Exercices de Groupes en maths Spé (prépa) (page 2)

41. $Dimensions dans une tour de corps$

42. $Base (1, 2, 3, 6) et sous-corps$

mines

Soit

K = Q + 2 Q + 3 Q + 6 Q

43. $Petit théorème de Fermat, primalité$

mines

Q1-Pour

(a, n) \in Z \times N^{*}

avec

a \land n = 1

, montrer que

a^{φ (n)} = 1 [n]

Q2-Pour

p

premier et

k \in {1, \dots, p - 1}

, montrer que

p

divise

(k p)

Q3-Soit

(a, n) \in (N^{*})^{2}

. On suppose que

a^{n - 1} = 1 [n]

. On suppose que pour tout

x

divisant

n - 1

et différent de

n - 1

, on a

a^{x} \neq = 1 [n]

. Montrer que

n

est premier.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

44. $Carrés dans Z / p Z$

mines

p

est un nombre premier, quel est le nombre de carrés dans

Z / p Z

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

45. $Inversibles de Z /8 Z, ordre 4$

mines

Q1-Déterminer l'ensemble des inversibles de l'anneau

Z /8 Z

. De quelle structure peut-on munir cet ensemble ?

Q2-Y a-t-il, à isomorphisme près, d'autres groupes de cardinal

4

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

46. $Loi produit sur R^{*} \times R$

Soit

G = R^{*} \times R

. On pose pour tous éléments

(x, y)

(x^{'}, y^{'})

G

(x, y) * (x^{'}, y^{'}) = (x x^{'}, x y^{'} + y)

Q1-Vérifier que

*

est une loi interne associative sur

G

Q2-Vérifier que

(G, *)

est un groupe. Est-il commutatif ?

Q3-Donner une expression de

(x, y)^{* n}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

47. $Groupe] - 1, 1 [muni de x * y = \frac{x + y}{1 + x y}$

Soit

G =] - 1, 1 [

. On pose pour tous éléments

x

y

G

x * y = \frac{x + y}{1 + x y}

Q1-Vérifier que

*

est une loi interne associative sur

G

Q2-Vérifier que

(G, *)

est un groupe. Est-il commutatif ?

Q3-Donner une expression de

x^{* n}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

48. $x^{2} = e pour tout x implique commutatif$

Soit

G

un groupe d'élément neutre

e

tel que

\forall x \in G, x^{2} = e

. Montrer que

G

est commutatif.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

49. $(R, ) avec a b = a + b + ab, groupe ?$

On munit

R

de la loi interne

*

définie par :

\forall a, b \in R, a * b = a + b + ab

(R, *)

est-il un groupe ?

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

50. $Transport de structures$

Soient

(G, *)

un groupe et

H

un ensemble. On suppose qu'il existe une bijection

f

G

sur

H

. On définit la loi

.

sur

H

de la manière suivante :

\forall (x, y) \in H^{2}, x . y = f (f^{- 1} (x) * f^{- 1} (y))

Montrer que

(H, .)

est un groupe.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

51. $Transport de structures$

Soient

(G, *)

un groupe et

(H, .)

un ensemble muni d'une loi interne. On suppose qu'il existe une surjection

f

G

sur

H

vérifiant

\forall (x, y) \in G^{2}, f (x * y) = f (x) . f (y)

Montrer que

(H, .)

est un groupe. Que peut-on dire de

f

Voir le corrigé

Associativité :
Soient

x^{'}, y^{'}, z^{'} \in H

. Comme

f

est surjective,

x^{'}, y^{'}, z^{'}

admettent des antécédents

x, y, z

par

f

dans

G

x^{'} . (y^{'} . z^{'}) = f (x) . (f (y) . f (z)) = f (x) . f (y * z) = f (x * (y * z)) = f ((x * y) * z) = f (x * y) . f (z) = (x^{'} . y^{'}) . z^{'}

par associativité de

*

.

Elément neutre :
Notons

e

l'élément neutre de

G

. Soit

x^{'} \in H

. Comme

f

est surjective,

x^{'}

admet un antécédent

x

par

f

dans

G

x^{'} . f (e) = f (x) . f (e) = f (x * e) = f (x) = x^{'}

f (e) . x^{'} = f (e) . f (x) = f (e * x) = f (x) = x^{'}

Ainsi

(H, .)

admet un élément neutre, à savoir

f (e)

.

Inversibilité :
Soit

x^{'} \in H

. Comme

f

est surjective,

x^{'}

admet un antécédent

x

par

f

dans

G

x^{'} . f (x^{- 1}) = f (x) . f (x^{- 1}) = f (x * x^{- 1}) = f (e)

f (x^{- 1}) . x^{'} = f (x^{- 1}) . f (x) = f (x^{- 1} * x) = f (e)

Ainsi tout élément de

H

est inversible.

Puisque

G

H

sont des groupes,

f

est un morphisme de groupes.

Remarque. On a des résultats similaires pour les anneaux et les corps. La surjection

f

permet de « transporter » la structure de

G

sur

H

52. $Conjugaison, relation d'équivalence$

Soit

G

un groupe. On définit une relation binaire

\sim

sur

G

par

\forall (x, y) \in G^{2}, x \sim y ⟺ \exists g \in G, y = g^{- 1} xg

Montrer que

\sim

est une relation d'équivalence.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

53. $Classes à gauche/droite modulo H$

Soit

H

un sous-groupe d'un groupe

G

. On définit trois relations binaires

\sim

\sim_{g}

\sim_{d}

sur

G

de la manière suivante :

\forall (x, y) \in G^{2}, x \sim y ⟺ \exists h \in H, y = h^{- 1} x h

\forall (x, y) \in G^{2}, x \sim_{g} y ⟺ \exists h \in H, y = h x

\forall (x, y) \in G^{2}, x \sim_{d} y ⟺ \exists h \in H, y = x h

Montrer que

\sim

\sim_{g}

\sim_{d}

sont des relations d'équivalence sur

G

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

54. $Loi ⋆ sur] - 1, 1 [via tanh$

On pose

G =] - 1, 1 [

Q1-Montrer que

tanh

induit une bijection de

R

sur

G

Q2-Montrer que pour tout

(a, b) \in R^{2}

tanh (a + b) = \frac{tanh ( a ) + tanh ( b )}{1 + tanh ( a ) tanh ( b )}

Q3-Pour

(x, y) \in G^{2}

, on pose

x ⋆ y = \frac{x + y}{1 + x y}

. A l'aide des questions précédentes, montrer que

(G, ⋆)

est un groupe commutatif.

Q4-Soit

x \in G

. Montrer que pour tout

n \in Z

x^{⋆ n} = \frac{( 1 + x ) ^{n} - ( 1 - x ) ^{n}}{( 1 + x ) ^{n} + ( 1 - x ) ^{n}}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

55. $Stabilisateur$

Soient

E

un ensemble et

x \in E

. On pose

S (x) = {σ \in S (E), σ (x) = x}

Montrer que

S (x)

est un sous-groupe de

(S (E), \circ)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

56. $H \cap K et H \cup K sous-groupes$

Soient

G

un groupe et

H

K

deux sous-groupes de

G

Q1-Montrer que

H \cap K

est un sous-groupe de

G

Q2-Montrer que

H \cup K

est un sous-groupe de

G

si et seulement si

H \subset K

K \subset H

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

57. $Centre d'un groupe$

Soit

G

un groupe. On définit le centre de

G

par

Z (G) = {a \in G, \forall x \in G, a x = x a}

i.e. l'ensemble des éléments de

G

qui commutent avec tous les éléments de

G

. Montrer que

Z (G)

est un sous-groupe de

G

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

58. $Sous-groupes de R$

Soit

G

un sous-groupe de

(R, +)

. On suppose

G

non trivial i.e.

G \neq = {0}

Q1-Question préliminaire : soient

α \in R_{+}^{*}

β \in R

. Montrer qu'il existe

n \in Z

tel que

n α \leq β < (n + 1) α

Q2-Justifier que

G \cap R_{+}^{*}

possède une borne inférieure que l'on notera

a

Q3-On suppose que

a > 0

.
a. On suppose que

a \in / G

. Justifier l'existence de deux éléments distincts

x

y

G

appartenant à l'intervalle

] a, 2 a [

.
b. Aboutir à une contradiction et en déduire que

a \in G

.
c. En déduire que

a Z \subset G

.
d. Soit

z \in G

. En utilisant la question 1, montrer qu'il existe

n \in Z

tel que

z = na

.
e. En déduire que

G = a Z

Q4-On suppose que

a = 0

.
a. Soient

t \in R

ε > 0

. En utilisant la question 1, montrer qu'il existe

g \in G

tel que

∣ g - t ∣ < ε

.
b. En déduire que

G

est dense dans

R

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

59. $Équivalence modulo un sous-groupe H$

Soient

G

un groupe et

H

un sous-groupe de

G

. On définit une relation binaire

\sim

sur

G

par

\forall (x, y) \in G^{2}, x \sim y ⟺ \exists h \in H, y = x h

Montrer que

\sim

est une relation d'équivalence.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

60. $Groupe des similitudes directes$

Dans cet exercice, on pourra identifier le plan à

C

via un repère orthonormé. On pourra en particulier identifier une transformation du plan à une application de

C

dans

C

Q1-On note

G

l'ensemble des translations et des similitudes directes du plan. Montrer que

G

muni de la loi de composition est un groupe.

Q2-On note

H

l'ensemble des translations et des rotations du plan. Montrer que

H

est un sous-groupe de

G

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

61. $Groupes et complexes$

On rappelle que

(R, +)

(R^{*}, \times)

(C^{*}, \times)

sont des groupes.
On note

U

l'ensemble des nombres complexes de module

1

.
Pour

n \in N^{*}

, on note

U_{n}

l'ensemble des racines

n

-ièmes de l'unité.

Q1-Montrer que

U

est un sous-groupe de

(C^{*}, \times)

Q2-Soit

n \in N^{*}

. Montrer que

U_{n}

est un sous-groupe de

(C^{*}, \times)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

62. $Endomorphismes continus de (R, +)$

Montrer que les endomorphismes de groupe de

(R, +)

continus sont les homothéties i.e. les applications

x \mapsto λ x

avec

λ \in R

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

63. $Morphisme f_{n}, image et noyau selon α$

Soit

α \in R

. Pour

n \in N^{*}

, on considère l'application

f_{n} : Z ⟶ C^{*}

p ⟼ e^{\frac{2 iπ}{n} p α}

Q1-Montrer que

f_{n}

est un morphisme du groupe

(Z, +)

dans le groupe

(C^{*}, \times)

Q2-Montrer que

Im f_{n} \subset U

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

64. $X MP 2010$

Soient

m, n \in N^{*}

. Déterminer les morphismes de

(GL_{n} (R), \times)

dans

(Z / m Z, +)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

65. $Automorphismes intérieurs$

Soit

G

un groupe. Étant donné un élément

a

G

on définit l'application :

φ_{a} : G ⟶ G, x ⟼ a x a^{- 1}

Q1-Soit

a \in G

. Montrer que

φ_{a}

est un automorphisme de

G

Q2-On pose

I (G) = {φ_{a}, a \in G}

. Montrer que l'ensemble

I (G)

est un sous-groupe de

(Aut (G), \circ)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

66. $x \mapsto x^{- 1} automorphisme ssi commutatif$

Soit

G

un groupe. Montrer que

f : G ⟶ G

x ⟼ x^{- 1}

est un automorphisme de

G

si et seulement si

G

est commutatif.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

67. $Morphismes de (Q, +) vers (Z, +)$

Déterminer les morphismes de groupes de

(Q, +)

dans

(Z, +)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

68. $ENS MP 2019$

Soit

G

un groupe. Montrer que

G

est fini si et seulement si l'ensemble des sous-groupes de

G

est fini.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

69. $Sous-groupes des groupes cycliques$

Montrer que tout sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

70. $Un sous-groupe par diviseur de n$

Soit

G

un groupe cyclique d'ordre

n

. Montrer que pour tout diviseur

d

n

, il existe un unique sous-groupe de

G

d'ordre

d

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

71. $Groupe d'ordre premier, cyclique$

Montrer que tout groupe d'ordre premier est cyclique.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

72. $Ordre d'un produit$

Soient

x

y

deux éléments d'un groupe

G

d'ordres respectifs

p

q

. On suppose que

x

y

commutent et que

p \land q = 1

. Montrer que l'ordre de

x y

est

pq

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

73. $Éléments d'ordre fini : sous-groupe$

Soit

G

un groupe et

E

l'ensemble des éléments d'ordre fini de

G

. Montrer que si

E

est fini, alors

E

est un groupe.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

74. $Sous-groupes en nombre fini \Rightarrow G fini$

Soit

G

un groupe ayant un nombre fini de sous-groupes. Montrer que

G

est fini.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

75. $(Z^{2}, +) est-il monogène ?$

Le groupe

(Z^{2}, +)

est-il monogène ? Justifier.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

76. $(Z / m Z) \times (Z / n Z) cyclique$

Soit

(m, n) \in (N^{*})^{2}

. Montrer que

((Z / m Z) \times (Z / n Z), +)

est cyclique si et seulement si

m \land n = 1

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

77. $Groupe alterné$

On note

A_{n}

l'ensemble des permutations de

S_{n}

de signature

1

Q1-Montrer que

A_{n}

est un sous-groupe de

S_{n}

Q2-Montrer que

A_{n}

est engendré par les

3

-cycles.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

78. $Ordre de \overset{ˉ}{k} dans Z / n Z$

Soit

(k, n) \in Z \times N^{*}

. On note

d

l'ordre de

\overset{ˉ}{k}

dans

Z / n Z

Q1-Montrer que

n

divise

k d

Q2-Montrer que

d

divise

\frac{n}{n \land k}

Q3-En déduire que

d = \frac{n}{n \land k}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

79. $Ordre de x^{k} dans un groupe quelconque$

Soient

x

un élément d'un groupe

G

k \in Z

. On suppose que

x

est d'ordre

n \in N^{*}

. On note

d

l'ordre de

x^{k}

Q1-Montrer que

n

divise

k d

Q2-Montrer que

d

divise

\frac{n}{n \land k}

Q3-En déduire que

d = \frac{n}{n \land k}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

80. $CCINP (ou CCP) MP 2015$

Soit

(A, +, \times)

un anneau commutatif.

Q1-Rappeler la définition d'un anneau et d'un idéal.

Q2-Soit

I

un idéal de

A

. Montrer que si

1_{A} \in I

, alors

I = A

Q3-On pose

I_{a} = {a x, x \in A}

. Montrer que

I_{a}

est bien un idéal de

A

Q4-On suppose que

A

n'est pas l'anneau nul. Montrer que

A

est un corps si et seulement si les seuls idéaux de

A

sont

{0_{A}}

A

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

41.Dimensions dans une tour de corps

42.Base (1,2​,3​,6​) et sous-corps

43.Petit théorème de Fermat, primalité

44.Carrés dans Z/pZ

45.Inversibles de Z/8Z, ordre 4

46.Loi produit sur R∗×R

47.Groupe ]−1,1[ muni de x∗y=1+xyx+y​

48.x2=e pour tout x implique commutatif

49.(R,∗) avec a∗b=a+b+ab, groupe ?

50.Transport de structures

51.Transport de structures

52.Conjugaison, relation d'équivalence

53.Classes à gauche/droite modulo H

54.Loi ⋆ sur ]−1,1[ via tanh

55.Stabilisateur

56.H∩K et H∪K sous-groupes

57.Centre d'un groupe

58.Sous-groupes de R

59.Équivalence modulo un sous-groupe H

60.Groupe des similitudes directes

61.Groupes et complexes

62.Endomorphismes continus de (R,+)

63.Morphisme fn​, image et noyau selon α

64.X MP 2010

65.Automorphismes intérieurs

66.x↦x−1 automorphisme ssi commutatif

67.Morphismes de (Q,+) vers (Z,+)

68.ENS MP 2019

69.Sous-groupes des groupes cycliques

70.Un sous-groupe par diviseur de n

71.Groupe d'ordre premier, cyclique

72.Ordre d'un produit

73.Éléments d'ordre fini : sous-groupe

74.Sous-groupes en nombre fini ⇒G fini

75.(Z2,+) est-il monogène ?

76.(Z/mZ)×(Z/nZ) cyclique

77.Groupe alterné

78.Ordre de kˉ dans Z/nZ

79.Ordre de xk dans un groupe quelconque

80.CCINP (ou CCP) MP 2015

41. $Dimensions dans une tour de corps$

42. $Base (1, 2, 3, 6) et sous-corps$

43. $Petit théorème de Fermat, primalité$

44. $Carrés dans Z / p Z$

45. $Inversibles de Z /8 Z, ordre 4$

46. $Loi produit sur R^{*} \times R$

47. $Groupe] - 1, 1 [muni de x * y = \frac{x + y}{1 + x y}$

48. $x^{2} = e pour tout x implique commutatif$

49. $(R, ) avec a b = a + b + ab, groupe ?$

50. $Transport de structures$

51. $Transport de structures$

52. $Conjugaison, relation d'équivalence$

53. $Classes à gauche/droite modulo H$

54. $Loi ⋆ sur] - 1, 1 [via tanh$

55. $Stabilisateur$

56. $H \cap K et H \cup K sous-groupes$

57. $Centre d'un groupe$

58. $Sous-groupes de R$

59. $Équivalence modulo un sous-groupe H$

60. $Groupe des similitudes directes$

61. $Groupes et complexes$

62. $Endomorphismes continus de (R, +)$

63. $Morphisme f_{n}, image et noyau selon α$

64. $X MP 2010$

65. $Automorphismes intérieurs$

66. $x \mapsto x^{- 1} automorphisme ssi commutatif$

67. $Morphismes de (Q, +) vers (Z, +)$

68. $ENS MP 2019$

69. $Sous-groupes des groupes cycliques$

70. $Un sous-groupe par diviseur de n$

71. $Groupe d'ordre premier, cyclique$

72. $Ordre d'un produit$

73. $Éléments d'ordre fini : sous-groupe$

74. $Sous-groupes en nombre fini \Rightarrow G fini$

75. $(Z^{2}, +) est-il monogène ?$

76. $(Z / m Z) \times (Z / n Z) cyclique$

77. $Groupe alterné$

78. $Ordre de \overset{ˉ}{k} dans Z / n Z$

79. $Ordre de x^{k} dans un groupe quelconque$

80. $CCINP (ou CCP) MP 2015$