Exercices de Espaces vectoriels de dimension finie, Sup (prépa) (page 2)

($\Rightarrow$) Supposons qu'il existe $H$ supplementaire commun de $F$ et $G$ dans $E$ : $E=F\oplus H=G\oplus H$. Alors $\dim E=\dim F+\dim H=\dim G+\dim H$, d'ou $\dim F=\dim G$.

($\Leftarrow$) Supposons $\dim F=\dim G=k$ et posons $n=\dim E$. On construit un supplementaire commun de dimension $n-k$ par la methode suivante.

Soit $(f_1,\dots ,f_k)$ une base de $F$. On la complete en une base $(f_1,\dots ,f_k,h_1,\dots ,h_{n-k})$ de $E$, et on pose $H=\text{vect}(h_1,\dots ,h_{n-k})$. Par construction, $E=F\oplus H$.

Montrons que $E=G\oplus H$. On a $\dim G+\dim H=k+(n-k)=n$, donc il suffit de montrer $G\cap H=\{0\}$. Soit $x\in G\cap H$. Alors $x=\sum _{j=1}^{n-k}{\beta }_j{h}_j\in H\subset E$ et $x\in G$. D'autre part, $\dim (G+H)=\dim G+\dim H-\dim (G\cap H)$ par la formule de Grassmann. Si $G\cap H\ne \{0\}$, alors $\dim (G\cap H)\ge 1$ et $\dim (G+H)\le n-1<n$, donc $G+H\ne E$.

Or on peut choisir les $h_j$ de facon a ce que $(g_1,\dots ,g_k,h_1,\dots ,h_{n-k})$ soit une famille libre (en completant une base de $G$ par des vecteurs independants de $G$, ce qui est possible puisque $\dim E>\dim G$). Cette famille de $n$ vecteurs libres forme alors une base de $E$, d'ou $G\oplus H=E$.

Conclusion : $F$ et $G$ admettent un supplementaire commun dans $E$ si et seulement si $\dim F=\dim G$.

1. Soit $u\in E_p$ (suite $p$-periodique) et $v\in E_p$. Alors $(u+v{)}_{n+p}=u_{n+p}+v_{n+p}=u_n+v_n$ et $(\lambda u{)}_{n+p}=\lambda u_{n+p}=\lambda u_n$. La suite nulle est dans $E_p$. Donc $E_p$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$.

2. Montrons que $(u^0,u^1,\dots ,u^{p-1})$ est une base de $E_p$.

*Generatrice* : Soit $u\in E_p$. Posons $a_k=u_k$ pour $0\le k\le p-1$. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, si $n\equiv k(\mathrm{mod}p)$, alors $u_n=u_k=a_k$. On verifie que $u=\sum _{k=0}^{p-1}{a}_k{u}^k$ : le terme de rang $n$ de $\sum a_k{u}^k$ est $a_k$ ou $n\equiv k(\mathrm{mod}p)$, ce qui est bien $u_n$.

*Libre* : Si $\sum _{k=0}^{p-1}{\lambda }_k{u}^k=0$, en evaluant en $n=j$ (pour $0\le j\le p-1$) : ${\lambda }_j=0$.

Donc $(u^0,\dots ,u^{p-1})$ est une base de $E_p$.

3. $\dim E_p=p$.

4. Si $u$ est $2$-periodique, alors $u_{n+2}=u_n=u_{n+4}$ (car $u_{n+4}=u_{n+2}=u_n$), donc $u$ est $4$-periodique. Ainsi $E_2\subset E_4$, et $E_2$ est un sous-espace vectoriel de $E_4$ (comme sous-espace d'un espace vectoriel).

5. $F=\{u\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}\mid \forall n,u_{n+2}+u_n=0\}$. Montrons $F\subset E_4$ : si $u_{n+2}=-u_n$, alors $u_{n+4}=-u_{n+2}=u_n$, donc $u$ est $4$-periodique. $F$ est un sous-espace vectoriel de $E_4$ car les conditions $u_{n+2}+u_n=0$ sont lineaires.

6. Montrons $E_4=E_2\oplus F$.

*$E_2\cap F=\{0\}$* : Si $u\in E_2\cap F$, alors $u_n=u_{n+2}$ (2-periodicite) et $u_{n+2}=-u_n$ (condition de $F$). Donc $u_n=-u_n$, soit $u_n=0$ pour tout $n$.

*$E_4=E_2+F$* : Soit $u\in E_4$. Posons $v_n=\frac{u_n+u_{n+2}}{2}$ et $w_n=\frac{u_n-u_{n+2}}{2}$. Alors $v_{n+2}=\frac{u_{n+2}+u_{n+4}}{2}=\frac{u_{n+2}+u_n}{2}=v_n$ (car $u\in E_4$ donc $u_{n+4}=u_n$), donc $v\in E_2$. Et $w_{n+2}=\frac{u_{n+2}-u_{n+4}}{2}=\frac{u_{n+2}-u_n}{2}=-w_n$, donc $w\in F$. Et $u=v+w$.

Donc $F$ est un supplementaire de $E_2$ dans $E_4$.