Exercices de Groupes, Spé (prépa)

Il s'agit de déterminer s'il existe un isomorphisme de groupes entre le groupe additif $(\mathbb{Q},+)$ et le groupe multiplicatif $({\mathbb{Q}}^{\ast },\times )$.
S'il existait un tel isomorphisme $f:\mathbb{Q}\to {\mathbb{Q}}^{\ast }$, alors il conserverait toutes les propriétés algébriques structurelles (ordres des éléments, solutions d'équations, etc.).
Considérons l'équation $y^2=1$ (où $1$ est l'élément neutre) dans le groupe $({\mathbb{Q}}^{\ast },\times )$. Cette équation admet exactement deux solutions : $y=1$ et $y=-1$.
Regardons l'équation correspondante transportée dans le groupe $(\mathbb{Q},+)$.
Puisque l'opération est l'addition et le neutre est $0$, l'équation analogue s'écrit $x+x=0$, c'est-à-dire $2x=0$.
Dans $\mathbb{Q}$, cette équation n'admet qu'une unique solution : $x=0$.
Si un isomorphisme $f$ existait, l'image d'une solution de $2x=0$ serait une solution de $y^2=1$. Comme $f$ est une bijection, le nombre de solutions de chaque équation dans son groupe respectif devrait être le même.
Or l'une admet 1 solution et l'autre en admet 2. Cela constitue une contradiction.
Par conséquent, les groupes $(\mathbb{Q},+)$ et $({\mathbb{Q}}^{\ast },\times )$ ne sont pas isomorphes.