Exercices de Espaces vectoriels de dimension finie en maths Sup (prépa)

24. $Familles libres dans R^{3}$

Les familles suivantes de vecteurs de

R^{3}

sont-elles libres ?
Si ce n'est pas le cas, former une relation linéaire liant ces vecteurs :

Q1-

(x_{1}, x_{2})

avec

x_{1} = (1, 0, 1)

x_{2} = (1, 2, 2)

Q2-

(x_{1}, x_{2}, x_{3})

avec

x_{1} = (1, 0, 0)

x_{2} = (1, 1, 0)

x_{3} = (1, 1, 1)

Q3-

(x_{1}, x_{2}, x_{3})

avec

x_{1} = (1, 2, 1)

x_{2} = (2, 1, - 1)

x_{3} = (1, - 1, - 2)

Q4-

(x_{1}, x_{2}, x_{3})

avec

x_{1} = (1, - 1, 1)

x_{2} = (2, - 1, 3)

x_{3} = (- 1, 1, - 1)

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1.Fonctions P(x)cosx : base et dim

2.Suites p-périodiques : dimension

3.Famille (xn) et dim infinie

4.Vérifier une base dans R3

5.Changement de base dans dim 3

6.Famille libre et complétion en base

7.Base par sommes partielles

8.Lemme d'échange de bases

9.Intersection si dim F + dim G > n

10.Dimensions de F+G et F∩G

11.Intersection de SEV et dimensions

12.Base et supplémentaire dans R3

13.Supplémentaire commun d hyperplans

14.Supplémentaires communs de deux SEV

15.Translatée Fa​ et supplémentaire

16.Rang de familles dans R4

17.Rang d une famille de fonctions

18.Base d'un hyperplan de R3

19.Dimension de H1​∩H2​

20.dim(F∩H)=dimF−1

21.Droite et hyperplan supplémentaires

22.Supplémentarité droite-hyperplan

23.SEV comme intersection d'hyperplans

24.Familles libres dans R3

25.4 fonctions trigonométriques libres

26.Liberté de (ekx)

27.Famille translatée par u : liberté

28.Famille (ei​+a) libre hors Vect

29.Liberté de (sin(x+ai​))

30.Liberté de la famille des ∣x−a∣

31.Liberté de (cos(at))a≥0​

32.Base EV affines par morceaux

33.Deux sommes directes : déduction

34.Décomposition de Rn​[X]

35.Polynômes homogènes : somme directe

36.Ei​=Fi​ si même somme directe

37.Base de K2​[X]

38.Base de Kn​[X] différences

39.P(x)sinx+Q(x)cosx : dimension

40.Multiples de A dans Kn​[X]

1. $Fonctions P (x) cos x : base et dim$

2. $Suites p-périodiques : dimension$

3. $Famille (x^{n}) et dim infinie$

4. $Vérifier une base dans R^{3}$

5. $Changement de base dans dim 3$

6. $Famille libre et complétion en base$

7. $Base par sommes partielles$

8. $Lemme d'échange de bases$

9. $Intersection si dim F + dim G > n$

10. $Dimensions de F + G et F \cap G$

11. $Intersection de SEV et dimensions$

12. $Base et supplémentaire dans R3$

13. $Supplémentaire commun d hyperplans$

14. $Supplémentaires communs de deux SEV$

15. $Translatée F_{a} et supplémentaire$

16. $Rang de familles dans R^{4}$

17. $Rang d une famille de fonctions$

18. $Base d'un hyperplan de R^{3}$

19. $Dimension de H_{1} \cap H_{2}$

20. $dim (F \cap H) = dim F - 1$

21. $Droite et hyperplan supplémentaires$

22. $Supplémentarité droite-hyperplan$

23. $SEV comme intersection d'hyperplans$

24. $Familles libres dans R^{3}$

25. $4 fonctions trigonométriques libres$

26. $Liberté de (e^{k x})$

27. $Famille translatée par u : liberté$

28. $Famille (e_{i} + a) libre hors Vect$

29. $Liberté de (sin (x + a_{i}))$

30. $Liberté de la famille des ∣ x - a ∣$

31. $Liberté de (cos (a t))_{a \geq 0}$

32. $Base EV affines par morceaux$

33. $Deux sommes directes : déduction$

34. $Décomposition de R_{n} [X]$

35. $Polynômes homogènes : somme directe$

36. $E_{i} = F_{i} si même somme directe$

37. $Base de K_{2} [X]$

38. $Base de K_{n} [X] différences$

39. $P (x) sin x + Q (x) cos x : dimension$

40. $Multiples de A dans K_{n} [X]$