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Exercices de Espaces vectoriels de dimension finie en maths Sup (prépa) (page 3) | The Maths Tailor

Accueil ExplorerSup (prépa)Espaces vectoriels de dimension finiePage 3

Exercices de Espaces vectoriels de dimension finie, Sup (prépa) (page 3)

83 exercices de Espaces vectoriels de dimension finie pour les maths Sup (prépa), avec tous les énoncés en accès libre. 2 corrigés sont offerts ; les autres corrigés sont réservés aux abonnés. Au programme du chapitre : Familles de vecteurs, Dimension d'un espace vectoriel, Dimension et sous-espaces vectoriels, Rang d'une famille de vecteurs.

Le cours du chapitre Les méthodes du chapitre

Exercices 81 à 83 sur 83 · page 3 sur 3

81. $Base de Lagrange de R_{n} [X]$

Soit

n \in N

. Soient

x_{0}, \dots, x_{n}

n

réels distincts. On définit pour

0 \leq i \leq n

les polynômes

L_{i} = j \neq = i \prod \frac{X - x _{j}}{x _{i} - x _{j}}

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Tous les corrigés de ce chapitre, avec les indications

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Q1-Montrer que

(L_{0}, \dots, L_{n})

est une base de

R_{n} [X]

Q2-Soit

k \in [[0, n]]

. Calculer

P = i = 0 \sum n x_{i}^{k} L_{i}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

82. $D'après CCP PC 2007$

Pour tout

n \in N

, on note

Q_{n} = (X^{2} - 1)^{n}

P_{n} = \frac{1}{2 ^{n} n !} Q_{n}^{(n)}

. On pourra confondre polynôme et fonction polynomiale associée.

Q1-Calculer

P_{0}

P_{1}

P_{2}

P_{3}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

83. $Base de K_{n} [X] binomiale$

Soient

a, b \in K

avec

a \neq = b

. Montrer que la famille

((X - a)^{k} (X - b)^{n - k})_{0 \leq k \leq n}

est une base de

K_{n} [X]

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

Q2-Quel est le degré de

P_{n}

Q3-Montrer que

P_{n}

a la parité de

n

. En déduire

P_{n} (0)

pour

n

impair et

P_{n}^{'} (0)

pour

n

pair.

Q4-En utilisant la formule du binôme de Newton, calculer

P_{n} (0)

pour

n

pair et

P_{n}^{'} (0)

pour

n

impair. On exprimera les résultats à l'aide de factorielles.

Q5-Verifier que

\forall n \in N

(X^{2} - 1) Q_{n}^{'} = 2 n X Q_{n}

. En derivant

n + 1

fois cette relation, montrer que

\forall n \in N

(X^{2} - 1) P_{n}^{''} + 2 X P_{n}^{'} = n (n + 1) P_{n}

Q6-Montrer que

Q_{n}^{(k)} (- 1) = Q_{n}^{(k)} (1) = 0

pour tout

k \in [[0, n - 1]]

. En appliquant le theoreme de Rolle et a l'aide d'une recurrence, montrer que

P_{n}

admet exactement

n

racines reelles distinctes dans

] - 1, 1 [

81.Base de Lagrange de Rn​[X]

82.D'après CCP PC 2007

83.Base de Kn​[X] binomiale

81. $Base de Lagrange de R_{n} [X]$

82. $D'après CCP PC 2007$

83. $Base de K_{n} [X] binomiale$