Exercices de Groupes en maths Spé (prépa) (page 3)

81. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2022$

Pour un anneau

A

, on dit qu'un idéal

I

A

est premier si et seulement si :

\forall (x, y) \in A^{2}, x y \in I ⟹ x \in I ou y \in I

Soit

A

un anneau abélien dont tous les idéaux sont premiers. Montrer que

A

est un anneau intègre, puis que

A

est un corps.

82. $ENS MP 2011$

On s'intéresse aux sous-groupes discrets de

(C, +)

(SL_{2} (R), \times)

Q1-Donner des exemples de tels sous-groupes.

Q2-Soit

Γ

un sous-groupe discret non trivial de

(C, +)

λ \in C^{*}

tel que

λ Γ = Γ

. Montrer que

λ^{4} = 1

λ^{6} = 1

Q3-Soit

λ \in R^{*}

Γ

le sous-groupe de

SL_{2} (R)

engendré par

(1011)

(λ 0 0 λ^{- 1})

. A quelle condition sur

λ

le sous-groupe

Γ

est-il discret ?

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83. $Mines-Ponts MP 2016$

Soit

p

un nombre premier impair et

k

un diviseur premier de

2^{p} - 1

. Montrer que

k \equiv 1 (mod 2 p)

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84. $Banque Mines-Ponts MP 2021$

Soit

G

un groupe fini. On suppose que tous les éléments de

G

sont d'ordre au plus

2

. Que peut-on dire du cardinal de

G

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85. $C.C.E. Mines MP 2015$

Soit

a \in R_{+}^{*}

. On pose pour

h \in R

A (h) = a^{h} 00 010 0 h 1

E = {A (h), h \in R}

Q1-Montrer que

E

est un groupe multiplicatif isomorphe à

(R, +)

Q2-Calculer

exp (t V)

avec

V = A^{'} (0)

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86. $Caractéristique d'un anneau$

Soit

(A, +, \times)

un anneau non nul. Si

1_{A}

est d'ordre fini

n

dans le groupe

(A, +)

, on dit que

A

est de caractéristique

n

. Sinon, on dit que

A

est de caractéristique nulle.

Q1-Déterminer les caractéristiques des anneaux

Z

Z / n Z

Q2-Montrer que si

A

est de caractéristique

n

n x = 0_{A}

pour tout

x \in A

Q3-On suppose que

A

est un anneau intègre. Montrer que la caractéristique de

A

est soit nulle, soit un nombre premier.

Q4-On suppose que

A

est un anneau commutatif dont la caractéristique est un nombre premier

p

. Montrer que l'application

f : x \in A \mapsto x^{p}

est un endomorphisme d'anneau. Que peut-on dire de

f

A

est intègre ? si

A

est intègre et fini ?

Q5-Soit

K

un corps fini de caractéristique

p

. Montrer que

p

est un nombre premier puis qu'on peut munir

K

d'une structure de

Z / p Z

-espace vectoriel. En déduire qu'il existe

n \in N

tel que

card K = p^{n}

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81.Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2022

82.ENS MP 2011

83.Mines-Ponts MP 2016

84.Banque Mines-Ponts MP 2021

85.C.C.E. Mines MP 2015

86.Caractéristique d'un anneau

81. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2022$

82. $ENS MP 2011$

83. $Mines-Ponts MP 2016$

84. $Banque Mines-Ponts MP 2021$

85. $C.C.E. Mines MP 2015$

86. $Caractéristique d'un anneau$