥ y ∥ \leq 2 max {∥ x + y ∥, ∥ x - y ∥}

Q2-Montrer que l'on peut avoir l'égalité même si

x

y

sont non nuls.

Q3-Désormais la norme est euclidienne. Montrer que pour tout

(x, y) \in E^{2}

∥ x ∥ + ∥ y ∥ \leq 2 max {∥ x + y ∥, ∥ x - y ∥}

. Peut-on améliorer la constante

2

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49. $Comparaison de normes usuelles de K^{n}$

On pose pour

x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in K^{n}

N_{1} (x) = i = 1 \sum n ∣ x_{i} ∣, N_{2} (x) = i = 1 \sum n ∣ x_{i} ∣^{2}, N_{\infty} (x) = 1 \leq i \leq n max ∣ x_{i} ∣.

Q1-Montrer que

N_{\infty} \leq N_{1} \leq n N_{\infty}

Q2-Montrer que

N_{\infty} \leq N_{2} \leq n N_{\infty}

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50. $Famille libre et norme image dans R^{n}$

Soit

E

R

-espace vectoriel muni d'une norme

∥.∥

. On se donne

(x_{1}, \dots, x_{n}) \in E^{n}

. Montrer que l'application

N : (λ_{1}, \dots, λ_{n}) \in R^{n} ⟼ k = 1 \sum n λ_{k} x_{k}

est une norme sur

R^{n}

si et seulement si

(x_{1}, \dots, x_{n})

est une famille libre.

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51. $Norme déterminée par sa boule unité$

Soit

E

un espace vectoriel que l'on munit de deux normes

N_{1}

N_{2}

. On définit les deux boules unités

B_{1} = {x \in E, N_{1} (x) \leq 1}

B_{2} = {x \in E, N_{2} (x) \leq 1}

. Montrer que

N_{1} = N_{2}

si et seulement si

B_{1} = B_{2}

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52. $Norme infinie de x e^{- n x}$

Soit

f_{n} : x \in R_{+} \mapsto x e^{- n x}

pour

n \in N^{*}

. Calculer

∥ f_{n} ∥_{\infty}

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53. $Norme infinie de sin^{n} x cos x$

Soit

f_{n} : x \in R \mapsto sin^{n} (x) cos (x)

pour

n \in N^{*}

. Calculer

∥ f_{n} ∥_{\infty}

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54. $Inégalités de Hölder et Minkowski$

Soient

p

q

deux nombres réels strictement positifs tels que

\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1

Q1-Prouver l'inégalité de Young,

\forall (u, v) \in (R_{+}^{*})^{2}, uv \leq \frac{u ^{p}}{p} + \frac{v ^{q}}{q}

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55. $Epigraphe$

Soit

f : I \to R

où

I

est un intervalle de

R

. On appelle épigraphe de

f

l'ensemble

E = {(x, y) \in R^{2} ∣ x \in I, y \geq f (x)}

Montrer que

f

est convexe si et seulement si son épigraphe est une partie convexe de

R^{2}

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56. $Image linéaire d'un convexe$

Soient

E

F

deux

R

-espaces vectoriels ainsi que

f \in L (E, F)

. Soit

C

une partie convexe de

E

. Montrer que

f (C)

est une partie convexe de

F

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57. $Matrices stochastiques$

On note

S

l'ensemble des matrices stochastiques de

M_{n, p} (R)

, c'est-à-dire l'ensemble des matrices

M \in M_{n, p} (R)

à coefficients positifs et telles que

\forall i \in [[1, n]], j = 1 \sum p M_{i, j} = 1

Montrer que

S

est une partie convexe de

M_{n, p} (R)

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58. $Distance dans ℓ^{\infty} aux convergentes$

On considère

E

l'espace vectoriel des suites réelles bornées que l'on munit de la norme uniforme. On pose

u : n \in N \mapsto (- 1)^{n}

. Calculer la distance de

u

au sous-espace vectoriel

F

E

formé des suites convergentes.

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59. $Lipschitzianité de x \mapsto d (x, A)$

Soit

A

une partie non vide d'un espace vectoriel normé

E

. On pose

d (x, A) = a \in A in f d (x, a)

pour

x \in E

. Montrer que

\forall (x, y) \in E^{2}, ∣ d (x, A) - d (y, A) ∣ \leq d (x, y)

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60. $Normes C^{1} équivalentes via f (0)$

On pose

E = C^{1} ([0, 1], R)

et pour

f \in E

N (f) = ∥ f ∥_{\infty} + ∥ f^{'} ∥_{\infty}

Q1-Montrer que

N

est une norme sur

E

N

est-elle équivalente à

∥. ∥_{\infty}

Q2-Pour

f \in E

, on pose

N^{'} (f) = ∣ f (0) ∣ + ∥ f^{'} ∥_{\infty}

. Montrer que

N^{'}

est une norme et qu'elle est équivalente à

N

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61. $Centrale MP 2010$

Donner un exemple de deux normes non équivalentes sur un espace vectoriel normé.

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62. $Centrale PSI 2010$

Soit

E = C ([0, 1])

. Pour

f \in E

, on pose

∥ f ∥_{\infty} = [0, 1] sup ∣ f ∣

∥ f ∥_{2} = (\int_{[0, 1]} f^{2})^{1/2}

Q1-Montrer qu'il existe

b \in R_{+}

tel que

\forall f \in E, ∥ f ∥_{2} \leq b ∥ f ∥_{\infty}

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63. $D'après Centrale MP 2006$

On note

E

l'ensemble des fonctions

f

de classe

C^{2}

sur

[0, 1]

telles que

f (0) = f^{'} (0) = 0

. Pour

f \in E

, on pose

N_{\infty} (f) = [0, 1] sup ∣ f ∣, N (f) = N_{\infty} (f + f^{''}), N_{1} (f) = N_{\infty} (f) + N_{\infty} (f^{''}) .

Q1-Montrer que

N_{\infty}, N

N_{1}

sont des normes sur

E

Q2-Montrer que

N_{\infty}

n'est équivalente ni à

N

ni à

N_{1}

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64. $Comparaison de normes usuelles de C^{0} ([a, b], K)$

On pose pour

f \in C^{0} ([a, b], K)

N_{1} (f) = \int_{a}^{b} ∣ f (t) ∣ d t, N_{2} (f) = \int_{a}^{b} ∣ f (t) ∣^{2} d t, N_{\infty} (f) = t \in [a, b] max ∣ f (t) ∣.

Q1-Montrer que

N_{1} \leq (b - a) N_{\infty}

N_{2} \leq b - a N_{\infty}

N_{1} \leq b - a N_{2}

et montrer que chacune des ces inégalités est optimale.

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65. $TPE-EIVP MP 2012$

On pose pour une partie

A

R

P \in R [X]

N_{A} (P) = x \in A sup ∣ P (x) ∣

. A quelle condition nécessaire et suffisante

N_{A}

est-elle une norme sur

R [X]

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66. $Banque Mines-Ponts MP 2022$

Soit

E = C^{1} ([0, 1], R)

. On pose pour tout

f \in E

∙

∥ f ∥_{1} = \int_{0}^{1} ∣ f (x) ∣ d x

;

∙

N_{1} (f) = ∥ f ∥_{1} + ∥ f^{'} ∥_{1}

;

∙

N_{2} (f) = ∣ f (0) ∣ + ∥ f^{'} ∥_{1}

Q1-Montrer que

N_{1}

N_{2}

sont des normes.

Q2-

N_{1}

N_{2}

sont-elles équivalentes ?

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67. $ESTP 1982$

On considère une suite réelle

(a_{n})

strictement positive et bornée. On note

E = R [X]

l'ensemble des polynômes à coefficients réels.

Q1-Soit

(P, Q) \in E^{2}

. On pose

u_{n} = \frac{a _{n}}{2 ^{n}} P (n) Q (n)

pour

n \in N

. Démontrer la convergence de la série

n \in N \sum u_{n}

Q2-On pose alors pour

(P, Q) \in E^{2}

⟨ P, Q ⟩ = n = 0 \sum + \infty \frac{a _{n}}{2 ^{n}} P (n) Q (n)

. Montrer que

⟨ \cdot, \cdot ⟩

est un produit scalaire sur

E

Q3-On suppose maintenant la suite

(a_{n})

positive et non strictement positive. Donner une condition necessaire et suffisante portant sur la suite

(a_{n})

afin que

⟨ \cdot, \cdot ⟩

définisse encore un produit scalaire sur

E

Q4-On suppose maintenant

a_{n} = 1

pour tout

n \in N

, et l'on désigne par

N_{1}

la norme euclidienne associée au produit scalaire

⟨ \cdot, \cdot ⟩

correspondant à cette suite particulière

(a_{n})

. Cette norme est-elle équivalente à la norme

N_{2}

définie par

\forall P \in E, N_{2} (P) = x \in [0, 1] sup ∣ P (x) ∣

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68. $Cesàro et projection sur ker (u - Id)$

Soit

E

un espace vectoriel normé de dimension finie. Soit

u \in L (E)

tel que

∥ u (x) ∥ \leq ∥ x ∥

pour tout

x \in E

Q1-Montrer que

E = ker (Id_{E} - u) \oplus Im (Id_{E} - u)

Q2-Soit

x \in E

. Pour

n \in N^{*}

, on pose

x_{n} = \frac{1}{n} k = 0 \sum n - 1 u^{k} (x)

. Montrer que

(x_{n})

converge vers la projection de

x

sur

ker (Id_{E} - u)

parallèlement à

Im (Id_{E} - u)

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69. $Idempotence de la limite de A^{n}$

Soit

A \in M_{p} (R)

telle que la suite de terme général

A^{n}

converge vers

L

. Montrer que

L

est une matrice de projecteur.

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70. $CCP MP 2019$

Soit

E

un espace préhilbertien réel muni de son produit scalaire

⟨ \cdot, \cdot ⟩

. On note

∥ \cdot ∥

la norme associée.
On dit qu'une suite

(x_{n}) \in E^{N}

converge fortement vers

x \in E

n \to + \infty lim ∥ x_{n} - x ∥ = 0

et que

(x_{n})

converge faiblement vers

x

\forall y \in E, n \to + \infty lim ⟨ x_{n} - x, y ⟩ = 0

Q1-Montrer que si

(x_{n})

converge faiblement, sa limite est unique.

Q2-Montrer que la convergence forte implique la convergence faible.

Q3-Montrer que

(x_{n})

converge fortement vers

x

si et seulement si

(x_{n})

converge faiblement vers

x

n \to + \infty lim ∥ x_{n} ∥ = ∥ x ∥

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71. $Valeurs d'adhérence en intervalle$

On s'intéresse aux suites réelles dont les écarts entre termes consécutifs tendent vers

0

. On étudie d'abord la structure de leur ensemble de valeurs d'adhérence, avant d'appliquer ce résultat à l'étude de la convergence des suites récurrentes

u_{n + 1} = f (u_{n})

associées à une fonction continue d'un segment dans lui-même.

Q1-Soit

(u_{n})

une suite à valeurs réelles telle que

n \to + \infty lim u_{n + 1} - u_{n} = 0

. Montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de

(u_{n})

est un intervalle.

Q2-Soit

f : [a, b] \to [a, b]

continue et

(u_{n})

définie par

u_{0} \in [a, b]

u_{n + 1} = f (u_{n})

pour tout

n \in N

. Montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de

(u_{n})

est un singleton (et donc que

(u_{n})

converge).

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72. $Spectre imaginaire et limite nulle$

Soit

A

une matrice antisymétrique réelle telle que

(A^{n})_{n \in N}

converge. Montrer que la limite est nulle.

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73. $Approximation d'une rotation par A_{n}^{n}$

Soit

a \in R

. Pour

n \in N^{*}

, on pose

A_{n} = (1 - \frac{a ^{2}}{n ^{2}} \frac{a}{n} - \frac{a}{n} 1 - \frac{a ^{2}}{n ^{2}})

. Montrer que

n \to + \infty lim A_{n}^{n} = (cos a sin a - sin a cos a)

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74. $Suite de milieux entre i et - i$

Soient

A

le point d'affixe

i

B

le point d'affixe

- i

. On définit la suite

(M_{n})_{n \in N}

de points du plan par

M_{0}

M_{1}

le milieu de

[A M_{0}]

M_{2}

le milieu de

[B M_{1}]

M_{3}

le milieu de

[A M_{2}]

M_{4}

le milieu de

[B M_{3}]

et ainsi de suite.

Q1-Soit

n \in N

. Préciser la définition des points

M_{2 n}

M_{2 n + 1}

Q2-On note, pour tout

n \in N

z_{n}

l'affixe de

M_{n}

. Montrer que les suites

(z_{2 n})_{n \in N}

(z_{2 n + 1})_{n \in N}

sont arithmético-géométriques.

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39.Limite de An : matrice de projection

40.Rang et convergence de matrices

41.In​ est un point isolé de Eq​

42.Transposée et parité pour Ak→B

43.Limite d'une matrice stochastique

44.Rayon spectral et convergence de Mk

45.CCP MP 2016

46.Norme duale sur un espace euclidien

47.Quelques normes matricielles

48.Constante optimale pour ∥x∥+∥y∥

49.Comparaison de normes usuelles de Kn

50.Famille libre et norme image dans Rn

51.Norme déterminée par sa boule unité

52.Norme infinie de xe−nx

53.Norme infinie de sinnxcosx

54.Inégalités de Hölder et Minkowski

55.Epigraphe

56.Image linéaire d'un convexe

57.Matrices stochastiques

58.Distance dans ℓ∞ aux convergentes

59.Lipschitzianité de x↦d(x,A)

60.Normes C1 équivalentes via f(0)

61.Centrale MP 2010

62.Centrale PSI 2010

63.D'après Centrale MP 2006

64.Comparaison de normes usuelles de C0([a,b],K)

65.TPE-EIVP MP 2012

66.Banque Mines-Ponts MP 2022

67.ESTP 1982

68.Cesàro et projection sur ker(u−Id)

69.Idempotence de la limite de An

70.CCP MP 2019

71.Valeurs d'adhérence en intervalle

72.Spectre imaginaire et limite nulle

73.Approximation d'une rotation par Ann​

74.Suite de milieux entre i et −i

39. $Limite de A^{n} : matrice de projection$

40. $Rang et convergence de matrices$

41. $I_{n} est un point isolé de E_{q}$

42. $Transposée et parité pour A^{k} \to B$

43. $Limite d'une matrice stochastique$

44. $Rayon spectral et convergence de M^{k}$

45. $CCP MP 2016$

46. $Norme duale sur un espace euclidien$

47. $Quelques normes matricielles$

48. $Constante optimale pour ∥ x ∥ + ∥ y ∥$

49. $Comparaison de normes usuelles de K^{n}$

50. $Famille libre et norme image dans R^{n}$

51. $Norme déterminée par sa boule unité$

52. $Norme infinie de x e^{- n x}$

53. $Norme infinie de sin^{n} x cos x$

54. $Inégalités de Hölder et Minkowski$

55. $Epigraphe$

56. $Image linéaire d'un convexe$

57. $Matrices stochastiques$

58. $Distance dans ℓ^{\infty} aux convergentes$

59. $Lipschitzianité de x \mapsto d (x, A)$

60. $Normes C^{1} équivalentes via f (0)$

61. $Centrale MP 2010$

62. $Centrale PSI 2010$

63. $D'après Centrale MP 2006$

64. $Comparaison de normes usuelles de C^{0} ([a, b], K)$

65. $TPE-EIVP MP 2012$

66. $Banque Mines-Ponts MP 2022$

67. $ESTP 1982$

68. $Cesàro et projection sur ker (u - Id)$

69. $Idempotence de la limite de A^{n}$

70. $CCP MP 2019$

71. $Valeurs d'adhérence en intervalle$

72. $Spectre imaginaire et limite nulle$

73. $Approximation d'une rotation par A_{n}^{n}$

74. $Suite de milieux entre i et - i$